Polynôme divisible
Bonsoir
Bon ça y est je rentre dans le dur. Les exercices deviennent difficiles et je bloque à chaque fois.
Soit $P \in \K[X]$. Montrer que $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k,$ avec $n = \deg P.$
Donc $P(P(X))-X= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k P(X)^k -X = \sum_{k=0}^n a_k (\sum_{j=0}^n a_j X^j)^k-X$
Je ne vois pas comment m'en sortir.
Bon ça y est je rentre dans le dur. Les exercices deviennent difficiles et je bloque à chaque fois.
Soit $P \in \K[X]$. Montrer que $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k,$ avec $n = \deg P.$
Donc $P(P(X))-X= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k P(X)^k -X = \sum_{k=0}^n a_k (\sum_{j=0}^n a_j X^j)^k-X$
Je ne vois pas comment m'en sortir.
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Réponses
As-tu essayé avec $P(x)=a x+b$ ?
Donc $P(P(X))-X=a(aX+b)+b-X=a^2 X+ab+b-X=(a^2-1)X+ab+b$
$P(X)-X=aX+b-X=(a-1)X+b$
Les 2 polynômes ont la même racine donc $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.
As-tu des bouquins/supports de cours corrects pour travailler ?
Je bosse dans un bouquin, il y a les corrigés. Mais contrairement aux démonstrations, les exercices sont corrigés succinctement.
Un exercice qui prend 1 page à rédiger, l'auteur le corrige en 2-3 lignes. Les étapes de raisonnement ne sont pas données.
Ici l'auteur part d'une astuce.
Vous trouvez cet exercice facile ?
Il utilise une astuce, mais c'est une astuce qu'il faut connaître : ajouter $0$ de la "bonne manière". Ce n'est clairement pas facile d'y penser à chaque fois face à un nouveau problème. Et l'autre truc qu'il faut connaître, c'est la factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$. Si tu ne sais pas faire chaque exercice, ce n'est pas grave. Et c'est vrai que c'est frustrant quand on a beaucoup cherché, rien trouvé, et le corrigé tient en 3 lignes avec une vieille astuce sortie du chapeau magique. Mais parfois, il faut se contenter de se dire "au moins, j'ai cherché", parce qu'en cherchant par soi-même on s'est un peu exercé.
Bon j'ai finalement compris la correction mais je n'aurais jamais trouvé tout seul. Sans indication, l'astuce de départ est difficile à voir.
Il fallait penser à poser : $P(P(X))-X = P(P(X)) - P(X) + P(X)-X$
Après ce n'est pas très dur : $P(P(X))-P(X)= \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k (P(X)^k - X^k)$
Or pour tout $k \in [|1,n|]$ $P(X)-X$ divise $P(X)^k - X^k = (P(X)-X) \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} X^j P(X)^{k-1-j}$
Ce qui fait qu'on peut remplacer $P(x)$ par $x$ quand on cherche à calculer une expression où il n'y a que des additions, multiplications, soustractions, et on obtient un résultat qui diffère seulement d'un multiple de $P(x)-x$.
PS:
C'est le même type de raisonnement qu'on fait en terminale S avec les congruences sauf que les congruences sont sur des polynômes mais on a les même propriétés .
Noobey la moitié des exercices de ce chapitres sont étoilés, je vais pas tous les zapper ?
Toute solution de l'équation $P(X)-X=0$ est solution de l'équation $P(P(X))-X=0$.
On devrait pouvoir s'occuper de racines multiples avec les polynômes dérivés, à voir.
