Anneau des polynômes
Bonsoir
Un passage dans mon livre même si l'auteur précise que ce passage est hors programme en MPSI. On définit un polynôme comme une suite presque nulle. Notions pas difficile à comprendre. Mais j'ai toujours bloqué sur la manipulation de ce genre de somme.
On définit le polynôme produit $AB$ par la suite de terme $p_k = \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}$
Je ne suis pas habitué à manipuler des sommes où le haut de la somme n'est pas constant. Je ne comprends pas pourquoi :
$\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_{j}$
Mais je bloque dans l'associativité pour démontrer que muni de l'addition et de la multiplication, l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\K$ est un anneau commutatif.
Si $A,B,C$ sont des polynômes alors en posant $D=(AB)C$ :
$\forall n \in \N \ d_n=\displaystyle\sum_{i+l=n} a_i \Big ( \displaystyle\sum_{j+k=l} b_j c_k \Big) = \displaystyle\sum_{i+j+k=n}a_i b_j c_k $
Je suis complètement perdu concernant cette dernière égalité, je n'y comprends rien du début à la fin :-(
Un passage dans mon livre même si l'auteur précise que ce passage est hors programme en MPSI. On définit un polynôme comme une suite presque nulle. Notions pas difficile à comprendre. Mais j'ai toujours bloqué sur la manipulation de ce genre de somme.
On définit le polynôme produit $AB$ par la suite de terme $p_k = \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}$
Je ne suis pas habitué à manipuler des sommes où le haut de la somme n'est pas constant. Je ne comprends pas pourquoi :
$\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_{j}$
Mais je bloque dans l'associativité pour démontrer que muni de l'addition et de la multiplication, l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\K$ est un anneau commutatif.
Si $A,B,C$ sont des polynômes alors en posant $D=(AB)C$ :
$\forall n \in \N \ d_n=\displaystyle\sum_{i+l=n} a_i \Big ( \displaystyle\sum_{j+k=l} b_j c_k \Big) = \displaystyle\sum_{i+j+k=n}a_i b_j c_k $
Je suis complètement perdu concernant cette dernière égalité, je n'y comprends rien du début à la fin :-(
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Réponses
PS:
Cela doit être possible de bricoler une preuve par récurrence de la propriété d'associativité des polynômes.
On a besoin certainement de la notion de degré et de savoir ce qu'est le degré d'un produit de polynômes.
Ce sont les premières pages du cours. Le degré d'un polynôme est abordé après. Mais c'est important pour moi de comprendre ces manipulations de somme, elles servent dans les démonstrations de ce chapitre.
$\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_{j}$
On prend comme hypothèse de récurrence $P_n$ pour tout triplets de polynômes, de degré inférieur ou égal à $n$, $(P,Q,R)$,$ (PQ)R=P(QR)$
Il n'y a plus qu'à prendre trois polynômes de degré $n+1$ et de voir ce qui se passe.
Si $T$ est l'un de ces polynômes il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ tel que $T=ax^{n+1}+T'$ ($a$ appartient au corps, à l'anneau, dans lequel "vivent" les coefficients de l'anneau de polynômes considéré)
et la suite me semble claire.
Je te donne deux polynômes : $P(X) = 2X^3 + 5X^2 + 7X + 6$ et $Q(X)=5X^3 + 4X^2 + 2X + 3$. Quel est le coefficient du monôme de degré $3$ dans $(PQ)(X)$ ?
Si tu poses le calcul, tu vas trouver 74. D'où vient ce 74 ? C'est simple : pour obtenir un monôme de degré $3$ dans le produit, il n'y a pas une infinité de possibilités : soit on multiplie un monôme de degré $3$ par un monôme de degré $0$, soit on multiplie un monôme de degré $2$ par un monôme de degré $1$. Du coup, qui c'est qui donne du degré $3$ dans le produit ?
$2X^3 \times 3 + 5X^2 \times 2X + 7X \times 4X^2 + 6 \times 5X^3 = 6X^3 + 10X^3 + 28X^3 + 30X^3 = 74X^3$.
Maintenant, au lieu de mettre des nombres, on va écrire $P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + a_3X^3$ et $Q(X) = b_0 + b_1X + b_2X^2 + b_3X^3$.
Le coefficient du monôme de degré $3$ dans $(PQ)(X)$ est donc : $a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0$. On a bien la somme des produits des $a_ib_j$ pour toutes les façons possibles d'écrire $i+j=3$.
$\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_{j}$ ?
@Fin de partie
Je ne suis pas convaincu par votre explication.
Du coup, $\displaystyle \sum_{i+j=k}a_ib_j$, on la "paramètre par $i$" : $i$ se balade de $0$ à $k$, et de plus $i+j=k$ si, et seulement si, $j=k-i$. Donc on trouve bien $\displaystyle \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$. Non ?
J'ai écrit la même chose que toi plus haut me semble-t-il et OShine dit ne pas être convaincu.:-D
Qu'il essaie de trouver, par exemple, tous les couples d'entiers naturels $(i,j)$ tels que $i+j=3$ pour qu'il se rende compte.
PS:
Il est clair que lorsqu'on a une égalité entre entiers naturels $A+B=C$ alors $A$ est compris entre $0$ et $C$.
Est-ce que pour chaque valeur entière de $A$ dans l'intervalle $[0,C]$ on a une valeur de $B$ entière telle que $A+B=C$?
Ce qui est sûr est que $B$ est un entier relatif puisque $B=C-A$ et que $A,C$ sont des entiers naturels.
