Confinement et polynôme

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,

Déterminer l'ordre de la racine $a$ pour le polynôme $P(x) - P(a) - (x - a)[P'(x) + P'(a) + 4P'(x/2 + a/2)]/6$.

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Cinq en général ?
  • callipiger
    callipiger
    Le terme $[P'(x) + P'(a) + 4P'(x/2 + a/2)]/6$, c'est la formule Simpson qui permet de calculer $\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{P^{''}(t)}{2!}(x-t)^2 dt$ (si je ne me trompe pas et que je ne vais pas trop vite dans mon raisonnement) , le reste de la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 de P(x),

    j'ai regardé sur Wikipédia l'ordre de la formule de Simpson , et Wikipédia m'a dit que la formule est juste pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 , donc l'ordre des racines du polynôme est au moins 4.

    Comment fais-tu pour trouver l'ordre 5 Math-Coss ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Comme ça. Notez bien le point d'interrogation svp. 
    sage: p = sum(var('a%s'%k)*(x-b)^k for k in range(10))
sage: q = p-p.subs(x=b)-(x-b)*(diff(p,x)+diff(p,x).subs(x=b) + 4*diff(p,x).subs(x=x/2+b/2))/6
sage: q.expand().subs(b=0)
-67/128*a9*x^9 - 3/8*a8*x^8 - 23/96*a7*x^7 - 1/8*a6*x^6 - 1/24*a5*x^5
  • callipiger
    callipiger
    Ok donc l'ordre est au plus 4.
  • jandri
    jandri
    Pour simplifier les calculs on peut supposer sans perte de généralité que $a=0$.

    Pour $Q(x)=P(x) - P(0) - \dfrac x6(P'(x) + P'(0) + 4P'(x/2))$ on montre que $Q^{(k)}(0)=0$ pour $0\leq k\leq 4$ mais $Q^{(5)}(0)=-\dfrac1{24}P^{(5)}(0)\neq0$ en général donc $0$ est racine d'ordre $5$ en général.
  • callipiger
    callipiger
    J'ai besoin de comprendre, l'ordre de 0 dans $Q(x)$ n'est pas la plus [petite] valeur de $a$ telle que $X^a$ divise $Q(x)$ ?
    Et dans ce cas la formule de Taylor n'est pas nulle que pour $X^{a+1}$, mais l'est avant ?
  • jandri
    jandri
    $X^a$ divise $Q(X)$ est équivalent au fait que les coefficients de $X^k$ sont nuls pour $k<a$ (pas pour $k=a$ en général).
  • callipiger
    callipiger
    ok j'ai compris, j'ai fait de mauvais calculs , désolé pour ça .
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    N'y aurait-il pas une solution basée sur l'algèbre linéaire ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • jandri
    jandri
    On peut introduire un peu d'algèbre linéaire en considérant l'application linéaire $\varphi$ définie sur $\K[X]$ par : $$\varphi(P)=P(x) - P(a) - \frac16(x - a)[P'(x) + P'(a) + 4P'(x/2 + a/2)]$$

    On montre sans difficulté que $\varphi((X-a)^k)=\lambda_k(X-a)^k$ avec $\lambda_k=0$ pour $0\leq a\leq 4$.
    Cela entraîne que $\varphi(P)$ est divisible par $(X-a)^5$.
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