Treillis des sous-groupes

Pour chaque groupe (fini si tu veux), tu peux regarder le treillis de ses sous-groupes, mais peux-tu préciser ce que tu entends par isomorphisme "intéressant", ou surtout "inintéressant"~?

Bonjour Apostrophe
Ah, je ne me souvenais plus de ta question, noyée dans le flot des messages ...

Un isomorphisme intéressant, qui est à la base de l'intérêt du treillis des sous-groupes d'un groupe, est l'isomorphisme de treillis (càd bijection entre deux treillis avec la bijection croissante et sa réciproque croissante).
Cet isomorphisme est directement issu du théorème bien connu, que j'appelle le théorème du treillis-quotient, qui stipule que pour tout groupe $G$ et tout sous-groupe $H\lhd G$, le treillis des sous-groupes du quotient $G/H$ est isomorphe (en tant que treillis) au treillis des sous-groupes de $G$ contenant $H$, et que cet isomorphisme conserve les propriétés de distinction et de conjugaison.

En d'autres termes, on retrouve le treillis du quotient $G/H$ comme sous-treillis du treillis des sous-groupes de $G$, constitué de tous les sous-groupes de $G$ contenant $H$. Et un sous-groupe est distingué dans le quotient $G/H$ si, et seulement si, le sous-groupe de $G$ correspondant est aussi distingué dans $G$. Et pareillement, une classe de conjugaison de sous-groupes de $G/H$ se retrouve à l'identique comme classe de conjugaison du même nombre de sous-groupes de $G$.
C'est une manière facile d'appréhender la notion de groupe quotient, notion qui fait si peur au débutant de la théorie de groupes.

Prenons un exemple. Le groupe diédral $\mathcal D_4$ à huit éléments, c'est le groupe des isométries planes conservant un carré. Son treillis est le suivant.
Le $C_4$ est constitué des rotations $\pm\frac14$ tour, leur puissance 2 est dans $Z\simeq C_2$, c'est la symétrie centrale du carré. Les deux $C_2$ du bas à gauche sont les symétries par rapport aux diagonales du carré, elles sont conjuguées (pointillés) et les deux de droite les symétries par rapport aux apothèmes (segments parallèles aux cotés du carré et passant par son centre), elles sont aussi conjuguées. $$
\xymatrix{
&& *+[F]{\mathcal D_4} \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr] \\
&*+[F]{C_2^{\,2}} \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr]
&*+[F]{C_4} \ar@{-}[d]
&*+[F]{C_2^{\,2}} \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr]\\
C_2 \ar@{-}[drr] \ar@{.}[r] & C_2 \ar@{-}[dr]
&*+[F]{Z} \ar@{-}[d]
&C_2 \ar@{-}[dl] \ar@{.}[r] & C_2 \ar@{-}[dll] \\
&& *+[F]{ \{1\} }
}
$$ les sous-groupes distingués sont encadrés, les classes de conjugaison sont matérialisées par des pointillés.
Le sous-groupe $\fbox{Z}\simeq C_2$ est le centre de $\mathcal D_4$ donc distingué et donc encadré. Le quotient $\mathcal D_4/Z$ est isomorphe à $C_2^{\,2}$, et isomorphe à l'espace vectoriel $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ de dimension 2 sur $\mathbb F_2$. Ainsi, son treillis est $$
\xymatrix{
&*+[F]{C_2^{\,2}}\ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr] \\
*+[F]{C_2} \ar@{-}[dr]& *+[F]{C_2} \ar@{-}[d]& *+[F]{C_2} \ar@{-}[dl] \\
& *+[F]{\{1\}}
}
$$ qui, puisque commutatif, a tous ses sous-groupes distingués, donc encadrés.
Comme l'indique le théorème du treillis-quotient, ce même treillis se retrouve dans celui de $G$ entre $Z$ et $\mathcal D_4$ ; et comme ces sous-groupes sont distingué dans le quotient (abélien) les sous-groupes correspondants de $\mathcal D_4$ sont eux aussi distingués dans $\mathcal D_4$.
Alain

Si tu veux en savoir plus sur le point de vue treillis, on ne peut que recommander l'excellent Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes d'AD !