Les inversibles de l'ensemble des décimaux
Bonjour,
dans un exercice, on définit :
Je cherche $\mathbb{D}^{\times}$.
J'écris, en revenant à la définition, que $x\in\mathbb{D}^{\times}\Longleftrightarrow\exists y\in \mathbb{D},\ xy=1$.
Ce qui conduit à écrire quelque chose de ce type $mn=10^{k+\ell}$ et donc $n\mid 10^{k+\ell}$.
Et là je bloque.
J'écris qu'il existe $k$ dans $\mathbb{Z}$ de sorte que $10^{k+\ell}=n\times k$ et donc $x:=\dfrac{n}{10^k}=\dfrac{10^{k+\ell}}{k10^k}=\dfrac{10^{\ell}}{k}$ sans parvenir à ce que livre la correction, à savoir :
D'avance merci
dans un exercice, on définit :
$\mathbb{D}:=\{\dfrac{n}{10^k}\mid n\in\mathbb{Z},\ k\in\mathbb{N}\}$
J'ai montré que $(\mathbb{D},+,x)$ est un anneau.Je cherche $\mathbb{D}^{\times}$.
J'écris, en revenant à la définition, que $x\in\mathbb{D}^{\times}\Longleftrightarrow\exists y\in \mathbb{D},\ xy=1$.
Ce qui conduit à écrire quelque chose de ce type $mn=10^{k+\ell}$ et donc $n\mid 10^{k+\ell}$.
Et là je bloque.
J'écris qu'il existe $k$ dans $\mathbb{Z}$ de sorte que $10^{k+\ell}=n\times k$ et donc $x:=\dfrac{n}{10^k}=\dfrac{10^{k+\ell}}{k10^k}=\dfrac{10^{\ell}}{k}$ sans parvenir à ce que livre la correction, à savoir :
$\mathbb{D}^{\times}=\{\pm2^p5^q\mid (p,q)\in\mathbb{Z}^2\}$.
Pouvez-vous m'aider ?D'avance merci
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Réponses
Je comprends bien que, si dans la décomposition en facteurs premiers de $n$ n'apparaît que $2$ et/ou $5$, cela fonctionne.
Mais comment l'expliquer ?
As-tu proprement démontré ceci?
$\mathbb{D}$ est l'ensemble des rationnels dont la forme irréductible est de type $\frac{p}{2^k5^n}$ avec $k$ et $n$ deux entiers naturels et $p\in \mathbb{Z}$. Vas-y bourrin en arithmétique, utilise des trucs comme l'unicité de la décomposition en facteur premier et le lemme de Gauss sans te poser la moindre question.
Une fois que tu l'as, la suite est facile (quelle est la forme de $p$ sous forme irréductible?).
Jusque là, pas de problème.
Maintenant $y\in\mathbb{D}$ est un inverse de $x\in\mathbb{D}$ signifie que $xy=1$.
J'écris alors que $\displaystyle x=\frac{n}{10^k}$ et $\displaystyle y=\frac{m}{10^l}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$ et $(k,l)\in\mathbb{N}^2$.
Ce qui donne $\displaystyle xy=1\Longleftrightarrow\frac{nm}{10^{k+l}}=1\Longleftrightarrow nm=10^{k+l}=2^{k+l}5^{k+l}$.
Donc forcément, $nm\in\mathbb{N}$.
Et là je bloque.
Je peux dire que $n\mid 2^{k+l}5^{k+l}$.
Ensuite je peux écrire $n=\prod_{\mathbb{p\in\mathcal{P}}}p^{v_p(n)}$ où la suite $(v_p(n))_{p\in\mathcal{P}}$ est une suite d'entiers unique et nulle à partir d'un certain rang.
Mais cela me paraît trop "lourd" pour cet exercice.
Si un entier $n$ divise une puissance de 10, quels peuvent être ses facteurs premiers ?
Mais pourquoi ? Je le sens bien sans le justifier correctement -_-
Je le vois bien sur cet exemple.
