Une autre partition de [1,n]

Bonjour,

tout le monde connait la partition suivante:
$[1,n]= \cup_{d|n} \{ k \in [1,n] , pgcd(k,n)=d \}$ (bien évidemment, l'ensemble [1,n] étant pris sur les entiers)

est-il vrai que :
Si $d$ est un entier divisant $n$:
$ \{ k \in [1,n] , pgcd(k,n)=d \}$=$\{ k' \in [1,n'] , pgcd(k',n')=1 \}$ avec $k'=k/d$ et $n'=n/d$

Si oui, comment le démontrer par double inclusion ?

En vous remerciant.