Cordialement,
Rescassol
$= \sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1} (P(x)-x) + \sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1}x + a_0 - x$
Ensuite le terme suivant s'écrit
$\sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1}x$
$= \sum_{k>1} a_k P(x)^{k-1}(P(x)-x)x + \sum_{k>1} a_k P(x)^{k-1}x^2 + a_1x$
Petit a petit on peut factoriser par P(x)-x et les termes $a_0 + a_1x$ qui apparaissent nous montrent qu'un nouveau terme P(x) apparait
Bref c'est plus chiant (recurrence) que compliqué mais on s'en sort
je serais curieux de savoir si l'approche de Rescassol aboutit, en effet dériver $m$ fois $P(P(X))$ me laisse dubitatif... A priori, je serais plutôt tenté d'utiliser l'astuce initale : si $a$ est une racine de multiplicité $n$ de $p$, on a $$
P(P(X)-X=P(P(X))-P(X)+P(X)-X=(P(X)-a)^nQ(P(X))+(X-a)^nQ(X)\\=(P(X)-P(a))^nQ(P(X)+(X-a)^nQ(x)\ldots
$$ Bonne soirée.
F.
Maintenant il est clair que pour tout $n$ entier non nul, $(X+Y)^n=X^n+Y\times R(X,Y)$ avec $R(X,Y)$ un polynôme à deux variables et à coefficients dans $K$.
On peut le démontrer par récurrence. \begin{align}(X+Y)^{n+1}&=\left(X^n+Y\times R(X,Y)\right)(X+Y)\\
&=X^{n+1}+XY\times R(X,Y)+X^nY+Y^2R(X,Y)\\
&=X^{n+1}+Y\Big(XY\times R(X,Y)+X^n+Y\times R(X,Y)\Big)
\end{align} Donc $P(Y)-X=\Big(P(X)+Y\times S(X,Y)\Big)-X=(P(X)-X)+Y\times S(X,Y)=Y+Y\times S(X,Y)=Y\times \Big(1+S(X,Y)\Big)$
Avec $S(X,Y)$ un polynôme à deux variables et à coefficients dans $K$.
Rien que la première égalité je ne comprends pas.
$a \equiv b [n] \Leftrightarrow a-b \equiv 0 [n]$
A+
F.
En terminaleS tu as dû voir que si $a\equiv b\mod{c}$ alors si $P$ est un polynôme à coefficients entiers alors $P(a)\equiv P(b)\mod{c}$
On peut généraliser à des anneaux de polynômes.
NB:
Dans l'exercice on prend $a=P(x)$ et $b=x$ et $c=P(x)-x$
$a-b=P(x)-x=c$ donc $a\equiv b\mod{c}$
Mais je ne comprends pas le passage à $P(P(X))$
Dans un produit, une somme on peut remplacer les termes présents par des valeurs qui leur sont congrues modulo c on obtient une valeur qui est congrue à la vraie valeur* modulo c.
C'est ce qu'on apprend encore en terminale S encore cette année (enfin si l'année n'avait pas été écourtée)
*: la valeur qu'on aurait obtenue si on n'avait rien changé.
C'est formel mais vrai.
Ici c'est la composition du polynôme qui me pose problème.
Vous parlez de somme moi je vois juste :
$P(X) \equiv X [P(X)-X]$ et je veux passer à $P(P(X)) \equiv$
On n'apprend pas ça en terminale.
$P(X) \equiv X [P(X)-X]$
$P( P(X)) = a_0 + a_1 P(X) + \cdots a_n P(X)^n \equiv a_0 + a_1 X + \cdots a_n X^n \equiv P(X) [P(X)-X]$
Enfin compris !
Merci pour votre aide. En effet, une technique très intéressante B-)
Il n'y a pas besoin de considérer les coefficients du polynôme.
Il y a seulement à remplacer $P(X)$ par $X$ partout où on le peut.
En faisant ça on ne va pas obtenir l'expression exacte de $P(P(X))$ mais on va obtenir une expression qui diffère de cette expression exacte d'un multiple de $P(X)-X$
Dans le monde des polynômes un multiple d'un polynôme $P$ c'est un polynôme qui est un produit de $P$ par un autre polynôme (pas nécessairement constant).
$P(P(X))\equiv P(X) \mod{P(X)-X}$ c'est à dire que $P(P(X))=P(X)+\text{ un multiple de} (P(X)-X)$
Mais c'est une solution astucieuse.
