Dérivabilité

Je vais essayer.
f(x)=tr(e^x.A.S)=tr(((somme de 0 jusqu'à plus infini) (1/k!)x^kA^k).S)=(somme de 0 jusqu'à plus infini) (1/k!)x^kA^k). tr(S)
on pose f_n:x --> (1/n!)xⁿAⁿ)
on la série f_n converge simplement vers e_x.A
et on a f_n est dérivable sur IR
et on a la série f'_n converge uniformément sur IR
donc d’après le théorème de dérivation des séries de fonctions x-->(somme de 0 jusqu'à plus infini) (1/k!)x^kA^k) est dérivable sur IR
donc f est dérivable sur IR et f'(x)=(somme de 0 jusqu'à plus infini) (1/(k-1)!)x^k-1A^k)tr(S)=tr(A.e^x.A.S).
C'est ça ?
Pour la convergence uniforme de la série dérivée de la fonction est-ce que je dois le démontrer ou bien c'est clair.

ce n'est pas $A^k \text{tr}(S)$ mais c'est la [(somme de 0 jusqu'à plus infini) (1/k!)x^kA^k]. tr(S)

Est ce que ce passage est faux: $$\text{tr}(e^{xA}S) = e^{xA}\text{tr}(S).$$
ou bien tout l'exercice est faux?