Critère d'Eisenstein, hypothèse p premier

Bonjour à tous,

J'ai une question sur le critère d'Eisenstein. Voilà l'énoncé qui m’intéresse :Soit $A$ un anneau factoriel. On se donne $P(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i\; \in A[X]$ de degré $n\geq 1$. Si il existe $p\in A$ premier (ou irréductible mais ici les notion coïncident) tel que

• $p\nmid a_n$
• $\forall \;0\leq i\leq n-1,\; p|a_i$
• $p^2 \nmid a_0$

Alors $P(X)$ est irréductible dans le corps des fractions de $A$.
Je joins une image de la preuve pour $A=\mathbb{Z}$ (tirée d'un document universitaire de Lyon). Dans cette preuve l'unicité vient de $\mathbb{Z}_p[X]$ qui est factoriel puisque $\mathbb{Z}_p$ est un corps. Dans mon cas je raisonne plus généralement avec $A$ factoriel, mais $A/pA$ n'est pas un corps.. Donc on passe au corps des fractions de $A/pA$ pour conclure.
En fait je me demande si $p$ premier n'est utile qu'à montrer que l'idéal $pA$ est premier et donc que $A/pA$ est intègre et donc que le corps des fractions de $A/pA$ est bien défini.

Merci de votre aide.