Étude d'une application
dans Algèbre
Bonjour
Donc voilà, je viens de reprendre mes études en maths en autodidacte et je suis nouveau sur les-mathematiques.net
J'ai commencé par le cours "Éléments de logique, ensembles et applications".
J'ai un petit exercice qui me pose problème, le voici.On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^{3}$ définie par : $f(x,y)=(x+y,\ 3x-y,\ 2x+y)$
1- Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de $f$.
2- Déterminer $f^{-1}$ si $f$ est bijective.
3- Que vaut $f(\mathbb{R}^2)$ ?
Mon travail.
1- Injectivité
Soient $(x,y)$ et $(x',y')$ appartenant à $\mathbb{R}^2$ tels que : $f(x,y)=f(x',y')$
$f(x,y)=f(x',y')\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x+y =x'+y'\\3x-y= 3x'-y'\\2x+y=2x'+y' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\x-2y=x'-2y' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\x-2(x'+y'-x)=x'-2y' \end{array} \right.$
$\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\3x=3x' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =y'\\x=x' \end{array} \right.\Longrightarrow (x,y)=(x',y')$
On en déduit que: $\boxed{f\text{ est bien injective}}$
Surjectivité
Soit $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, montrons qu'il existe $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vérifiant: $f(x,y)=(a,b,c)$
C'est-à-dire, montrons qu'il existe $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vérifiant: $\left\{ \begin{array}{cl}x+y =a\\3x-y=b\\2x+y=c \end{array}\right.$
$\left\{ \begin{array}{cl}x+y =a\\3x-y=b\\2x+y=c \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}x+y =a\\x -2y=b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}2x+2y =2a\\x -2y=b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}y=a-x\\3x=2a+b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}x=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{3}b-\dfrac{1}{3}c\\y=\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{3}b+\dfrac{1}{3}c\end{array}\right.$
Ici j'ai testé le résultat en remplaçant les expressions de $x$ et $y$ trouvées dans les équations:
J'ai bien $x+y=a$ , mais $3x-y\neq b$, et $2x+y\neq c$
Alors, où est l'erreur ? Et comment procéder pour montrer la surjectivité dans ce cas ?
Merci d'avance pour les explications, corrections et astuces
Cordialement.
Donc voilà, je viens de reprendre mes études en maths en autodidacte et je suis nouveau sur les-mathematiques.net
J'ai commencé par le cours "Éléments de logique, ensembles et applications".
J'ai un petit exercice qui me pose problème, le voici.On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^{3}$ définie par : $f(x,y)=(x+y,\ 3x-y,\ 2x+y)$
1- Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de $f$.
2- Déterminer $f^{-1}$ si $f$ est bijective.
3- Que vaut $f(\mathbb{R}^2)$ ?
Mon travail.
1- Injectivité
Soient $(x,y)$ et $(x',y')$ appartenant à $\mathbb{R}^2$ tels que : $f(x,y)=f(x',y')$
$f(x,y)=f(x',y')\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x+y =x'+y'\\3x-y= 3x'-y'\\2x+y=2x'+y' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\x-2y=x'-2y' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\x-2(x'+y'-x)=x'-2y' \end{array} \right.$
$\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =x'+y'-x\\3x=3x' \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}y =y'\\x=x' \end{array} \right.\Longrightarrow (x,y)=(x',y')$
On en déduit que: $\boxed{f\text{ est bien injective}}$
Surjectivité
Soit $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, montrons qu'il existe $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vérifiant: $f(x,y)=(a,b,c)$
C'est-à-dire, montrons qu'il existe $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vérifiant: $\left\{ \begin{array}{cl}x+y =a\\3x-y=b\\2x+y=c \end{array}\right.$
$\left\{ \begin{array}{cl}x+y =a\\3x-y=b\\2x+y=c \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}x+y =a\\x -2y=b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}2x+2y =2a\\x -2y=b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}y=a-x\\3x=2a+b-c\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{cl}x=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{3}b-\dfrac{1}{3}c\\y=\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{3}b+\dfrac{1}{3}c\end{array}\right.$
Ici j'ai testé le résultat en remplaçant les expressions de $x$ et $y$ trouvées dans les équations:
J'ai bien $x+y=a$ , mais $3x-y\neq b$, et $2x+y\neq c$
Alors, où est l'erreur ? Et comment procéder pour montrer la surjectivité dans ce cas ?
