Matrices : équation sans solutions

skikis · March 2020

Bonjour à tous,
L'exercice consiste à montrer que pour toutes A et B des matrices carrées de Mn(lK), l'équation AB = BA + In n'admet pas de solutions.
J'ai réussi à le montrer grâce aux traces mais je me demandais s'il n'existait pas une autre manière de le faire sans utiliser les traces et déterminants et tout en restant au niveau Maths Sup.

Des suggestions ?

P. · March 2020

Plus simple que les traces? Pas possible. Et pourquoi parles tu de determinants?

skikis · March 2020

C'est un cours qu'on n'a pas encore fait donc j'ai voulu l'éviter.
En quoi consiste cette méthode de démonstration qui n'est pas simple ?

etanche · March 2020

$AB-BA=I$
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_equation

Avec la règle de Roth on aurait que les matrices par blocs seraient semblables $$
\begin{pmatrix}
A& 0\\
0& A
\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \begin{pmatrix}

A& I\\
0& A
\end{pmatrix} $$

Matrices : équation sans solutions

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