Centre d'une sous-algèbre de Lie
dans Algèbre
Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez très bien.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur , pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le problème est le suivant.
Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne $ L \subset gl_{n} $ , telle que la forme bilinéaire $ b(x,y)=tr(x,y) $ est non dégénérée sur $L\times{}L$. Montrer que le centre de $ L $, dénoté par $Z(L)$ se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait c'est essayer [de] montrer que $L$ est réductive, comme ça, on aurait que $L=Z(L)\oplus{[g,g]}$ et aussi que $[L,L] \subset sl_{n}$ est semi-simple.
D'autre part, nous avons que $gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}$.
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si $x\in{Z(g)}$ puisque $[L,L] \subset sl_{n}$, alors $x \in{span\left\{{I}\right\}}$. Mais un copain m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai, et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé (sans beaucoup de succès non plus) de montrer que $L$ se décompose sous la forme $ L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots \oplus{}W_{s}$, avec $V_{i}, W_{j}$ idéaux de $L$ telle que $\dim V_{i}=1$, $\dim W_{i} \geq 2$ , $ W_{i}$ simple et avec $b$ non dégénérée sur chaque $V_{i} \times{} V_{i}$ et sur chaque $W_{i} \times{} W_{i}$, ainsi on aurait que $Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}$.
Finalement, essayer montrer que si $V$ est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendré par une matrices diagonale, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur , pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le problème est le suivant.
Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne $ L \subset gl_{n} $ , telle que la forme bilinéaire $ b(x,y)=tr(x,y) $ est non dégénérée sur $L\times{}L$. Montrer que le centre de $ L $, dénoté par $Z(L)$ se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait c'est essayer [de] montrer que $L$ est réductive, comme ça, on aurait que $L=Z(L)\oplus{[g,g]}$ et aussi que $[L,L] \subset sl_{n}$ est semi-simple.
D'autre part, nous avons que $gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}$.
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si $x\in{Z(g)}$ puisque $[L,L] \subset sl_{n}$, alors $x \in{span\left\{{I}\right\}}$. Mais un copain m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai, et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé (sans beaucoup de succès non plus) de montrer que $L$ se décompose sous la forme $ L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots \oplus{}W_{s}$, avec $V_{i}, W_{j}$ idéaux de $L$ telle que $\dim V_{i}=1$, $\dim W_{i} \geq 2$ , $ W_{i}$ simple et avec $b$ non dégénérée sur chaque $V_{i} \times{} V_{i}$ et sur chaque $W_{i} \times{} W_{i}$, ainsi on aurait que $Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}$.
Finalement, essayer montrer que si $V$ est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendré par une matrices diagonale, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.
Réponses
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Dites donc, c'est la journée des centres ! ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1962566 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1962976)
-
Que penser de la sous-algèbre de Lie $L=\{ \begin{pmatrix} A \\ & & 0 & Tr(A) \\ & & 0 & 0 \end{pmatrix}\mid A \in gl_2\}$ de $gl_4$ ?
-
Autre contre-exemple. On prend $L_0 ={\rm gl}_2\times{\rm gl}_2$ plongé diagonalement par blocs dans ${\rm gl}_4$. Alors la forme bilinéaire trace est non dégénérée sur $L_0\times L_0$. Pour obtenir une sous-algèbre de centre non contenu dans les matrices diagonales, on conjugue $L_0$ par exemple par la matrice par blocs
$$
\left(\begin{array}{cc}I_2 & I_2 \\ 0_2& I_2\end{array}\right)
$$
On utilise ici que la forme bilinéaire est invariante par conjuguaison.. -
Vous avez raison, le résultat est faux, merci beaucoup pour votre aide
Salutations . -
Mon copain a trouvé un autre contre-exemple, je laisse le lien ici au cas où cela fonctionnerait pour quelqu'un à l'avenir
https://math.stackexchange.com/questions/3589842/center-of-lie-subalgebra-of-mathfrakgl-n -
Bonjour à tous, pensez-vous qu'avec les mêmes hypothèses de ce problème
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1963116
il est possible de démontrer que la sous-algèbre est réductive ?
Je pense que c'est probable mais je n'ai pas réussi à donner une démonstration adéquate ou un contre-exemple.
Salutations
PS. Désolé si vous voyez soudainement une faute d'orthographe, je n'ai pas pratiqué le français depuis longtemps (je suis mexicain mais j'ai vécu en France pendant mon enfance).
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Bonjour!
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