Polynôme et division euclidienne
Bonjour
Calculer la valeur en $1+\sqrt{2}$ du polynôme $P=2X^5-4X^4-2X^3+3X^2-5X-4$
On pourra utiliser la division euclidienne de $P$ par un polynôme à coefficients rationnels qui s'annule pour $1+\sqrt{2}$
Notons $B$ ce polynôme, je sais que $B=(X-1-\sqrt{2})(\ldots )$
Comment trouver l'autre partie du polynôme ?
Calculer la valeur en $1+\sqrt{2}$ du polynôme $P=2X^5-4X^4-2X^3+3X^2-5X-4$
On pourra utiliser la division euclidienne de $P$ par un polynôme à coefficients rationnels qui s'annule pour $1+\sqrt{2}$
Notons $B$ ce polynôme, je sais que $B=(X-1-\sqrt{2})(\ldots )$
Comment trouver l'autre partie du polynôme ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Quand même, trouver le polynôme minimal de $1+\sqrt{2}$ n'est pas compliqué.
Saurais tu le faire pour $\sqrt{2}$ tout seul (aussi bien le nombre que toi) ? :-D
Comme d'habitude, tu poses la question avant d'avoir ébauché le début du commencement de la moindre réflexion.
Il fait vraiment que tu apprennes à chercher.
Cordialement,
Rescassol
1) $P$ est le polynôme à coefficients entiers rationnels de plus petit degré qui vérifie $P(\alpha)=0$
2) il est unitaire (son monôme de plus haut degré a pour coefficient $1$)
la condition 2) assure que ce polynôme est unique.
NB:
Un nombre algébrique $\alpha$ est un nombre qui vérifie $P(\alpha)=0$ avec $P$ un polynôme à coefficients entiers non tous nuls.
PS:
L'inventeur de ce problème n'est pas très subtil. Si on fait le calcul avec des nombres décimaux comme un gros bourrin on connait la réponse immédiatement si je vois bien. :-D
Il te suffit de transformer l'équation $X=1+\sqrt{2}$ en une équation où il n'y a pas de radical.
Cordialement,
Rescassol
(on est sûr qu'il en existe une car $1$ et $\sqrt{2}$ sont des nombres algébriques et la somme de deux nombres algébriques est encore un nombre algébrique)
Donc concrètement, il faut, au moins, calculer exactement $(1+\sqrt{2})^2$ , c'est à dire le mettre sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $a,b$ entiers.
(Pourquoi le mettre sous cette forme? Parce que $\alpha$ est aussi sous cette forme, pardi, et que ce sera plus facile pour trouver une combinaison linéaire qui est nulle)
NB: $\alpha^0=1$
Je vous rappelle que je suis au niveau L1 il n'y a pas d'entiers algébriques ni de polynôme minimal au programme.
Rescassol je ne vois pas de quoi vous parlez avec l'équation $X=1+\sqrt{2}$ et le radical :-S
Mon cours est assez chargé comme ça (50 pages) sur les polynômes, on peut pas faire avec les théorèmes au programme ?
Bon je mets le corrigé de mon livre :
Le polynôme $(X-1-\sqrt{2})(X-1+\sqrt{2})=X^2-2X+1$ admet $1+\sqrt{2}$ comme racine.
Comment on trouve ce polynôme ? Pourquoi on le prend de degré 2 ?
En effectuant la division euclidienne de $P=2X^5-4X^4-2X^3+3X^2-5X-4$ par $X^2-2X-1$, on trouve que le reste vaut $X-1$.
La valeur de $P$ en $1+\sqrt{2}$ est donc $\sqrt{2}$
Quand tu vois un truc genre $a+b\sqrt{c}$
Avec ton expérience tu dois TOUT DE SUITE penser à la quantité conjuguée $a-b\sqrt{c}$
Sinon comme dit
$x=1+\sqrt{2}$
$x^2 = 3 + 2\sqrt{2} = 2x+1$
Mais tu ne peux pas réfléchir 5 mn ?
Le polynôme le plus simple possible s'annulant pour $1+\sqrt{2}$ est $X-(1+\sqrt{2})$, c'est dur, ça ?
