Sous-variétés algébriques complexes

Bonsoir à tous,

La conjecture de Hodge s'énonce comme suit :

il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe non singulière à partir de ses sous-variétés.

Est ce que, toute sous variété d'une variété projective est une variété projective ?

Merci d'avance.

Bonsoir à tous,

Soit $ X $ une variété complexe projective non singulière de dimension complexe $ n $, de coordonnées locales : $ z_1 , \dots , z_n , \overline{z}_1 , \dots , \overline{z}_{n} $, donc de dimension réelle $ 2n $ et de coordonnées réelles : $ x_1 , \dots , x_n , y_1 , \dots , y_n $.
On nous demande, pour ceux qui ont une idée de cette conjecture, d'établir que : $ \mathrm{cl}_X \ : \ \mathrm{CH}^{n-k} (X) \otimes \mathbb{Q} \to H^{2k} (X, \mathbb{Q} ) \cap H^{k,k} (X) $ est surjective avec : $ k < n $.

J'ai remarqué l'astuce suivante :
On réécrit $ \mathrm{CH}_{n-k} (X) \otimes \mathbb{Q} $ comme suit : $ \mathrm{CH}_{n-k} (X) \otimes \mathbb{Q} = K_\mathbb{Q} \cap \mathrm{CH}_{n-k,n-k} (X) $ avec : $ K_\mathbb{Q} $ à déterminer.

- $ \mathrm{CH}_{n-k,n-k} (X) $ vérifie : $ K_\mathbb{Q} = \mathrm{CH}_{ 2n - 2k , 0 } (X) \oplus \dots \oplus \mathrm{CH}_{ n-k , n-k } (X) \oplus \dots \oplus \mathrm{CH}_{ 0 , 2n - 2k } (X) $.

D'où, la conjecture devient :
Montrer que : $ \mathrm{cl}_X \ : \ K_\mathbb{Q} \cap \mathrm{CH}_{n-k,n-k} (X) \to H^{2k} (X, \mathbb{Q} ) \cap H^{k,k} (X) $ est surjective avec : $ k < n $.

L'étape suivante que j'ai suivi est de remarquer que :
- $ K_\mathbb{Q} = \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2n - 2k } K_\mathbb{Q} \cap \mathrm{CH}_{p,q} (X) $
- $ H^{2k} (X , \mathbb{Q} ) = \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2k } H^{2k} (X , \mathbb{Q} ) \cap H^{k,k} (X) $.

D'où, on va poser $ \mathrm{cl}_{X} = \mathrm{cl}_{X}^{p,q} $, et $ \mathrm{cl}_{X}^{p,q} \ : \ K_\mathbb{Q} \cap \mathrm{CH}_{q,p} (X) \to H^{2k} (X, \mathbb{Q} ) \cap H^{p,q} (X) $, et $ \mathrm{cl}^X = \displaystyle \bigoplus_{p+q=2k} \mathrm{cl}_{X}^{p,q} $, et $ \mathrm{cl}^X \ : \ K_\mathbb{Q} \to H^{2k} (X, \mathbb{Q} ) $ est surjective.

Par conséquent : $ \mathrm{cl}_{X} = \mathrm{cl}_{X}^{p,q} $ est surjective.
CQFD

Donc, ma question est :
Quel est ce $ K_{ \mathbb{Q} } $ tel que : $ \mathrm{cl}^X \ : \ K_\mathbb{Q} \to H^{2k} (X, \mathbb{Q} ) $ est surjective.

Merci d'avance.