Polynôme divisible
Bonsoir
Bon ça y est je rentre dans le dur. Les exercices deviennent difficiles et je bloque à chaque fois.
Soit $P \in \K[X]$. Montrer que $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k,$ avec $n = \deg P.$
Donc $P(P(X))-X= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k P(X)^k -X = \sum_{k=0}^n a_k (\sum_{j=0}^n a_j X^j)^k-X$
Je ne vois pas comment m'en sortir.
Bon ça y est je rentre dans le dur. Les exercices deviennent difficiles et je bloque à chaque fois.
Soit $P \in \K[X]$. Montrer que $P(P(X))-X$ est divisible par $P(X)-X$.
J'ai écrit $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k,$ avec $n = \deg P.$
Donc $P(P(X))-X= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k P(X)^k -X = \sum_{k=0}^n a_k (\sum_{j=0}^n a_j X^j)^k-X$
Je ne vois pas comment m'en sortir.
Réponses
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Bonjour,
As-tu essayé avec $P(x)=a x+b$ ? -
Si tu essayais dans un premier temps de recopier l'énoncé correctement -;) Sinon, un petit coup de congruence.....
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Il y a visiblement une erreur d'énoncé, tu veux montrer que $P(P(X)) - X$ est divisible par $P(X) - X$. Tu peux considérer la division euclidienne du premier par le deuxième.
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$P(X)=aX+b$
Donc $P(P(X))-X=a(aX+b)+b-X=a^2 X+ab+b-X=(a^2-1)X+ab+b$
$P(X)-X=aX+b-X=(a-1)X+b$
Les 2 polynômes ont la même racine donc $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$. -
OShine : dans la partie algèbre du forum, un quart des fils de discussion sur la première page sont de toi. Et on te dit la même chose dans chaque fil : tu ne passes pas assez de temps à réfléchir sur les questions que tu poses. En plus, si ton background est authentique, c'est... pour le moins surprenant.
As-tu des bouquins/supports de cours corrects pour travailler ? -
De quelle racine est-il question ?
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@Homo Topi
Je bosse dans un bouquin, il y a les corrigés. Mais contrairement aux démonstrations, les exercices sont corrigés succinctement.
Un exercice qui prend 1 page à rédiger, l'auteur le corrige en 2-3 lignes. Les étapes de raisonnement ne sont pas données.
Ici l'auteur part d'une astuce.
Vous trouvez cet exercice facile ? -
Pas d'exo difficile pour toi les exos 1 étoile c'est pas de ton niveau. Le chapitre polynômes est cool y a plein d'exos calculatoires que j'espère tu vas faire (tout seul)
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Si ça peut te rassurer, ton exercice est corrigé ici (numéro 8).
Il utilise une astuce, mais c'est une astuce qu'il faut connaître : ajouter $0$ de la "bonne manière". Ce n'est clairement pas facile d'y penser à chaque fois face à un nouveau problème. Et l'autre truc qu'il faut connaître, c'est la factorisation de $a^n - b^n$ par $(a-b)$. Si tu ne sais pas faire chaque exercice, ce n'est pas grave. Et c'est vrai que c'est frustrant quand on a beaucoup cherché, rien trouvé, et le corrigé tient en 3 lignes avec une vieille astuce sortie du chapeau magique. Mais parfois, il faut se contenter de se dire "au moins, j'ai cherché", parce qu'en cherchant par soi-même on s'est un peu exercé. -
J'aime bien les exercices calculatoires.
Bon j'ai finalement compris la correction mais je n'aurais jamais trouvé tout seul. Sans indication, l'astuce de départ est difficile à voir.
Il fallait penser à poser : $P(P(X))-X = P(P(X)) - P(X) + P(X)-X$
Après ce n'est pas très dur : $P(P(X))-P(X)= \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k (P(X)^k - X^k)$
Or pour tout $k \in [|1,n|]$ $P(X)-X$ divise $P(X)^k - X^k = (P(X)-X) \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} X^j P(X)^{k-1-j}$ -
$P(x)\equiv x \mod{P(x)-x}$
Ce qui fait qu'on peut remplacer $P(x)$ par $x$ quand on cherche à calculer une expression où il n'y a que des additions, multiplications, soustractions, et on obtient un résultat qui diffère seulement d'un multiple de $P(x)-x$.