Ensuite, on te dit "à coefficients rationnels", donc il faut faire partir la racine !!!!!!
Et tu connais mieux qu'élever au carré pour faire partir une racine ? Après l'avoir isolée, bien sûr.
Un élève de 1ère comprendrait ça !!
Cordialement,
Rescassol
On obtient un polynôme annulateur de $1+\sqrt{2}$ immédiatement.
Et cette technique va marcher pour des nombres algébriques plus compliqués
(même si cela peut être moins immédiat)
Comme d'habitude, tu ne prends aucune initiative donc même des trucs bêtes comme ça tu n'es pas capable de les faire tout seul.
Par contre je n'ai pas compris votre technique avec le $x^2$ (Noobey) ni votre technique avec le $(\alpha-1)^2=2$ (Poirot).
Je développe quoi ? A quoi sert le
Comment fait-on pour s'en débarrasser? On élève au carré. Donc on élève les deux membres au carré et on développe le membre de gauche et c'est fini.
On a donc: $(\alpha-1)^2=\alpha^2-2\alpha+1$ et ainsi, $\alpha^2-2\alpha+1=2$
Ce qui est équivalent à: $\alpha^2-2\alpha-1=0$
Maintenant ne me dis pas que tu ne vois pas un polynôme à coefficients entiers qui a $\alpha$ comme racine.
NB: Dans cette méthode on s'en tamponne de la deuxième racine du polynôme trouvé.
Il ne faut pas croire qu'on peut toujours deviner aisément les autres racines d'un polynôme qui a ce nombre comme racine.
Dans le cas quadratique on sait faire.
$X=1+\sqrt{2}$
$X-1=\sqrt{2}$
$(X-1)^2=2$
$X^2-2X+1=2$
$X^2-2X-1=0$
Donc le polynôme à coefficients rationnels cherché est $X^2-2X-1$
Sa forme factorisée est $(X-1-\sqrt{2})(X-1+\sqrt{2})$ (j'espère que tu as entendu parler de forme canonique).
Qu'est ce que c'était dur, j'en suis épuisé ...............!!!!!!!!!...............................................
Cordialement,
Rescassol
Quand même, tu peines à résoudre une évidence niveau 1ère et tu prétends passer le CAPES :-X
Cordialement,
Rescassol
Cela m'étonnerait qu'il y ait beaucoup d'élève de première qui sache faire ça.
Par ailleurs, pédagogiquement je pense que l'utilisation que tu fais du $x$ est désastreuse. :-D
$X$ dénote une inconnue ou une variable en général. Si tu spécialises la valeur de $X$ m'est avis qu'il vaut mieux utiliser un autre nombre pour la valeur considérée.
> Cela m'étonnerait qu'il y ait beaucoup d'élève de première qui sache faire ça.
Ceux que j'ai eus savaient, et les TS que j'ai eus également.
> Par ailleurs, pédagogiquement je pense que l'utilisation que tu fais du $X$ est désastreuse.
C'est du chipotage, je choisis les noms de mes objets comme je l'entends.
Cordialement,
Rescassol
Cordialement.
Je ne comprends pas d'où sort votre technique. Vous avez un théorème ?
Car les calculs je les comprends mais je ne vois pas le rapport entre $X=1+\sqrt{2}$ et le polynômes recherché est $X^2-2X-1=0$
Pourquoi vous écrivez $(X-1)^2=2$ ?
On cherche un polynôme de la forme $(X- 1 - \sqrt{2}) (X - \beta) $ à coefficients rationnels.
Quel est le lien avec $(X-1)^2$ ?
Bah tu bidouilles. C'est tout. La stratégie, c'est d'utiliser juste les opérations "somme", "multiplication par un rationnel", et "puissance" pour obtenir une quantité rationnelle. Une fois que tu as obtenu cette quantité, tu passe tout d'un côté du signe égal pour te retrouver avec une équation style "un truc égal 0", et vu que, partant du $\alpha$, tu n'as fait que des opérations "somme", "multiplication par un rationnel", "puissances", ben cette équation sera polynomiale, et il suffit de prendre le polynôme que tu trouve, et tu as ta réponse.
Ce n'est pas un théorème, c'est juste une méthode.