Produit de polynômes qui est à coefs entiers

lesmathspointclaires
lesmathspointclaires
dans Algèbre
Soit P et Q deux polynômes à coef réels positifs, tels que PQ est à coef entiers.

Est-ce que les coefs de P et de Q sont dans l'extension du corps des rationnels engendrée par les racines carrées ?

(Même question si P et Q sont à coefs quelconques mais le cas qui m’intéresse est celui des coefs positifs).
Merci.

Réponses

  • soland
    soland
    $\pi x\times x/\pi=x^2$
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    @soland : je demande des polynôme unitaires à coef constant égaux à 1.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    $X^2 + \pi X + 1$ et $X^2 + \dfrac{1}{\pi}X + 1$ vérifient les conditions que tu viens de rajouter

    J'ai dit une bêtise.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    lesmathspointclaires écrivait :
    > @soland : je demande des polynôme unitaires à coef constant égaux à 1.

    Peux-tu reformuler précisément ta question, avec toutes les hypothèses ?
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    @ GBZM : ok , je vais donner le pb avec les hypothèses les plus fortes tel qu'il m'interesse et après, si c'est vrai avec ces hypothèses dont certaines seront peut-être inutiles, on verra si on peut renforcer le resultat en les affaiblissant, je donne fonc plus de contraintz qu'au début :


    P et Q sont unitaires et leur coefs sont des entiers algébriques sur le corps des rationnels, ces coefs sont compris entre 0 et 1, P(0) = Q(0) = 1 et PQ est à coefs entiers.


    As-t-on que P et Q ont des coefs dans l'extension des rationnels engendrée par les racines carrées?
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    A la base, je m'interesse à cette question : https://mathoverflow.net/questions/339137/why-polynomials-with-coefficients-0-1-like-to-have-only-factors-with-0-1-coe
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    As-tu effectué des tests informatiques ? Par exemple si j'essaie au hasard de résoudre $(x+b)(x^2+ax+a')=x^3+3x^2+x+2$, je trouve une solution avec des réels positifs et avec $b$ qui a pour polynôme minimal $b^3 - 3b^2 + b - 2$. Donc la réponse est non.
    {b: 2.893289196304498?, a: 0.10671080369550221?, a': 0.6912547845388333?}
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    Merci beaucoup Champ-pot-Lion !

    Je vais essayer de faire des tests pour voir si on peut avoir aussi coef entre zéro et un...

    Comment effectues-tu ces tests ? Ça me parait un peu diffucile de se débrouiller avec Python basique, mais c'est peut être parce que je manque d'imagination...

    Merci encore, porte-toi bien!
  • b.b
    b.b
    Oui, mais on n'a pas $P(0)=Q(0)=1$ dans l'exemple de Champ-Pot-Lion.
  • callipiger
    callipiger
    Bonsoir
    mais ici dans ton exemple Champ-pot-Lion, la constante n'est pas égale à 1.

    Je pense qu'il s'agit de regarder la notion de "contenu d'un polynôme" Wikipedia .
  • b.b
    b.b
    Je me permets de recopier ton problème en $\LaTeX$, lesmathspointclaires. Peut-être qu'il sera plus visible ainsi. J'ai omis le fait que les coefficients de $P$ et $Q$ sont des entiers algébriques, ça découle des hypothèses : vu que $PQ$ est unitaire à coefficients entiers, les racines de $P$ et $Q$ sont des entiers algébriques et les coefficients de $P$ et $Q$ sont des polynômes en les racines de $P$ et $Q$ (respectivement), donc des entiers algébriques.

    Ton énoncé : soient $P,Q\in\R[X]$ des polynômes unitaires dont les coefficients appartiennent à $[0,1]$ et tels que $P(0)=Q(0)=1$. On suppose de plus que le produit des polynômes $PQ$ est dans $\Z[X]$.

    La question est de savoir si les coefficients de $P$ et $Q$ appartiennent à l'extension $\Q(\sqrt 2,\sqrt 3, \sqrt 5,\sqrt 7,\dots)$ de $\Q$ engendrée par les racines carrées de nombres premiers.

    Tu confirmes ?
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Ah, j'ai manqué la condition $P(0)=Q(0)=1$ à la lecture.