Voici une solution assez simple pour @Oshine je pense.
$a$ est une racine de $q(x)=p(x)-x$ et de multiplicité $m$ est équivalent à $$
Res \Big[\dfrac{q'(x)}{q(x)}\Big]_{x=a}=m .
$$ Posons $h(x)=p(p(x))-p(x) $ ainsi $\dfrac{h'(x)}{h(x)}= \dfrac{p'(x) p'(p(x))-p'(x))}{p(p(x))-p(x)}. $
On en déduit que $Res\Big[\dfrac{h'(x)}{h(x)}\Big]_{x=a}=p,$ car ($p(a)=a$ et $p'(a)=1$)
Par addition on obtient que $a$ est aussi racine de multiplicité $m$ du polynôme $p(p(x))-x$.
Le problème a été posé dans un cadre général: $K[X]$ est un anneau de polynômes avec $K$ un corps quelconque.
FdP, en quoi cela empêche-t-il le raisonnement de bd2017 d'être correct ?
Cordialement,
Rescassol
A mon avis il utilise des théorèmes que je n'ai pas étudiés. Je ne sais pas ce qu'est Res j'ai jamais vu cette notation.
La seule définition que j'ai c'est $a$ est une racine d'ordre de multiplicité $\alpha$ de $P$ si et seulement si $(X-a)^{\alpha}$ divise $P$.
Mais le prochain chapitre que je vais étudier c'est les fractions rationnelles, donc je verrai peut être cette notion bientôt.
Parler de racines d'un polynôme de $K[X]$ avec, $K$ un corps quelconque cela suppose d'agrandir $K$ en un corps pour y inclure une racine voire considérer une clôture algébrique.
On a l'habitude de ne pas se soucier où vivent les racines d'un polynôme à coefficients complexes, mais quand le corps des coefficients du polynôme est quelconque, il faut bien se poser la question si on veut mobiliser ses racines.B-)-
OShine: ta définition de la multiplicité est approximative. $n$ est la multiplicité d'une racine $\alpha$ d'un polynôme $P$ si et seulement si on a 1) $(x-\alpha)^n$ divise $P$ 2) $(x-\alpha)^{n+1}$ ne divise pas $P$.
@findepartie, je suis d'accord mais ce que ne dit pas @Oshine c'est que dans son livre le corps $K$ est $\R$ ou $\C.$
Je travaille alors dans $\C$
Mais bon si $K$ est qcq quelconque ...
Le théorème de Steinitz dit que tout corps est plongeable dans un corps algébriquement clos (sa clôture algébrique).
Cordialement,
Rescassol
Je suis au courant, mais ce théorème est tout, sauf trivial. Cordialement.
Ici, il suffit de savoir que ça existe, pas d'en construire un.
Donc on peut faire comme si les polynômes rencontrés étaient tous scindés.
Cordialement,
Rescassol
Bd2017 utilise le polynôme dérivé.
Dans $\mathbb{F}_p[X]$.
Si on prend $P(X)=X^p+X$
$Q(X)=P(X)-X$ a pour dérivée $0$. La caractérisation qu'il utilise en début de son message est fausse dans $\mathbb{F}_p[X]$ me semble-t-il.
NB: $p$ est un nombre premier.
Peut-être qu'il faut que $K$ soit de caractéristique nulle .......
Cordialement,
Rescassol
Soit $A$ un polynôme non nul et $\alpha \in \K$ une racine de $A$. L'ordre de multiplicité de $\alpha$ est le plus grand entier $p$ tel que $(X-\alpha)^p$ divise $A$. On dit alors que $\alpha$ est racine d'ordre $p$ de $A$.
$\alpha$ est racine d'ordre $p$ de $A$ si et seulement si il existe $B \in \K[X]$ tel que $A=(X-\alpha)^p B$ et $B(\alpha) \ne 0$
OShine, je suis curieux de savoir ce que tu ferais en face d'un élève de terminale comme celui-là., :-D
Cordialement,
Rescassol