Somme et produit d'entiers algébriques
dans Algèbre
Bonsoir
Je prends comme définition : un nombre complexe $a$ est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficient entiers.
Je voudrais montrer de manière la plus élémentaire possible que si $a$ et $b$ sont deux entiers algébriques, alors $a+b$ et $ab$ sont aussi des entiers algébriques. On note $P_a$ (de degré noté $d$) le polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $a$ et de même pour $P_b$ avec $b$. On note $b_1 := b, \ldots, b_p$ les racines (complexes) de $P_b$.
Une preuve partielle trouvée sur internet donne le polynôme : $$
P_{a+b} (X) := \prod_{i=1}^p P_a (X-b_i)
$$ comme polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $a+b$ et $$
P_{ab} (X) := \prod_{i=1}^p b_i ^d P_a \left(\dfrac{X}{b_i} \right)
$$ comme polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $ab$.
Je suis d'accord avec le fait que $P_{a+b}$ et $P_{ab}$ annulent respectivement $a+b$ et $ab$ et qu'ils sont unitaires.
Pourtant je ne trouve pas trivial le fait qu'ils soient à coefficients entiers.
Auriez-vous une piste pour établir cela de manière simple sans trop d'outils sophistiqués ?
Merci d'avance !
Je prends comme définition : un nombre complexe $a$ est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficient entiers.
Je voudrais montrer de manière la plus élémentaire possible que si $a$ et $b$ sont deux entiers algébriques, alors $a+b$ et $ab$ sont aussi des entiers algébriques. On note $P_a$ (de degré noté $d$) le polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $a$ et de même pour $P_b$ avec $b$. On note $b_1 := b, \ldots, b_p$ les racines (complexes) de $P_b$.
Une preuve partielle trouvée sur internet donne le polynôme : $$
P_{a+b} (X) := \prod_{i=1}^p P_a (X-b_i)
$$ comme polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $a+b$ et $$
P_{ab} (X) := \prod_{i=1}^p b_i ^d P_a \left(\dfrac{X}{b_i} \right)
$$ comme polynôme unitaire à coefficients entiers annulant $ab$.
Je suis d'accord avec le fait que $P_{a+b}$ et $P_{ab}$ annulent respectivement $a+b$ et $ab$ et qu'ils sont unitaires.
Pourtant je ne trouve pas trivial le fait qu'ils soient à coefficients entiers.
Auriez-vous une piste pour établir cela de manière simple sans trop d'outils sophistiqués ?
Merci d'avance !
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Réponses
- Le produit des deux polynômes à coefficients entiers est-il un polynôme à coefficient entiers ?
- Comme $d$ est le degré, $b^d P(x/b)$ est à coefficients entiers, non ?
Il faut utiliser un résultat à démontrer : si $b_i$ est un entier algébrique pour $i=1,2,...,p$ (d'un même polynôme) alors, pour tout $q$ : $b_1^q+b_2^q+...b_p^q$ est entier relatif.
Pour illustrer : $(X-b_1)(X-b_2) = X^2-(b_1+b_2)X+b_1b_2 = 0$ et donc $b_1+b_2 \in \Z, b_1b_2 \in \Z$.
Puis, $b_1^2+b_2^2 = (b_1+b_2)^2 - 2 b_1b_2 \in \Z.$
Puis $b_1^3+b_1^3 = (b_1+b_2)^3 - 3 b_1b_2 (b_1+b_2) \in \Z.$
Je vous remercie pour votre réponse!
Cependant je ne vois pas pourquoi ça saute aux yeux que $b^d P_a(x/b)$ serait à coefficients entiers?
En effet, on a en notant $P_a(X):= X^d + \sum_{k=0}^{d-1} c_k X^k$ (avec $c_k$ entiers) :
$$b^d P_a(x/b) = x^d + b c_{d-1} x^{d-1} + \cdots + b^{d} c_0$$
Pourquoi on aurait $b, b^2 ,\cdots, b^d$ entiers?