    Pour python, j'ai utilisé sage.
    R.<a,b,c,d> = QQ[]
J = R.ideal(<ici les équations à résoudre>) 
J.variety(QQbar) # Afficher ça.
J[0]["a"].minpoly() # Donne le polynôme minimal de a de la première solution.
  • Math Coss
    Math Coss
    Champ-Pot-Lion pourrait prendre les polynômes réciproques : $bx+1$ et $1+ax+a'x^2$.
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    b.b oui c'est celà (effectivement les coefs dont nécessairement algebriques)
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Math Coss, il faut aussi que les polynômes soient unitaires donc je ne comprends pas.

    On ne peut pas tester naïvement comme je l'ai fait quand on a les deux contraintes (unitaire et de coefficient constant 1) car le système à résoudre n'a en général pas de solution.
  • Math Coss
    Math Coss
    Ah pardon, je pensais qu'il n'y avait qu'une seule contrainte.
  • callipiger
    callipiger
    En tout cas si P et Q prennent chacun un monôme issu des polynômes de degré 2 irréductibles sur $\mathbb{R}$ dont la décomposition de PQ en produits d'irréductibles et que ces irréductibles sont à coefficients dans $\mathbb{Q}$ la réponse est oui (en rajoutant dans P et Q les monômes irréductibles $\mathbb{Q}$) mais cela fait trop de conditions en plus face au problème de départ .
  • marco
    marco
    Soit $R=X^8+1$, alors $R=\Pi_{k\in E}(X- \omega^k)$ avec $\omega=e^{i \pi/8}$, et $E=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$.
    Soit $P=(X-\omega^3)(X-\omega^{13})=X-2\sin(\frac{\pi}{8})X+1=X^2-(\sqrt{2-\sqrt{2}})X+1$.
    Alors $P$ est unitaire et $P(0)=1$,
    Et $R$ est divisible par $P$ : le quotient est $Q$, qui est aussi unitaire et tel que $Q(0)=1$
    De plus, les coefficients de $P$ n'appartiennent pas au corps $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}, \dots)$.
    $PQ=X^8+1$ qui est à coefficients entiers.
    Ça répond donc à la deuxième question du premier message (où on cherche seulement $P$ et $Q$ à coefficients non nécessairement positifs).
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    C'est curieux j'étais persuadé d'avoir répondu à ton mail marco! (pour dire merci^^)

    Je viens de réaliser qqchose qui fera peut-être avancer : Si on note $K$ l 'extension de $\mathbb Q$ engendrées par les racines carrées, je pense qu'on a $K[coefs(P)]=K[coefs(Q)]$ (où $coefs(P)$ et $coef(Q)$ sont resp. les ensembles des coefs de $P$ et $Q$)


    Je détaille un peu : pour tt polynôme $R$, et tout entier $k\leq deg(R)$ notons $coefs(R)^k$ (resp. $coef(R)_k$ l'ensemble des coefs associés aux monômes d'exposants plus grands ou égaux à $deg(R)-k$ (resp. plus petits que $k$)

    On a alors pour tout $k$ bien défini, $K[coefs(P)^k]=K[coefs(Q)_k]$

    En effet si $k'$ est le plus petit tel que ça ne marche pas l'examen du monôme de $PQ$ d'exposant $k'$ fournit une contradiction (on utilise que les coefs constants sont 1 et que les polynômes sont unitaires)
  • P.
    P.
    Le problème de la factorisation d'un polynôme à coefficients 0 et 1 par des polynomes moniques à coefficients positifs est decrit dans la these de troisième cycle de Christiane Lepetit-Speder 1972 Université de Clermont Ferrand, avec la conjecture suivante : cette factorisation ne peut se faire que par des polynômes également à coefficients 0 ou 1. Elle le montre dans le cas particulier relativement facile ou le polynôme à factoriser est réciproque en généralisant la méthode de Krasner et Ranulac CRAS 1937 qui le prouvaient dans le cas du polynôme $1+x+x^2+\cdots+x^n.$

    De facon générale le problème de la factorisation pour la convolution de la mesure de Haar restreinte à un ensemble de mesure positive bornée dans un groupe commutatif est difficile. Même Paul Levy s'y était cassé les dents pour la probabilité uniforme sur $[0,1].$
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