Ensembles algébriques réels et plan tangent

zariski · March 2020

Bonjour à tout.e.s, et bon courage pour cette période particulière.
J'aimerais résoudre un exercice mais je ne sais pas trop comment m'y prendre, pouvez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé. On prend $W$ et $Y$ deux ensembles algébriques non singuliers de $ \mathbb{R}^n$, tels que les composantes irréductibles de $W$ ont toutes la même dimension, et celles de $Y$ également.
On suppose également que $\forall x \in W\cap Y ,\ TW_x+TY_x=\mathbb{R}^n$.
Le but de l'exercice est de montrer que $W\cap Y$ est un ensemble algébrique non singulier de $\mathbb{R}$.

Avez-vous des suggestions ?
Merci d'avance !!

GaBuZoMeu · March 2020

Quelle est la définition de non-singularité que tu utilises ?
Si $d$ est la dimension de $V$ et $e$ celle de $W$, quelle est la dimension de $T_xV\cap T_xW$ en un point $x\in V\cap W$ ?

zariski · March 2020

J'ai cette définition:

Un point régulier d'un ensemble algébrique irréductible $W$ est un point qui maximise le rang de la matrice jacobienne de la fonction $x \mapsto (P_1(x),\ldots,P_r(x))$ où $I(W)=(P_1,\ldots,P_r)$.

Un point régulier d'un ensemble algébrique $V$ quelconque est un point qui appartient à une unique composante irréductible de $V$, et qui est régulier au sens de la définition ci-dessus dans $V$.

Un point est bien sur singulier s'il n'est pas régulier.

La dimension que tu me demandes est égale à
$\dim(T_xW)+\dim(T_xY)-n=n-r_W+n-r_Y-n=n-(r_W+r_Y),$
où j'ai noté $r_W$ et $r_Y$ les rangs maximaux des matrices jacobiennes comme écrites plus haut, respectivement de $W$ et de $Y$.
Mais je crois qu'il me manque le lien entre la dimension du plan tangent de Zariski et la dimension de la variété !

(J'espère que ce que j'écris n'est pas trop brouillon !)

Poirot · March 2020

Un point est régulier lorsque la dimension de l'espace tangent en ce point est égal à la dimension de la variété. Tu peux soit prendre ça comme définition, soit le démontrer à partir de ta définition.

zariski · March 2020

Ok! Donc la dimension qu'il me demande est finalement d+e-n.

Il me faudrait alors montrer que $W\cup Y=\mathbb{R}^n$ et ça sera fini c'est bien ça ?

claude quitté · March 2020

@zariski
Ton histoire de réunion, cela ne peut pas coller : il suffit de prendre pour $Y, W$ des sous-espaces affines de $K^n$ (je note $K$ le corps de base, $\R$ chez toi).

A. Suite au post de GBZM, pour $x \in Y \cap W$, vois tu un lien entre les espaces tangents $T_x(Y)$, $T_x(W)$ et $T_x(Y \cap W)$ ? Note : cela a du sens de les comparer car $Y, W$ étant réalisés dans le même $K^n$, ces espaces tangents sont des sous-espaces de $K^n$.

B. Provisoirement, pour simplifier, supposons $Y, W, Y \cap W$ irréductibles. Vu ton hypothése sur les tangents, $Y \cap W$ n'est pas vide. Et donc il y au moins un point régulier pour $Y \cap W$. Peux tu en déduire la dimension de $Y \cap W$ en fonction de $\dim Y, \dim W, n$ ? On voit d'ailleurs que tu as déjà deviné la chose.

C. Conclure. Puis traiter le cas général.

zariski · March 2020

Merci de votre réponse!

Mais je n'arrive pas encore à conclure. Avec ma définition je n'arrive pas relier, en tant qu'espaces vectoriels $T_x(Y\cap W)$ avec $T_xW$ et $T_xY$. Un indice ?

claude quitté · March 2020

I. A partir des idéaux $I(Y)$ et $I(W)$, comment fabriquer un idéal dont le lieu des zéros est $Y \cap W$ ?
II. Revenir sur les définitions du tangent ? Cf par exemple, la section 6.4 de l'ouvrage de Miles Reid in http://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf
III. Ne pas hésiter à traiter des cas particuliers, comme par exemple $I(Y \cap W) = \cdots$. Note : je ne suis pas clair sur toute l'histoire.

zariski · March 2020

C'est bon j'ai conclu! Merci à tous :-)

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