Centre de Gl(E)
dans Algèbre
Bonjour
"Le centre de L(E) est l'ensemble des homothéties"
Qu'est-ce qu'on veut dire avec le centre de L(E) ? Est-ce tout les espaces ont un centre ?
"Le centre de L(E) est l'ensemble des homothéties"
Qu'est-ce qu'on veut dire avec le centre de L(E) ? Est-ce tout les espaces ont un centre ?
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Réponses
$\forall x$, $(x \in Centre(G)) \iff (\forall g \in G) xg=gx$.
@don_juanes : le centre de l'anneau $(\mathcal L(E), +, \circ)$ c'est l'ensemble des éléments $u$ de $\mathcal L(E)$ qui commutent avec tous les éléments de $\mathcal L(E)$ : $u \in Z(\mathcal L(E)) \Leftrightarrow \forall v \in \mathcal L(E), u \circ v = v \circ u$.
Petit doute: je crois que $L(E)$ est l'ensemble des endomorphismes, et non des automorphismes (qu'on note plutôt $GL(E)$), c'est la première fois que je vois le mot utilisé dans le cadre non pas d'un groupe, mais d'un monoïde. Ce n'est pas grave, ça marche de la même manière, tu peux montrer qu'il s'agit bien d'un "sous-monoïde" (ça marche même dans les semi-groupes, tu n'as besoin que de l'associativité pour montrer la stabilité).
Edit: Oh crotte! Dans le titre, il y avait marqué $GL$. Désolé!
J'ai fait une faute de frappe, je parle de L(E).
Mais L(E) et Gl(E) ont le même centre, non ?
Blueberry : j'ai vu dans un exercice que : si E est espace vectoriel alors Gl(E) et L(E) ont le même centre ; qui est l'ensemble des homothéties.
AD
Comme te l'a dit Poirot, dans le centre de $L(E)$, il y a $0$ qui n'est pas dans $GL$. Mais à ce détail près, oui, les éléments du centre sont les scalaires.
Quelle horreur ! Ne t'a-t-on jamais appris à quantifier ? Que peut bien vouloir dire ta phrase ?
Poirot : j'ai compris , je ferais gaffe au futur !
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/faire.php
Justement, au futur...