Merci d'avance pour les explications, corrections et astuces
Cordialement.
Réponses
-
Pourquoi parles-tu d’erreur ?
La consigne dit-elle de démontrer que l’application est surjective ?
Cordialement -
L'application n'est pas surjective. La première équivalence n'en est pas une tu n'as qu'une implication de gauche à droite.
-
Bonsoir,
si f est surjective c'est sur son image, a priori le calcul n'est vrai que si (a,b,c) est dans l'image de f.
il faudrait plutôt montrer que f n'est pas surjective. Le calcul montre plutôt que f n'est pas surjective en fait . -
Pour montrer que $f$ n'est pas surjective il suffit de montrer :
$\exists (a,b,c) \in R^{3} , \forall (x,y) \in \R^2 \ f((x,y)) \ne (a,b,c)$ -
Merci pour vos posts,
@Dom: Oui tu as raison, il s'agit d'étudier la surjectivité, rien ne dit que l'application est surjective. Je voulais dire par "erreur" le fait que la solution du système qui ne vérifie pas ses équations , je trouve cela bizarre, alors je me suis dit que j'ai fait une erreur de calcul quelque part.
@:raoul.S Ah oui c'est vrai! $x-2y=b-c$ n'implique pas $3x-y=b \text{ et } 2x+y=c$ à priori, je pense que c'est ça la raison pour laquelle les expressions de $x$ et $y$ trouvées ne marchent pas sur ces équations.
@callipiger et Oshine Il faut trouver un contre-exemple c'est bien cela? Ok, je me penche là-dessus
Cordialement -
pourquoi ne pas essayer avec (a,b,c)=(5,1,-4) ?
-
D'accord, alors prenons $(5,1,-4)$, essayons de trouver un couple $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vérifiant $f(x,y)=(5,1,-4)$
$f(x,y)=(5,1,-4)\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x+y=5 \\3x-y=1\\2x+y=-4\end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x=5-y \\3(5-y)-y=1\\2x+y=-4\end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x=5-y \\15-4y=1\\2x+y=-4\end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x=5-y \\y=\dfrac{7}{2}\\2x+y=-4\end{array} \right.$
$\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{cl}x=\dfrac{3}{2} \\y=\dfrac{7}{2}\\2x+y=3+\dfrac{7}{2}=\dfrac{13}{2}\neq-4\end{array} \right.$
Donc il n'existe pas de couple $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ qui vérifie les trois équations, donc $(5;1;-4)$ n'a pas d'antécédants par $f$ et il s'ensuit que: $\boxed{f\text{ n'est pas surjective}}$
C'est correcte?
Merci -
Bonjour
J'ai réussi à faire la suite:
1- Puisque $f$ n'est pas surjective, alors $\boxed{f\text{ n'est pas bijective}}$
2- $f^{-1}$ n'a pas de sens vu que $f$ n'est pas bijective
3-On a:
$f(\mathbb{R}^2)=\lbrace{ f(x,y)\mid (x,y)\in \mathbb{R}^2}\rbrace=\lbrace{ (x+y,3x-y,2x+y)\mid (x,y)\in \mathbb{R}^2}\rbrace=\lbrace{ x(1,3,2)+y(1,-1;1)\mid (x,y)\in \mathbb{R}^2}\rbrace$
On en déduit: $\boxed{f(\mathbb{R}^2)=\left\langle (1,3,2);(1-1,1)\right\rangle}. $
Merci de me vérifier.
Cordialement -
(tu)
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Bonjour!
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