PS:
C'est le même type de raisonnement qu'on fait en terminale S avec les congruences sauf que les congruences sont sur des polynômes mais on a les même propriétés . -
Oui, mais bon, des fois il faut "sentir" qu'une astuce va servir. Ici, moi non plus je n'y aurais pas pensé du premier coup, j'aurais essayé d'autres approches.
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Oui en effet, j'aurais du y penser :-X
Noobey la moitié des exercices de ce chapitres sont étoilés, je vais pas tous les zapper ? -
La paresse est souvent bonne conseillère en mathématiques. X:-(
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Bonsoir,
Toute solution de l'équation $P(X)-X=0$ est solution de l'équation $P(P(X))-X=0$.
On devrait pouvoir s'occuper de racines multiples avec les polynômes dérivés, à voir.
Cordialement,
Rescassol -
Avec la division euclidienne c'est difficile ?
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$P(P(x)) - x = \sum a_k P(x)^k - x$
$= \sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1} (P(x)-x) + \sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1}x + a_0 - x$
Ensuite le terme suivant s'écrit
$\sum_{k>0} a_k P(x)^{k-1}x$
$= \sum_{k>1} a_k P(x)^{k-1}(P(x)-x)x + \sum_{k>1} a_k P(x)^{k-1}x^2 + a_1x$
Petit a petit on peut factoriser par P(x)-x et les termes $a_0 + a_1x$ qui apparaissent nous montrent qu'un nouveau terme P(x) apparait
Bref c'est plus chiant (recurrence) que compliqué mais on s'en sort -
Et avec des congruences ça prend une ligne comme ça a été dit au-dessus : $P(X) \equiv X \pmod { P(X) - X}$ et puisque les congruences respectent additions et multiplications, $P(P(X)) \equiv P(X) \equiv X \pmod { P(X) - X}$, d'où $P(P(X)) - X \equiv 0 \pmod { P(X) - X}$.
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Bonsoir,
je serais curieux de savoir si l'approche de Rescassol aboutit, en effet dériver $m$ fois $P(P(X))$ me laisse dubitatif... A priori, je serais plutôt tenté d'utiliser l'astuce initale : si $a$ est une racine de multiplicité $n$ de $p$, on a $$
P(P(X)-X=P(P(X))-P(X)+P(X)-X=(P(X)-a)^nQ(P(X))+(X-a)^nQ(X)\\=(P(X)-P(a))^nQ(P(X)+(X-a)^nQ(x)\ldots
$$ Bonne soirée.
F. -
Autrement on pose $Y=P(X)-X$ donc $P(X)=X+Y$
Maintenant il est clair que pour tout $n$ entier non nul, $(X+Y)^n=X^n+Y\times R(X,Y)$ avec $R(X,Y)$ un polynôme à deux variables et à coefficients dans $K$.
On peut le démontrer par récurrence. \begin{align}(X+Y)^{n+1}&=\left(X^n+Y\times R(X,Y)\right)(X+Y)\\
&=X^{n+1}+XY\times R(X,Y)+X^nY+Y^2R(X,Y)\\
&=X^{n+1}+Y\Big(XY\times R(X,Y)+X^n+Y\times R(X,Y)\Big)
\end{align} Donc $P(Y)-X=\Big(P(X)+Y\times S(X,Y)\Big)-X=(P(X)-X)+Y\times S(X,Y)=Y+Y\times S(X,Y)=Y\times \Big(1+S(X,Y)\Big)$
Avec $S(X,Y)$ un polynôme à deux variables et à coefficients dans $K$. -
Je n'ai pas compris le raisonnement avec les congruences.
Rien que la première égalité je ne comprends pas. -
Je ne peux rien faire pour toi alors.
