Diviseur de zéro

Reprenons : l'anneau admet un diviseur de zéro se quantifie en commençant par "il existe" etc.
Donc l'anneau ne possède pas de diviseur de zéro se quantifie en commençant par "quel que soit". Non ?

Dans ta première assertion, on ne voit pas le quantificateur sur $a$.

Dans l'absolu : "$a$ est un diviseur de $0$ dans $A$" $\Longleftrightarrow$ $\bigg[ (a \neq 0)$ et $\exists b \in A$ tel que $\bigg( b \neq 0$ et $ab=0 \bigg) \bigg]$. Il n'y a pas besoin de quantificateur dans l'absolu pour que ça veuille dire "quelque chose".

Cependant, il faut bien se rendre compte de ce que veut dire cette équivalence : c'est censé être une définition, donc elle est censée être valable pour tout élément de $A$. Alors autant mettre directement un quantificateur, c'est plus correct :

$(\forall a \in A)$ : "$a$ est un diviseur de $0$ dans $A$" $\Longleftrightarrow$ $\bigg[ (a \neq 0)$ et $\exists b \in A$ tel que $\bigg( b \neq 0$ et $ab=0 \bigg) \bigg]$.

Ensuite :

"$A$ est un anneau sans diviseur de $0$"
$\Longleftrightarrow \bigg[ \forall a \in A$, non("$a$ est un diviseur de $0$ dans $A$") $\bigg]$
$\Longleftrightarrow \bigg[ \forall a \in A$, $a=0$ ou $\forall b \in A$, $b=0$ ou $ab \neq 0 \bigg]$
(ici, comme l'a dit Dom, sans quantificateur sur $a$, il manque quelque chose)

On peut simplifier la dernière en : $\forall a \in A \setminus \{0\}$, $\forall b \in A \setminus \{0\}$ : $ab \neq 0$.