Mais quel est le résultat "général" qu'il y a derrière ?
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau des $b$-décimaux ? (Je ne sais pas si c’est le bon vocabulaire)
Moi aussi je me suis toujours demandé comment on appelle cet anneau $\mathbb Z[\frac 1b]$, $b \ge2$. Peut-être n'a-t-il pas de nom car il serait considéré comme peu intéressant mathématiquement parlant ? Mais ces nombres sont tout de même intéressants, alors peut-être quelqu'un nous éclairera.
Je ne connaissais pas l'appellation, mais je connaissais ce résultat ... Peut-être l'appeler ainsi dorénavant m'aidera à le retenir !
Voici la preuve :
Notons $d=pgcd(p,b)$.
Alors, en particulier, $d\mid p$ donc $d=p$ ou $d=1$.
En supposant que $d=p$, alors on a $p=pgcd(p,b)$ et donc $p\mid b$.
En supposant que $d=1$, alors on a $p\mid bc$ et $1=pgcd(p,b)$ donc, par le lemme de Gauss, on sait que $p\mid c$.
Donc maintenant j'imprime qu'il y a le lemme de Gauss, et celui d'Euclide !
Soit $n\mid 2^{p}5^p$ en notant $p=k+\ell$.
Je suppose que $n \ge 2$.
Il admet un diviseur premier, que je note $p$.
Alors $p|n$ et $n|2^p5^p$. Par transitivité $p\mid 2^p5^p$.
Alors $p\mid 2^p$ ou $p\mid 5^p$ par le lemme d'Euclide.
D'où l'on tire que les seuls facteurs premiers qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.
Me trompe-je ?
Il reste à voir ce qu'il se passe pour $n<2$.
Pour $n < 2$ il n'y a pas grand-chose à voir :-D
C'est-à-dire ?
Notamment $p\mid 2^p5^p$.
Donc j'arrive à $n\mid 10^{k+\ell}$ (message initial).
Soit $n\mid 2^{s}5^s$ en notant $s=k+\ell$.
Je suppose que $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.
Par théorème, on sait qu'il admet un diviseur premier, que je note $p$.
Alors $p\mid n$ et $n\mid 2^s5^s$. Par transitivité $p\mid 2^s5^s$.
Alors $p\mid 2^s$ ou $p\mid 5^s$ par le lemme d'Euclide.
D'où l'on tire que les seuls facteurs premiers qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.
C'est mieux ?
Je comprends mieux.
L'inverse de $x=\dfrac{n}{10^k}$ (avec $n\neq 0$) dans $\mathbb Q$ est $y=\dfrac{10^k}{n}$.
Pour que $x$ soit inversible dans $\mathbb D$, il faut que $y\in\mathbb D$ et donc que $y=\dfrac{10^k}{n}\in\mathbb D$.
C'est le cas s'il existe $u\in\mathbb N^{*}$ tel que $n=\pm 10^u$.
D'où $y=\dfrac{\pm 10^k}{10^u}=\pm 10^{k-u}=\pm 2^p5^q$ avec $(p,q)\in\mathbb Z$.
Et réciproquement.
D'où l'égalité annoncée dans message initial.
On arrive à $n\mid 10^{k+\ell}$, ce qui donne $n\mid 2^{s}5^s$ en notant $s=k+\ell$.
Je suppose que $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.
Par théorème, on sait que $n$ admet un diviseur premier, que je note $p$.
[small][En fait, je pensais que ce théorème ne s'appliquait que pour $n\ge 2$, mais il est vrai aussi pour $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.][/small]
Alors $p\mid n$ et $n\mid 2^s5^s$. Par transitivité $p\mid 2^s5^s$. En utilisant le lemme d'Euclide, on trouve $p\mid 2^s$ ou $p\mid 5^s$.
Premier cas : $p\mid 2^s$.
Dans ce cas, $2^s=p\times d$ pour un certain $d\in\mathbb{N}^*$.
Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'écrire $d=\prod_{q\in\mathcal{P}}q^{a_q}=p^{a_p}\prod_{q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}}q^{a_q}$.
Et donc $2^s=p^{a_p+1}\prod_{q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}}q^{a_q}$.
L'unicité de l'écriture assurée par le théorème fondamental permet d'en conclure que :
- $p=2$
- $a_p+1=s$
- $\forall q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}$, $a_q=0$
Deuxième cas : $p\mid 5^s$.
Un raisonnement identique livre $p=5$.
On en déduit que les seuls facteurs premiers $p$ qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.
Sans oublier que les cas où $n=-1,\,0\,ou\,1$.
Cela m'a l'air de tenir la route.
PS :
J'aimerais trouver une tournure qui me permette de voir plus rapidement que $p\mid 2^s \Rightarrow p=2$, mais je n'ai rien de concluant.
Si p premier divise un produit, il divise l'un des facteurs.
Ou bien : la décomposition en facteurs premiers de $2^s$ ne contient que des 2 et contient p.
Cordialement.
En fait, $p\mid 2^s$ s'écrit aussi $p\mid 2\times 2^{s-1}$ et le lemme d'Euclide impose $p\mid 2$ ou $p\mid 2^{s-1}$.
Si $p\mid 2$, alors $p=2$.
Si $p\mid 2^{s-1}$, alors on recommence en écrivant $2^{s-1}=2\times 2^{s-2}$
Par application répétée du lemme d'Euclide, on obtient finalement $p\mid 2$ et donc $p=2$.
Je trouve ça mieux
Merci !
Cordialement.
oui, je viens de lire ce résultat !
Lemme d'Euclide :
$p\in\mathcal{P}$ et $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$
Alors :
$p\mid ab \Rightarrow p\mid a\,\,ou\,\,p\mid b$
Généralisation du lemme d'Euclide (par récurrence) :
$p\in\mathcal{P}$ et $(a_1,\cdots,a_m)\in\mathbb{Z}^m$
Alors :
$p\mid a_1\cdots a_m \Rightarrow \exists i\in 1,m\,,p\mid a_i$.
Application ici :
$p\mid 2^s=\underset{s\,fois}{2\times\cdots\times 2}$ qui impose que $p\mid 2$ et donc $p=2$.
Une question que je me pose encore :
Dans le lemme d'Euclide ou sa généralisation, on a une implication. Il me semble pourtant que c'est une équivalence. Me trompe-je ? Pourquoi ne pas l'écrire avec une équivalence ?
Finalement, en remettant les choses dans l'ordre, cela donne :
Soit $x\in\mathbb{D}^{\times}$ s'écrivant donc $x=\frac{n}{10^k}$.
Je traite pour commencer le cas 1 : $n=0$ ou $n=\epsilon$ avec $\epsilon\in\{\pm1\}$.
Je traite ensuite le cas 2 : $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$
Cas 1 :
Si $n=0$ alors $x=0$ qui n'est pas inversible dans $\mathbb{D}$.
Si $n=\epsilon$ alors $x=\frac{\epsilon}{10^k}$ et donc avec $y=\frac{10^k}{\epsilon}$, on a $xy=1$.
De surcroît, $y=\frac{10^k}{\epsilon}=\frac{\epsilon}{10^{-k}}\in\mathbb{D}$.
Donc $x$ est inversible dans $\mathbb{D}$ dans ce cas, d'inverse $x=\epsilon2^{k}5^{k}$
Cas 2 :
Si $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$, alors ce qui précède prouve que $xy=1$ impose que les diviseurs premiers de $p$ de $n$ soit $p=2$ ou $p=5$.
Par conséquent $n=\epsilon2^u5^v$ et donc $x=\frac{\epsilon2^{u}5^{v}}{2^k5^k}=\epsilon2^a5^b$.
Dans tous les cas, on a $\mathbb{D}^{\times}\subset \{\epsilon2^a5^b\mid (a,b)\in\mathbb{Z}\}$, et réciproquement.