Normalisateurs
dans Algèbre
Bonjour,
A propos d'un exercice sur les normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe G, je suis amenée à démontrer cette proposition :
si B est un sous-groupe d'ordre p d'un groupe A d'ordre p*r, et D un sous-groupe d'ordre p d'un groupe C d'ordre p*r, p ne divisant pas r, et tels que A inter D = (e) (ainsi que C inter B = (e)), alors p ne divise pas l'ordre de A inter C.
A, B, C et D sont des sous-groupes de G.
Auriez-vous une idée de comment le démontrer ?
A propos d'un exercice sur les normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe G, je suis amenée à démontrer cette proposition :
si B est un sous-groupe d'ordre p d'un groupe A d'ordre p*r, et D un sous-groupe d'ordre p d'un groupe C d'ordre p*r, p ne divisant pas r, et tels que A inter D = (e) (ainsi que C inter B = (e)), alors p ne divise pas l'ordre de A inter C.
A, B, C et D sont des sous-groupes de G.
Auriez-vous une idée de comment le démontrer ?
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Réponses
Soient $G=\mathfrak{S}_4$, $p=2$, $A=\mathrm{Fix}(1)\simeq\mathfrak{S}_3$, $B=\langle(2,3)\rangle$, $C=\mathrm{Fix}(2)\simeq\mathfrak{S}_3$, $D=\langle(1,3)\rangle$.
Alors :
Repartons de l'énoncé.
Il s'agit de montrer que les normalisateurs des $p$-Sylow d'un groupe $G$ fini sont soit le groupe $G$ lui-même, soit tous distincts et en même nombre que le nombre des $p$-Sylow.
S'il n'y a qu'un seul $p$-Sylow, son normalisateur est $G$.
Supposons maintenant que $G$ admet plusieurs $p$-Sylow, donc tous conjugués. Considérons l'action par conjugaison de $G$ sur ses $p$-sous-groupes de Sylow.
Le normalisateur de chacun d'eux est son stabilisateur, or les stabilisateurs des éléments d'une même orbite sont conjugués entre eux, donc tous les normalisateurs sont conjugués entre eux.
D'autre part soit $N$ le normalisateur d'un $p$-Sylow $S$, par cardinalité, $S$ est aussi un $p$-Sylow de $N$ et donc l'unique $p$-Sylow de $N$, puisque distingué dans $N$.
Ainsi, chaque $p$-Sylow de $G$ admet son propre normalisateur.
Pour ta question, supposons que $B\neq D$ d'ordre $p$ sont deux $p$-Sylow de $G$ et supposons en plus que $A$ et $C$ sont leur normalisateur respectifs ;
alors si $A\cap C$ contenait un élément d'ordre $p$, cet élément engendrerait un $p$-Sylow de $G$ qui serait donc $B=D$. Contradiction car $B\neq D$.
Alain
Merci beaucoup pour vos réponses. Désolée pour ma réponse tardive.
Je m'étais bloquée sur cette propriété générale qui me paraissait presque évidente. Mais en fait, elle ne l'est pas ... C'est bien de savoir qu'elle est fausse dans le cas général. Merci pour le contre-exemple.
J'avais fini par trouver en l'abandonnant, elle est vraie avec les normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow, merci pour la démonstration.