Mais $B=C-A$ Or, $0\leq A\leq C$ donc $-C\leq -A\leq 0$ donc $C-C\leq C-A\leq C$ c'est à dire $0\leq B\leq C$
Si $B$ est un entier relatif compris entre deux entiers naturels c'est que c'est un entier naturel.
Ainsi $A$ peut décrire toutes les valeurs de $0$ à $C$ et la valeur de $B$ correspondante est un entier naturel.
Les couples $(i,j) \in \N^2$ tels que $i+j=3$ sont les couples $\{(0,3) , (3,0) , (1,2) , (2,1) \}$
Et pour le produit :
Si $A,B,C$ sont des polynômes alors en posant $D=(AB)C$ :
$\forall n \in \N \ d_n=\displaystyle\sum_{i+l=n} a_i \Big ( \displaystyle\sum_{j+k=l} b_j c_k \Big) = \displaystyle\sum_{i+j+k=n}a_i b_j c_k $ ?
Déjà je ne comprends pas le $d_n=\displaystyle\sum_{i+l=n} a_i \Big ( \displaystyle\sum_{j+k=l} b_j c_k \Big)$
Cela correspond à $A(BC)$
On commence par calculer $P:=BC$ puis on fait la multiplication $AP$.
C'est ce qu'indique cette formule.
Dans la parenthèse se trouve Le coefficient générique de $BC$ après utilisation de la formule plus haut.
$d_n = \displaystyle\sum_{i+l=n} \displaystyle\sum_{j+k=l} a_i b_j c_k$
Mais je ne comprends pas pourquoi $\displaystyle\sum_{i+l=n} \displaystyle\sum_{j+k=l} a_i b_j c_k =\displaystyle\sum_{i+j+k} a_i b_j c_k$
Soit $A= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et t $B= \displaystyle\sum_{k=0}^m b_k X^k$
Je ne comprends pas comment on montre que $AB= \displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j) X^k$
Ni comment on montre que $AB= \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j}$
$\displaystyle\sum_{i+l=n} \displaystyle\sum_{j+k=l} a_i b_j c_k =\displaystyle\sum_{i+j+k=n} a_i b_j c_k$
Puis dans le produit le passage :
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j) X^k = \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j}$
-- Schnoebelen, Philippe
Pour la deuxième, fais un tableau à double entrées avec un exemple et dessine ce que représente le symbole de sommation à droite.
-- Schnoebelen, Philippe
Pour la première j'avoue ne pas comprendre. Je ne sais même pas qui est $l$.
Pour la 2 je n'ai pas compris quoi mettre dans mon tableau. Je n'ai jamais étudié ce genre de somme.
-- Schnoebelen, Philippe
Ça fait 2 jours que je suis dessus je n'avance pas d'un poil.
Parmi les 3-uplets de nombres entiers naturels solutions de cette équation ($l$ est fixé) on a des 3-uplets solutions dont la première composante est n'importe quel entier compris entre $0$ et $l$.
(c'est vrai aussi pour la deuxième composante, pour la troisième composante)
Déjà je n'arrive toujours pas à comprendre le $\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j$
-- Schnoebelen, Philippe
Pour l'autre je reste bloqué : $\boxed {\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j ) X^k = \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j} }$
J'ai essayé sans succès : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j ) X^k =\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} ) X^k$
À gauche, tu additionnes en diagonale, à droite en ligne puis en colonne.
-- Schnoebelen, Philippe
Dans l'équation $i+j=k$ ($k$ entier naturel fixé)
$i$ peut prendre n'importe quelle valeur a priori si on ne précise pas qu'on veut que $i,j$ soient des entiers naturels.
Le fait est, comme je l'avais expliqué plus haut, que si on prend $i$ entier tel que $0\leq i\leq k$ alors le $j$ correspondant (qui vaut $k-i$) est aussi un entier naturel. Tout ceci est immédiat mais il semble qu'il faille le répéter.
$i,j$ sont des entiers car on parle de coefficients de polynômes. Un polynôme est une suite.
@Nicolas.patrois
Voici ce que j'ai fait mais je ne trouve pas le résultat voulu
$AB=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}) X^k$.
Ensuite étant donné que tu as compris que $\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j$, le produit ci-dessus peut se réécrire comme $AB=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} (\displaystyle\sum_{i+j=k} a_i b_j) X^k$.
Si à présent tu regardes l'expression $\displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j}$, tu vois qu'en sortant les termes en $i$ dans la deuxième somme on a : $\displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j} = \displaystyle\sum_{i=0}^n a_i X^i (\displaystyle\sum_{j=0}^m b_j X^j)=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\displaystyle\sum_{j=0}^m b_j X^j\right)=AB$.
Ce qui montre que $AB=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+m} ( \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}) X^k=\displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\sum_{j=0}^m a_i b_j X^{i+j}$
Je n'avais pas pensé à partir de la somme de droite.
Il me manque un dernier point qui me bloque c'est le :
$\displaystyle\sum_{i+l=n} a_i \Big ( \displaystyle\sum_{j+k=l} b_j c_k \Big) = \displaystyle\sum_{i+j+k=n}a_i b_j c_k $
$\displaystyle\sum_{i+l=n} \displaystyle\sum_{j+k=l} = \displaystyle\sum_{i+j+k=n} $ ?
g:B_n\to A_n,\ (i,j,k)\mapsto (i,j+k,j,k).\]
Merci bien pour votre aide.