Avec le lemme que vous proposez je suis d'accord cependant!
Mais je trouve ça bizarre car alors on aurait avec $q=1$ et $p=1$: $b$ entier, donc tout entier algébrique serait entier?
C'est faux avec $i$: $(i)^2 +1 =0$
Donc il faudrait utiliser les relations coefficients-racines pour l'établir me semble-t-il?
Merci!
Je suis un peu perdue, auriez-vous une piste pour démontrer que les polynômes $P_{a+b}$ et $P_{ab}$ soient à coefficients entiers?
Merci !
Pour $\displaystyle p=q=1$, le degré des polynômes est $1$. Ton contre-exemple $\displaystyle 1+i^2 = 0$ n'est pas valide. N'est-ce pas ?
Et pour $\displaystyle p=q=1$, oui, un entier algébrique est un entier relatif puisque $\displaystyle X-a = 0$ implique $\displaystyle X=a \in \Z$ est une racine entière car les coefficients sont entiers.
Pour le produit des polynômes, prenons un exemple avec $p=2$ et $ q=2$ :
On a donc $\displaystyle P_a(X) = X^2+AX+B$ et on a $P_{ab}(X) = (b_1^2 ((X/b_1)^2 + A(X/b_1)+C)) (b_2^2 ((X/b_2)^2 + A(X/b_2)+C)) =(X^2 + A b_1 X + C b_1^2)( X^2 + A b_2 X + C b_2^2) = \\ \displaystyle =X^4 + A X^3 (b_1+b_2) + X^2 (C (b_2^2+b_1^2) + A^2 b_1b_2) + C^2b_1^2b_2^2.$
Tous les coefficients sont entiers relatifs.
La démonstration revient à démontrer que $P_{ab}(X)$ est une fonction symétrique des $b_i$ : c'est évident, non ?
Cependant, j'avais mal compris ce que vous vouliez montrer et je voulais dire que ce n'était pas forcément le cas s'il est annulé par un polynôme de degré 2 ou plus, par exemple $X^2+1$ annule $i$, donc $i$ est un entier algébrique non entier.
J'ai du mal à comprendre le sens de "$P_{ab}(X)$ est une fonction symétrique des $b_i$".
Cependant je vois, grâce à vous, vers là où il faut aller : il faut montrer que les coefficients de $P_{ab}$ sont des polynômes à coefficients entiers en les polynômes symétriques élémentaires des $b_i$. Ainsi on pourra conclure, car les polynômes symétriques élémentaires des $b_i$ sont des entiers (car $P_b$ est à coefficients entiers)
Pour cela, je suppose évidemment qu'il faut utiliser le théorème de structure des polynômes symétriques.
Pour l'appliquer, il suffit donc de montrer que :
1) les coefficients de $P_{ab}$ sont dans $\mathbb{Z}[b_1, \ldots, b_p]$
2) chaque coefficient de $P_{ab}$ est un polynôme symétrique.
1) On voit clairement que c'est le cas pour chaque $b_i ^d P_a (X/ b_i )$ et donc pour le produit.
2) C'est à mon sens moins évident, cependant si je pose $P_a (X) := \prod_{i=1}^d (X-a_i)$, j'obtiens après calcul : $$
P_{ab}(X)= \prod_{j=1}^{p} \prod_{i=1}^d (X-b_j a_i).
$$ Donc par relation coefficients-racines, les coefficients de $P_{ab}$ sont de la forme : $$
(-1)^{N-k} \sigma_{k} \big( (b_j a_i)_{i,j} \big),
$$ où $\sigma_k$ est le $k$-ième polynôme symétrique élémentaire.
Est-ce correct d'appliquer le théorème de structure des fonctions symétriques ainsi ?
Merci d'avance !
Une âme charitable peut-elle prendre le relais pour montrer comment utiliser les polynômes symétriques élémentaires ?
