Le ppcm de polynômes

OShine · March 2020

Bonsoir,

Je souhaite montrer que $(DA) \vee (DC) = D (A \vee

$

J'ai posé $M= A \vee B$

1/ J'ai montré que $DM$ est un multiple commun à $A$ et $B$. En effet $M=Q_1 A=Q_2 B$ donc $DM=D Q_1 A=DQ_2 B$

2/ Je veux montrer que pour tout $P \in \K[X], \ (DA \mid P \ \text{et} \ DB \mid P) \implies DM \mid P $

Mais je n'y arrive pas.

Poirot · March 2020

$A$ divise $\frac{P}{D}$ et $B$ divise $\frac{P}{D}$ donc...

OShine · March 2020

Je ne vois pas.

J'ai voulu appliquer la définition mais je bute : $P= DA Q_1$ et $P=DA Q_2$

Je n'arrive pas à montrer que $DM$ divise $P$.

GaBuZoMeu · March 2020

As-tu lu la réponse de Poirot ?

OShine · March 2020

Je n'ai pas compris l'indication de Poirot.

Je voulais utiliser la méthode de mon livre mais je n'y arrive pas :

Dans la pratique, pour déterminer le PPCM de 2 polynômes non nuls $A$ et $B$, il suffit d'exhiber un multiple $M$ commun à $A$ et $B$ qui vérifie $\forall P \in \K \ (A \mid P \ \text{et} \ B \mid P ) \implies M \mid P$

GaBuZoMeu · March 2020

L'indication de Poirot est pourtant claire !

Soit $P$ tel que $DA$ divise $P$ et $DB$ divise $P$.
Puisque $D$ divise $P$, il existe un polynôme $Q$ tel que $P=DQ$.
Puisque $DA$ divise $DQ$, $A$ divise $Q$. De même $B$ divise $Q$.

Pyuisque $A$ divise $Q$ et $B$ divise $Q$ .... conclusion attendue faisant intervenir le ppcm de $A$ et $B$.