-
Pour les congruences, c'est juste ça ...
$a \equiv b [n] \Leftrightarrow a-b \equiv 0 [n]$
A+
F. -
Oui ça je sais mais on ne sait rien sur $P(X)-X$ ni sur $P(P(X))-X$ comment on peut sortir une égalité avec des congruences ?
-
OShine:
En terminaleS tu as dû voir que si $a\equiv b\mod{c}$ alors si $P$ est un polynôme à coefficients entiers alors $P(a)\equiv P(b)\mod{c}$
On peut généraliser à des anneaux de polynômes.
NB:
Dans l'exercice on prend $a=P(x)$ et $b=x$ et $c=P(x)-x$
$a-b=P(x)-x=c$ donc $a\equiv b\mod{c}$ -
Tout de même tu peux dire que $P(X) -X \equiv 0\mod(P(X)-X)$ ...
-
Oui je viens de comprendre $P(X)\equiv X [P(X)-X]$ car $P(X)-X = P(X)-X +0$
Mais je ne comprends pas le passage à $P(P(X))$ -
Eh ben $P(X)^2 \equiv X^2$, $P(X)^3 \equiv X^3$ etc.
-
Oui mais là c'est $P \circ P(X)$ par $P^2 (X)$
-
OShine:
Dans un produit, une somme on peut remplacer les termes présents par des valeurs qui leur sont congrues modulo c on obtient une valeur qui est congrue à la vraie valeur* modulo c.
C'est ce qu'on apprend encore en terminale S encore cette année (enfin si l'année n'avait pas été écourtée)
*: la valeur qu'on aurait obtenue si on n'avait rien changé. -
Tu ne comprends pas, au moins formellement ce que j'ai écrit plus haut (cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1962908,1963156#msg-1963156 )?
C'est formel mais vrai. -
$a_nP(X)^n \equiv a_nX^n$ , $a_{n-1}P(X)^{n-1} \equiv a_{n-1}X^{n-1}$ ...
-
Ce n'est pas les calculs de terminale ou les propriétés que je connais qui me gênent.
Ici c'est la composition du polynôme qui me pose problème.
Vous parlez de somme moi je vois juste :
$P(X) \equiv X [P(X)-X]$ et je veux passer à $P(P(X)) \equiv$
On n'apprend pas ça en terminale. -
Ok Blueberry merci je pense avoir compris :
$P(X) \equiv X [P(X)-X]$
$P( P(X)) = a_0 + a_1 P(X) + \cdots a_n P(X)^n \equiv a_0 + a_1 X + \cdots a_n X^n \equiv P(X) [P(X)-X]$
Enfin compris !
Merci pour votre aide. En effet, une technique très intéressante B-) -
OShine:
Il n'y a pas besoin de considérer les coefficients du polynôme.
Il y a seulement à remplacer $P(X)$ par $X$ partout où on le peut.
En faisant ça on ne va pas obtenir l'expression exacte de $P(P(X))$ mais on va obtenir une expression qui diffère de cette expression exacte d'un multiple de $P(X)-X$
Dans le monde des polynômes un multiple d'un polynôme $P$ c'est un polynôme qui est un produit de $P$ par un autre polynôme (pas nécessairement constant).
$P(P(X))\equiv P(X) \mod{P(X)-X}$ c'est à dire que $P(P(X))=P(X)+\text{ un multiple de} (P(X)-X)$ -
Oui en effet, bien vu.
Mais c'est une solution astucieuse. -
Bonjour
Voici une solution assez simple pour @Oshine je pense.
