Centre d'un anneau

J'ai découvert, par hasard sur Wikipédia, que la notion de centre, en algèbre, n'est pas réservée exclusivement aux groupes. Le centre d'un anneau (unitaire, j'entends) est l'ensemble des éléments qui commutent (multiplicativement, évidemment) avec tout élément de l'anneau.

Au sujet des anneaux de matrices : si je prends un anneau commutatif unitaire $A$, et que je regarde $\mathcal{M}_n(A)$, j'ai un anneau unitaire non commutatif de matrices dans lequel il est assez facile de voir que les matrices scalaires $\lambda I_n$ sont dans le centre.

Cependant, pour vérifier si le centre est réduit à ces matrices-là, ça m'a l'air un poil plus compliqué.

Je commence en dimension $2$ : Je fixe une matrice à coefficients $W$, $X$, $Y$, $Z$, et je veux que $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} W & X \\ Y & Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} W & X \\ Y & Z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ pour tous $a$, $b$, $c$, $d$ dans $A$. J'ai donc :

$\begin{pmatrix} aW+bY & aX+bZ \\ cW+dY & cX+dZ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aW+cX & bW+dX \\ aY+cZ & bY+dZ \end{pmatrix}$

Je traduis ça en un système "linéaire" (je mets des guillemets parce qu'on est sur un anneau, donc les méthodes de l'algèbre linéaire que je connais ne sont pas garanties de s'appliquer comme j'en ai l'habitude), que je simplifie directement :

$\left\{ \begin{array}{} bY=cX \\ aX+bZ=bW+dX \\ cW+dY=aY+cZ \end{array} \right.$

3 équations linéairement indépendantes, 4 inconnues... ça me paraîtrait cohérent de trouver un ensemble solution de "dimension" $1$... donc l'ensemble des matrices scalaires, forcément. Par contre les calculs n'ont aucune raison de se simplifier, puisque $A$ n'est pas un corps, donc je ne pense pas qu'on puisse aboutir à quelque chose de solide avec cette méthode "à la main" où j'aurais fini par faire une récurrence sur la taille des matrices. En tout cas, ce que j'ai commencé à écrire, si $A$ était un corps, ça fournit bien un espace de dimension $1$, donc j'imagine qu'on ne risque pas d'avoir "plus" dans le cas où $A$ est juste un ACU.

Du coup... quelqu'un a-t-il une méthode efficace pour déterminer le centre de $\mathcal{M}_n(A)$ ? Je trouverais ça marrant de déterminer le "plus grand sous-anneau commutatif" dans les matrices.