Diviseur de zéro
Bonjour,
je fixe $(A,+,\times)$ un anneau.
je cherche à traduire avec des quantificateurs le fait qu'un élément $a\neq 0$ soit un diviseur de zéro. J'écris :
Et donc l'anneau est sans diviseur de zéro lorsque :
Ai-je bien compris ?
Merci de votre aide
je fixe $(A,+,\times)$ un anneau.
je cherche à traduire avec des quantificateurs le fait qu'un élément $a\neq 0$ soit un diviseur de zéro. J'écris :
$(a\in A\,,a\neq 0)\,,(\exists b\in A\,,b\neq 0)\,, \,ab=0_A\,ou\,ba=0_A$
Et donc l'anneau est sans diviseur de zéro lorsque :
$(\exists a\in A\,,a\neq 0)\,,(\forall b\in A\,,b\neq 0)\,, \,ab\neq 0_A\,et\,ba\neq 0_A$
Ai-je bien compris ?
Merci de votre aide
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Réponses
Donc l'anneau ne possède pas de diviseur de zéro se quantifie en commençant par "quel que soit". Non ?
Dans ta première assertion, on ne voit pas le quantificateur sur $a$.
Alors plutôt l'anneau $A$ admet un diviseur de zéro lorsque :
Et donc l'anneau $A$ est sans diviseur de zéro lorsque :
Est-ce mieux ?
Cependant, il faut bien se rendre compte de ce que veut dire cette équivalence : c'est censé être une définition, donc elle est censée être valable pour tout élément de $A$. Alors autant mettre directement un quantificateur, c'est plus correct :
$(\forall a \in A)$ : "$a$ est un diviseur de $0$ dans $A$" $\Longleftrightarrow$ $\bigg[ (a \neq 0)$ et $\exists b \in A$ tel que $\bigg( b \neq 0$ et $ab=0 \bigg) \bigg]$.
Ensuite :
"$A$ est un anneau sans diviseur de $0$"
$\Longleftrightarrow \bigg[ \forall a \in A$, non("$a$ est un diviseur de $0$ dans $A$") $\bigg]$
$\Longleftrightarrow \bigg[ \forall a \in A$, $a=0$ ou $\forall b \in A$, $b=0$ ou $ab \neq 0 \bigg]$
(ici, comme l'a dit Dom, sans quantificateur sur $a$, il manque quelque chose)
On peut simplifier la dernière en : $\forall a \in A \setminus \{0\}$, $\forall b \in A \setminus \{0\}$ : $ab \neq 0$.
Donc finalement, il suffit décrire que l'anneau est sans diviseur de zéro lorsque $\forall a \in A \setminus \{0\} \,, \forall b \in A \setminus \{0\}\,,ab\neq 0$.
Donc, en résumé :
- l'anneau possède des diviseurs de zéro : $\exists a \in A \setminus \{0\} \,, \exists b \in A \setminus \{0\}\,,ab= 0$
- l'anneau ne possède pas de diviseur de zéro : $\forall a \in A \setminus \{0\} \,, \forall b \in A \setminus \{0\}\,,ab\neq 0$
Remarque : on peut permuter les quantificateurs.
On peut permuter des $\forall$ qui se suivent entre eux, on peut permuter des $\exists$ qui se suivent entre eux, mais on ne peut pas permuter des $\forall$ et des $\exists$ entre eux.
Je savais, effectivement, qu'avoir un $\forall$ suivi d'un $\exists$, ne pouvait pas se permuter.
Je savais aussi que, nier une proposition logique contenant un $\forall$ suivi d'un $\exists$ se faisait en prenant "l'inverse", c-à-d un $\exists$ suivi d'un $\forall$.
Mais je n'avais pas saisis l'importance de pouvoir permuter deux $\forall$ par exemple.
C'est beaucoup plus clair à présent