Réduction des endomorphismes

Gon
Gon
dans Algèbre
Bonsoir,dans le cours de réduction , il est dit que le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à celui de sa transposée.

est-ce que les multiplicités de ces valeurs propres sont les mêmes?

Merci d'avance.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Si les deux polynômes sont les mêmes, ils se factorisent de la même façon !!
  • Gon
    Gon
    Ma question était mal posée.

    Soit $\lambda \in Sp(A)$, comme c'est aussi un élément de $Sp(^{t}\!A)$, a-t-on $m_{\lambda}(A)=m_{\lambda}(^{t}\!A)$ ?
  • Gon
    Gon
    Désolé @Bisam, je n'avais pas vu ta réponse.
  • Gon
    Gon
    ok mais les vecteurs colonnes seront-elles différentes ?
  • Poirot
    Poirot
    Quels vecteurs colonnes ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    On s'en fiche, des colonnes : c'est le polynôme caractéristique qui détermine les valeurs propres, et ce polynôme est unique pour chaque matrice. Ici, c'est un déterminant : si tu développes le déterminant d'une matrice en colonnes, et celui de sa transposée en lignes, tu vas bien retomber sur le même déterminant, non ? Donc le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités.
  • malavita
    malavita
    Par contre les vecteurs propres diffèrent, par exemple pour $A=\left( \begin{matrix} 0.3 & 0.7 \\ 0.6 & 0.4 \end{matrix} \right)$, 1 est valeur propre de $A$ et $A^T$, $U=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 1, mais ce n'est pas un vecteur propre de $A^T$.

    A+

    F.
  • john_john
    john_john
    Bien sûr, les colonnes (je suppose que tu parles des sous-ev propres) sont en général différentes, quoiqu'elles soient liées par des relations : si $AX=\lambda X$ et $^t\!AY=\mu Y$, avec $\lambda\neq\mu$, alors $^tYX=0$ (former $^t\!YAX$).
  • malavita
    malavita
    Et dans le cas où $A$ est symétrique, la remarque de John_john montre que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont 2 à 2 orthogonaux.
    A+
    F.
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