PS: De mon côté, je considère l'expression $\displaystyle P_{ab}(X) = \prod_{i=1}^p b_i^d P_a(X/b_i)$ comme un polynôme en les $b_i$ pour $i=1,2,...,p$ et il est évidemment symétrique. Mais je ne connais pas les écritures mathématiques correctes.
Pardon pour ce pas de côté qui esquive les polynômes symétriques.
Il existe aussi, pour cette question, cette autre approche classique d'algèbre linéaire qui pourrait t'intéresser. C'est toi qui vois.
Soient $a$ et $b$ des entiers algébriques non nuls.
$ \exists m,n \in \N^*,\:\:\exists p_k, q_k \in \Z $ tels que $a^n = \displaystyle \sum _ {k=1}^{n-1} p_ka^k , \:\: b^m = \sum_{k=0}^{m-1} q_k b^k . $
Ainsi tout élément de l'anneau $\Z[a,b]$ est une $\Z$-combinaison linéaire des $a^kb^l$ où $0\leqslant k\leqslant n-1, \: 0 \leqslant l \leqslant m-1.$
Soit $\xi = a+b$ ou $ \xi =ab$.
$ \forall (i,j) \in [\![0;n-1]\!] \times [\![0;m-1]\!],\:\:\: \: \xi\: a^{i} b^j \in \Z[a,b],\qquad \:\xi\: a^{i} b^j=\displaystyle \sum_{\substack{0\leqslant k\leqslant n-1\\ 0 \leqslant l \leqslant m-1}} A_{k,l}^{(i,j)} a^k b^l, \qquad A_{k,l}^{(i,j)} \in \Z,\: $
Désignons par $ \mathcal A$ la matrice de $ \mathcal M _{mn} (\Z) $ dont le coefficient situé ligne $(i,j)$ et colonne $(k,l)$ est $A_{k,l}^{(i,j)}$ , et par $X$ le vecteur-colonne de $\mathcal M _{mn,1} (\C) $ dont les coefficients sont les $a^ib^j$. Alors les relations ci-dessus, valables pour tout $ (i,j) \in [\![0;n-1]\!] \times [\![0;m-1]\!]$, s'écrivent matriciellement:
$ \xi X =\mathcal AX \:\:$ avec $X \neq 0$, et cela entraîne:$ \quad \text{Det }(\mathcal A- \xi\: \mathcal I _{mn}) = 0.\quad$$\xi$ annule donc un polynôme unitaire de $\Z[X]$. $$\boxed{\xi \:\text{est un entier algébrique.}}$$
Exemple : $ P(X) =X^2 -X-3,\:\:Q(X)= X^3-X-1,\:\: P(a) =0 ,\: \:Q(b) =0.$
On ordonne les lignes et colonnes de $\mathcal A$ avec la suite $ (a^0b^0, a^0b^1,a^0b^2,a^1b^0,a^1b^1,a^1b^2).$
Si $ \xi = a+b$, alors $\:\: \mathcal A = \begin{pmatrix}0&1&0&1&0&0 \\1&0&1&0&1&0 \\1&1&0&0&0&1 \\ 3&0&0&1&1&0 \\0&1&0&0&1&1 \\0&0&3&1&1&1 \end{pmatrix}.\qquad$ Si $\xi =ab$, alors $\:\:\mathcal A = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&1 \\0&0&0&1&1&0 \\0&3&0&0&1&0 \\ 0&0&3&0&0&1 \\3&3&0&1&1&0 \end {pmatrix}.$
$P_{a+b}(X) = X^6-3X^5-6X^4+15X^3+11X^2-32X+11.\qquad P_{ab}(X) = X^6-7X^4-10X^3+9X^2+9X-27.$
J'adore votre preuve LOU16, que je trouve très élégante!
Je vous remercie grandement pour votre aide et je pense rester sur cette preuve, super bien expliquée!
Je remercie aussi les autres contributeurs dont YvesM pour leur aide sur ce sujet.
Si d'autres utilisateurs ont des idées pour la preuve utilisant les polynômes symétriques, qu'ils n'hésitent pas, je lirais cela volontiers.
Merci encore!