Polynôme irréductible
Bonsoir,
On appelle polynôme irréductible de $\K[X]$ tout polynôme $P$ vérifiant :
1/ $\deg P \geq 1$
2/ Les seuls diviseurs de $P$ sont les éléments de $\K^{*}$ et les associés de $P$.
Je ne comprends pas la suite :
Ainsi, un polynôme irréductible est un polynôme non constant tel que pour tout $A,B \in \K[X]$ on ait :
$P=AB \implies \ (\deg A=0 \ \ \text{ou} \ \deg B=0)$
J'ai essayé par contraposée. Soit $\deg A \geq 1$ et $\deg B \geq 1$ alors $P=AB$ avec $\deg P \geq 2$
Mais après je bloque.
On appelle polynôme irréductible de $\K[X]$ tout polynôme $P$ vérifiant :
1/ $\deg P \geq 1$
2/ Les seuls diviseurs de $P$ sont les éléments de $\K^{*}$ et les associés de $P$.
Je ne comprends pas la suite :
Ainsi, un polynôme irréductible est un polynôme non constant tel que pour tout $A,B \in \K[X]$ on ait :
$P=AB \implies \ (\deg A=0 \ \ \text{ou} \ \deg B=0)$
J'ai essayé par contraposée. Soit $\deg A \geq 1$ et $\deg B \geq 1$ alors $P=AB$ avec $\deg P \geq 2$
Mais après je bloque.
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Réponses
Si $P=AB$, alors $A$ est soit un polynôme constant, soit de la forme $\lambda P$, et $B$ aussi. Maintenant, suppose que ni $A$ ni $B$ ne sont constants, alors $AB = \lambda \lambda' P^2$. Il ya un petit problème de degré.
Ok merci.
Homo Topi ça marche mais je l'aurais écris différemment :
Si $\deg A \geq 1$ alors $A= \lambda P$ avec $\deg P \geq 1$ et $B= \lambda' Q$ avec $\deg Q \geq 1$
Donc $AB=\lambda \lambda' PQ$. Or $AB$ est divisible par $2$ polynômes de degré supérieur ou égal à 1, il ne peut donc pas être irréductible.
si $P$ est irréductible et $P=AB$, deux de choses l'une:
-soit $A$ est associé à $P$ et alors $deg(A)=deg(P) \Rightarrow deg(B)=0$,
-soit $A$ est constant et $deg(A)=0$.
Qu'ai je démontré ?
si $P$ vérifie le critère "AB", alors soit $A$ un diviseur de $P$ et $B$ le quotient de $P$ par $A$, de sorte que $P=AB$. Ici encore de deux choses l'une:
-soit $deg(A)=0$ et $A$ est un unité,
-soit $deg(B)=0$ et alors $deg(P)=deg(A)$, ce qui signifie que $A$ et $P$ sont associés.
Et ici, qu'ai je démontré ?
Tu devrais essayer de d'avantage structurer tes démonstrations, cela t'aidera à y voir plus clair et notamment à distinguer hypothèse, conclusion....
A+
F.
Vous utilisez un raisonnement par l'absurde ? NON (P) ou Q si et seulement si P et NON (Q) ?
@Malavita
La démonstration qui me pose problème est la contraposée. Pas le sens direct.
Regarde : Je suppose que $P$ est irréductible. Donc dans le raisonnement qui va suivre, j'ai comme hypothèses :
- le polynôme $P$ est de degré supérieur ou égal à $1$
- si $Q$ divise $P$, alors $Q= \lambda$ avec $\lambda \in \K^*$ ou $Q = \lambda P$ avec $\lambda \in \K^*$.
Sous ces hypothèses, je veux démontrer : si $P=AB$, alors $A$ ou $B$ est un polynôme constant.
Je fais effectivement un raisonnement par l'absurde : je suppose que $P=AB$ mais que ni $A$, ni $B$ n'est constant. Dans ce cas, à cause de mes autres hypothèses, je sais que $A = \lambda P$ avec $\lambda \neq 0$ et que $B = \lambda' P$ avec $\lambda' \neq 0$. Mais dans ce cas, $AB = \lambda \lambda' P^2$, donc $P = \lambda \lambda' P^2$.
Si $P$ est de degré $d \geqslant 1$, on voit immédiatement qu'il y a un problème de degré : $P^2$ est de degré $2d > d$, donc l'égalité $P = \lambda \lambda' P^2$ est absurde.
J'ai donc démontré... quoi ? Je voulais démontrer un truc de la forme $H \Longrightarrow C$. J'ai démontré que [$H$ et non($C$)] est faux, c'est-à-dire (il faut connaître un peu de logique) que j'ai démontré que [non($H$) ou $C$] est vrai. Et ça (encore une fois, il faut connaitre un peu de logique), c'est équivalent à $H \Longrightarrow C$.
Donc j'ai démontré ce qu'il fallait démontrer.