$a$ est une racine de $q(x)=p(x)-x$ et de multiplicité $m$ est équivalent à $$
Res \Big[\dfrac{q'(x)}{q(x)}\Big]_{x=a}=m .
$$ Posons $h(x)=p(p(x))-p(x) $ ainsi $\dfrac{h'(x)}{h(x)}= \dfrac{p'(x) p'(p(x))-p'(x))}{p(p(x))-p(x)}. $
On en déduit que $Res\Big[\dfrac{h'(x)}{h(x)}\Big]_{x=a}=p,$ car ($p(a)=a$ et $p'(a)=1$)
Par addition on obtient que $a$ est aussi racine de multiplicité $m$ du polynôme $p(p(x))-x$. -
bd2017:
Le problème a été posé dans un cadre général: $K[X]$ est un anneau de polynômes avec $K$ un corps quelconque. -
Bonne nuit,
FdP, en quoi cela empêche-t-il le raisonnement de bd2017 d'être correct ?
Cordialement,
Rescassol -
Je n'ai pas compris le raisonnement de Bd2017.
A mon avis il utilise des théorèmes que je n'ai pas étudiés. Je ne sais pas ce qu'est Res j'ai jamais vu cette notation.
La seule définition que j'ai c'est $a$ est une racine d'ordre de multiplicité $\alpha$ de $P$ si et seulement si $(X-a)^{\alpha}$ divise $P$.
Mais le prochain chapitre que je vais étudier c'est les fractions rationnelles, donc je verrai peut être cette notion bientôt. -
Ce n'est pas vraiment astucieux une fois qu'on a compris les congruences. Raisonner en termes de congruences modulo $P(X)-X$ c'est faire comme si $P(X) - X =0$ c'est-à-dire $P(X)=X$. Une fois que l'on comprend ça on voit que le résultat est immédiat.
-
Rescassol:
Parler de racines d'un polynôme de $K[X]$ avec, $K$ un corps quelconque cela suppose d'agrandir $K$ en un corps pour y inclure une racine voire considérer une clôture algébrique.
On a l'habitude de ne pas se soucier où vivent les racines d'un polynôme à coefficients complexes, mais quand le corps des coefficients du polynôme est quelconque, il faut bien se poser la question si on veut mobiliser ses racines.B-)-
OShine: ta définition de la multiplicité est approximative. $n$ est la multiplicité d'une racine $\alpha$ d'un polynôme $P$ si et seulement si on a 1) $(x-\alpha)^n$ divise $P$ 2) $(x-\alpha)^{n+1}$ ne divise pas $P$. -
Bonjour
@findepartie, je suis d'accord mais ce que ne dit pas @Oshine c'est que dans son livre le corps $K$ est $\R$ ou $\C.$
Je travaille alors dans $\C$
Mais bon si $K$ est qcq quelconque ... -
Bonjour,
Le théorème de Steinitz dit que tout corps est plongeable dans un corps algébriquement clos (sa clôture algébrique).
Cordialement,
Rescassol -
Rescassol:
Je suis au courant, mais ce théorème est tout, sauf trivial. Cordialement. -
Bonjour,
Ici, il suffit de savoir que ça existe, pas d'en construire un.
Donc on peut faire comme si les polynômes rencontrés étaient tous scindés.
Cordialement,
Rescassol -
Et puis, il me semble qu'il y a un autre problème.
Bd2017 utilise le polynôme dérivé.
Dans $\mathbb{F}_p[X]$.
Si on prend $P(X)=X^p+X$
$Q(X)=P(X)-X$ a pour dérivée $0$. La caractérisation qu'il utilise en début de son message est fausse dans $\mathbb{F}_p[X]$ me semble-t-il.
NB: $p$ est un nombre premier. -
Bonjour,
Peut-être qu'il faut que $K$ soit de caractéristique nulle .......
Cordialement,
Rescassol -
Pardon ma définition était imprécise.
Soit $A$ un polynôme non nul et $\alpha \in \K$ une racine de $A$. L'ordre de multiplicité de $\alpha$ est le plus grand entier $p$ tel que $(X-\alpha)^p$ divise $A$. On dit alors que $\alpha$ est racine d'ordre $p$ de $A$.
$\alpha$ est racine d'ordre $p$ de $A$ si et seulement si il existe $B \in \K[X]$ tel que $A=(X-\alpha)^p B$ et $B(\alpha) \ne 0$
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