Un calcul de déterminant

abernard · March 2020

Bonjour
Soit $\Delta_n = \begin{vmatrix}
1+x^2 & x & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
x & 1+x^2 & x & 0 &\cdots & 0 \\
0 & x & 1+x^2 & x & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x & 1 +x^2 & x \\
0 & 0 & \cdots & 0 & x & 1+x^2
\end{vmatrix} ,\ $ avec $n$ lignes et $n$ colonnes.

Il semblerait que $\Delta_n = 1 + x +x^2 + x^4 + \cdots + x^{2n} $ seulement j'ai des difficultés à le prouver.
En développant suivant la première colonne, on obtient rapidement $\Delta_n = (1+x^2) \Delta_{n-1} - x^2 \Delta_{n-2}$
Je résous l'équation $r^2-(1+x^2)r+x^2 = 0 $. J'obtiens $r_1 = x^2$ et $r_2 = 1$.
J'en déduis qu'il existe $\lambda$ et $\mu$ des polynômes tels que pour tout $n > 0$, $\Delta_n = \lambda + \mu x^{2n}$.

Cela semble incompatible avec le résultat à trouver. J'ai du faire une erreur quelque part non ?

YvesM · March 2020

Bonjour,

Lorsque tu obtiens la récurrence, tu calcules à la main les quatre premiers termes. Tu devines le résultat. Tu le démontres par récurrence.

Math Coss · March 2020

sage: def d(n):
....:     def f(i,j):
....:         if i==j:
....:             return 1+x^2
....:         if abs(i-j)==1:
....:             return x
....:         return 0
....:     return Matrix(n,n,f).det().expand()
....: 
sage: d(3)
x^6 + x^4 + x^2 + 1
sage: d(4)
x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1
sage: d(5)
x^10 + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1

Chaurien · March 2020

Tu as un terme $x$ en trop dans ton $\Delta_n$, en fait $\Delta_n = 1 +x^2 + x^4 + \cdots + x^{2n}$.
Prouve-le donc par récurrence avec ta formule de récurrence $\Delta_n = (1+x^2) \Delta_{n-1} - x^2 \Delta_{n-2}$. 98252

abernard · March 2020

Merci.

En effet je peux me débrouiller par récurrence.

Conceptuellement j'avais du mal à me convaincre qu'on puisse trouver aussi la solution avec le raisonnement que j'avais ébauché. On trouve en fait $\lambda = \frac{1}{1-x^2}$ et $ \mu = \frac{-x^2}{1-x^2} $

D'où $\Delta_n = \frac{1-x^{2n+2} } {1-x^2}$ et on reconnait la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique $(x^{2n} )_{n \in \mathbb{N} } $, donc pas d'inquiétude, j'aurais dû aller jusqu'au bout de mon raisonnement !

nahar · March 2020

Bonsoir,
abernard: ce que tu as fait m'a l'air de bien marche (excepté que pour $x^2=1$ l'équation caractéristique admet une solution double!).
$\lambda$ et $\mu$ se calculent facilement (calculer $\Delta_1$ et $\Delta_2$.
Pour le cas $x^2=1$ on peut peut-être utiliser la continuité.
Cordialement
PS: Je n'avais pas vu ton message abernard .

Un calcul de déterminant

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