Fonction polynomiale
Bonjour,
Soit $A \in \K[X]$.
On appelle fonction polynomiale la fonction $\tilde{A} : \K \longrightarrow K \\ x \mapsto A(x)$
L'application $\varphi : \K[X] \longrightarrow \mathcal F(\K,\K) \\ A \mapsto \tilde{A}$ est une application injective et qui vérifie :
$\varphi( \alpha A+ \beta = \alpha \varphi(A) + \beta \varphi (B)$
$\varphi(AB)= \varphi(A) \varphi(B)$
$\varphi(1)=1$
Ces conditions sont-elles triviales à démontrer ? Je ne vois pas comment faire.
Soit $A \in \K[X]$.
On appelle fonction polynomiale la fonction $\tilde{A} : \K \longrightarrow K \\ x \mapsto A(x)$
L'application $\varphi : \K[X] \longrightarrow \mathcal F(\K,\K) \\ A \mapsto \tilde{A}$ est une application injective et qui vérifie :
$\varphi( \alpha A+ \beta = \alpha \varphi(A) + \beta \varphi (B)$
$\varphi(AB)= \varphi(A) \varphi(B)$
$\varphi(1)=1$
Ces conditions sont-elles triviales à démontrer ? Je ne vois pas comment faire.
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Réponses
"Je ne vois pas comment faire" = Je n'ai rien fait aidez-moi
NB : Erreur à la première ligne c'est A, pas a.
ça doit être trivial. Commences par écrire!
$\varphi( \alpha A+ \beta = \tilde{\alpha A+ \beta B}$
Et là je ne vois pas. J'ai du $\tilde{A}$ et pas du $\tilde{A} (x)$.
Je me rends compte que j'ai souvent ce souci d'incompréhension pour les application qui vont dans l'ensemble des fonctions.
Plus tu poses des questions et plus je me dis qu'il te faut absolument consulter le début d'un cours de L1 (voire celui d'un très bon cours de Terminale) afin que tu acquiers les méthodes SYTÉMATIQUES de démonstration.
Presque à chaque fois, tu ne sais pas quoi faire car tu ne sais pas démontrer une implication, ou alors une égalité entre deux objets... alors qu'il existe des méthodes qui marchent À TOUS LES COUPS et qui devraient être des réflexes.
Le début de cours de L1 j'ai bossé dessus pendant longtemps il y a moins d'un an. Les 3 premiers chapitres de mon livre sont des chapitres de transition terminale-prépa.
J'ai dit que ma difficulté principale est de manipuler des applications qui ont comme ensemble d'arrivée un ensemble d'application.
Je ne veux pas montrer que 1 applications sont égales mais qu'une application vérifie certaines propriétés.
Car $(\K[X], + , \times)$ est un anneau commutatif et un espace vectoriel sur $\K$ d'où les propriétés de linéarité.
Surtout tu n'identifie jamais ce que tu as à démontrer, ce qui t'oblige à demander aux autres quoi faire !! Ici tu as à justifier l'égalité de deux applications. Et tu as déjà fait ça au moins 10 fois sans jamais apprendre la méthode (tu voulais seulement un corrigé de la solution !
Finalement, le covid19 t'arrange bien : il retarde le moment où tu te rendras compte que tu n'as jamais appris à faire des maths ...
Pourtant je connais la propriété qu'a citée Bisam je me souviens l'avoir étudié dans le chapitre ensembles et applications.
Je n'ai pas vérifié les ensembles mais la structure d'espace vectoriel de $\K$ nous donne la stabilité par combinaison linéaire.
@Raoul
Ok merci.
@Bisam
Je viens de comprendre votre message ! Vous aviez raison.
Je suppose que dans votre cours, K est un sous-corps de C?
Car la propriété d'injectivité n'est pas vraie pour un corps quelconque. Par exemple pour le polynôme X2 + X sur le corps à deux éléments F2, la fonction polynômiale associée est nulle.
Cordialement.
Oui $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ c'est un cours de MPSI, dans tous les chapitres $\K$ désigne $\R$ ou $\C$.
Je ne pense pas que les polynômes sur d'autres corps soient au programme.
Pour tout $x \in \K$ on suppose $A(x)=B(x)$ donc $(A-B)(x)=0$ soit $A=B$
Mais je ne vois pas vraiment quelle propriété de $\K$ j'ai utilisé.