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Centre d'une sous-algèbre de Lie

Envoyé par OliNewton2Mex 
Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez très bien.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur :(, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le problème est le suivant.

Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne $ L \subset gl_{n} $ , telle que la forme bilinéaire $ b(x,y)=tr(x,y) $ est non dégénérée sur $L\times{}L$. Montrer que le centre de $ L $, dénoté par $Z(L)$ se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait c'est essayer [de] montrer que $L$ est réductive, comme ça, on aurait que $L=Z(L)\oplus{[g,g]}$ et aussi que $[L,L] \subset sl_{n}$ est semi-simple.
D'autre part, nous avons que $gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}$.
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si $x\in{Z(g)}$ puisque $[L,L] \subset sl_{n}$, alors $x \in{span\left\{{I}\right\}}$. Mais un copain m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai, et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé (sans beaucoup de succès non plus) de montrer que $L$ se décompose sous la forme $ L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots \oplus{}W_{s}$, avec $V_{i}, W_{j}$ idéaux de $L$ telle que $\dim V_{i}=1$, $\dim W_{i} \geq 2$ , $ W_{i}$ simple et avec $b$ non dégénérée sur chaque $V_{i} \times{} V_{i}$ et sur chaque $W_{i} \times{} W_{i}$, ainsi on aurait que $Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}$.
Finalement, essayer montrer que si $V$ est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendré par une matrices diagonale, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Dites donc, c'est la journée des centres ! ( [www.les-mathematiques.net] [www.les-mathematiques.net])



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Poirot.
Pea
Re: Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Que penser de la sous-algèbre de Lie $L=\{ \begin{pmatrix} A \\ & & 0 & Tr(A) \\ & & 0 & 0 \end{pmatrix}\mid A \in gl_2\}$ de $gl_4$ ?
Re: Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Autre contre-exemple. On prend $L_0 ={\rm gl}_2\times{\rm gl}_2$ plongé diagonalement par blocs dans ${\rm gl}_4$. Alors la forme bilinéaire trace est non dégénérée sur $L_0\times L_0$. Pour obtenir une sous-algèbre de centre non contenu dans les matrices diagonales, on conjugue $L_0$ par exemple par la matrice par blocs
$$
\left(\begin{array}{cc}I_2 & I_2 \\ 0_2& I_2\end{array}\right)
$$
On utilise ici que la forme bilinéaire est invariante par conjuguaison..
Re: Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Vous avez raison, le résultat est faux, merci beaucoup pour votre aide :D
Salutations :) .
Re: Centre d'une sous-algèbre de Lie
il y a trois mois
Mon copain a trouvé un autre contre-exemple, je laisse le lien ici au cas où cela fonctionnerait pour quelqu'un à l'avenir
[math.stackexchange.com]
Montrer que une sous-algèbre est reductive
il y a trois mois
Bonjour à tous, pensez-vous qu'avec les mêmes hypothèses de ce problème
[www.les-mathematiques.net]
il est possible de démontrer que la sous-algèbre est réductive ?
Je pense que c'est probable mais je n'ai pas réussi à donner une démonstration adéquate ou un contre-exemple.
Salutations :)

PS. Désolé si vous voyez soudainement une faute d'orthographe, je n'ai pas pratiqué le français depuis longtemps (je suis mexicain mais j'ai vécu en France pendant mon enfance).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
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