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Centre d'un anneau

Envoyé par Homo Topi 
Centre d'un anneau
il y a trois mois
J'ai découvert, par hasard sur Wikipédia, que la notion de centre, en algèbre, n'est pas réservée exclusivement aux groupes. Le centre d'un anneau (unitaire, j'entends) est l'ensemble des éléments qui commutent (multiplicativement, évidemment) avec tout élément de l'anneau.

Au sujet des anneaux de matrices : si je prends un anneau commutatif unitaire $A$, et que je regarde $\mathcal{M}_n(A)$, j'ai un anneau unitaire non commutatif de matrices dans lequel il est assez facile de voir que les matrices scalaires $\lambda I_n$ sont dans le centre.

Cependant, pour vérifier si le centre est réduit à ces matrices-là, ça m'a l'air un poil plus compliqué.

Je commence en dimension $2$ : Je fixe une matrice à coefficients $W$, $X$, $Y$, $Z$, et je veux que $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} W & X \\ Y & Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} W & X \\ Y & Z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ pour tous $a$, $b$, $c$, $d$ dans $A$. J'ai donc :

$\begin{pmatrix} aW+bY & aX+bZ \\ cW+dY & cX+dZ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aW+cX & bW+dX \\ aY+cZ & bY+dZ \end{pmatrix}$

Je traduis ça en un système "linéaire" (je mets des guillemets parce qu'on est sur un anneau, donc les méthodes de l'algèbre linéaire que je connais ne sont pas garanties de s'appliquer comme j'en ai l'habitude), que je simplifie directement :

$\left\{ \begin{array}{} bY=cX \\ aX+bZ=bW+dX \\ cW+dY=aY+cZ \end{array} \right.$

3 équations linéairement indépendantes, 4 inconnues... ça me paraîtrait cohérent de trouver un ensemble solution de "dimension" $1$... donc l'ensemble des matrices scalaires, forcément. Par contre les calculs n'ont aucune raison de se simplifier, puisque $A$ n'est pas un corps, donc je ne pense pas qu'on puisse aboutir à quelque chose de solide avec cette méthode "à la main" où j'aurais fini par faire une récurrence sur la taille des matrices. En tout cas, ce que j'ai commencé à écrire, si $A$ était un corps, ça fournit bien un espace de dimension $1$, donc j'imagine qu'on ne risque pas d'avoir "plus" dans le cas où $A$ est juste un ACU.

Du coup... quelqu'un a-t-il une méthode efficace pour déterminer le centre de $\mathcal{M}_n(A)$ ? Je trouverais ça marrant de déterminer le "plus grand sous-anneau commutatif" dans les matrices.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Sur un corps c'est facile avec un peu d'algèbre linéaire : deux endomorphismes qui commutent stabilisent les espaces propres de l'un et de l'autre. Donc si une matrice $M$ commute avec tout autre matrice, elle stabilise en particulier n'importe quelle droite, et donc elle est diagonale, et en fait scalaire.
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Oui, c'est vrai... j'aurais pu/dû trouver ça tout seul. Mais si on élargit aux anneaux, est-ce facile de montrer qu'il n'y a pas de nouvelles matrices dans le centre ? Techniquement ça parait peu crédible qu'il y en ait, mais ça, ce n'est pas une démonstration.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Oui c'est facile: il suffit de considérer les matrices $E_{ij}$.

D'ailleurs, cette méthode s'adapte aux anneaux non commutatifs (toujours unitaires) pour déterminer le centre (on voit bien que $\lambda I_n$ ne commute avec $\mu I_n$ que si $\lambda$ et $\mu$ commutent)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Comment tu justifies qu'il suffit de vérifier le résultat sur la "base" des $E_{ij}$ ? On n'est pas en algèbre linéaire puisque je suis sur un anneau.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Pas d'algèbre linéaire, tu n'as pas compris l'argument de Max : tu calcules $ME_{i,j}$ et $E_{i,j}M$ et tu en déduis quelque chose sur $M$. En fait tu montres que le centralisateur de $\{E_{i,j} \mid 1 \leq i,j\leq n\}$ est $\{\lambda I_n \mid \lambda \in A\}$, et celui-ci contient bien sûr le centre de $\mathcal M_n(A)$.
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
D'accord, on calcule ce centralisateur, on montre que le centre est inclus dans les matrices scalaires grâce à ça, puis on vérifie l'inclusion réciproque rapidement à la main.

Du coup, pour aller un poil plus loin... le plus grand sous-corps de $\mathcal{M}_n(A)$, ça serait les matrices scalaires associées à un scalaire inversible. Rien de surprenant non plus.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Il faut bien qu'il y ait un $0$ dans un corps... winking smiley
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Inversible *ou nul* oui grinning smiley

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Si tu enlèves la commutativité (donc si tu cherches les algèbres à division incluses dans $\mathcal M_n(A)$) il peut se passer des choses intéressantes, comme avec les algèbres de quaternions.
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Attention, "le plus grand sous-corps" n'a aucune raison d'exister. De plus, "les inversibles ou $0$" n'ont aucune raison de former un corps (regarde $\mathbb Z$).

Comme le dit Poirot, selon que dans "corps" tu mets la commutativité ou pas, il peut se passer des choses bizarres.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
C'est vrai.

Un anneau qui n'est pas un corps n'a aucune raison de pouvoir contenir un corps.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Centre d'un anneau
il y a trois mois
Par exemple $\mathbb Z/p^2$ contient peu de corps grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
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