Centre d'une sous-algèbre de Lie
dans Algèbre
Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez très bien.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur
, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le problème est le suivant.
Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne $ L \subset gl_{n} $ , telle que la forme bilinéaire $ b(x,y)=tr(x,y) $ est non dégénérée sur $L\times{}L$. Montrer que le centre de $ L $, dénoté par $Z(L)$ se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait c'est essayer [de] montrer que $L$ est réductive, comme ça, on aurait que $L=Z(L)\oplus{[g,g]}$ et aussi que $[L,L] \subset sl_{n}$ est semi-simple.
D'autre part, nous avons que $gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}$.
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si $x\in{Z(g)}$ puisque $[L,L] \subset sl_{n}$, alors $x \in{span\left\{{I}\right\}}$. Mais un copain m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai, et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé (sans beaucoup de succès non plus) de montrer que $L$ se décompose sous la forme $ L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots \oplus{}W_{s}$, avec $V_{i}, W_{j}$ idéaux de $L$ telle que $\dim V_{i}=1$, $\dim W_{i} \geq 2$ , $ W_{i}$ simple et avec $b$ non dégénérée sur chaque $V_{i} \times{} V_{i}$ et sur chaque $W_{i} \times{} W_{i}$, ainsi on aurait que $Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}$.
Finalement, essayer montrer que si $V$ est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendré par une matrices diagonale, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.
Je suis coincé dans ce problème depuis presque une semaine, toutes mes tentatives ont eu une erreur
, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?Le problème est le suivant.
Supposons que nous avons une sous-algèbre de Lie non abélienne $ L \subset gl_{n} $ , telle que la forme bilinéaire $ b(x,y)=tr(x,y) $ est non dégénérée sur $L\times{}L$. Montrer que le centre de $ L $, dénoté par $Z(L)$ se compose de matrices diagonales.
La première chose que j'ai fait c'est essayer [de] montrer que $L$ est réductive, comme ça, on aurait que $L=Z(L)\oplus{[g,g]}$ et aussi que $[L,L] \subset sl_{n}$ est semi-simple.
D'autre part, nous avons que $gl_{n}=span\left\{{I}\right\} \oplus{sl_{n}}$.
Au début, je pensais que puisque les deux sommes étaient directes et que la décomposition était unique dans les deux, si $x\in{Z(g)}$ puisque $[L,L] \subset sl_{n}$, alors $x \in{span\left\{{I}\right\}}$. Mais un copain m'a dit que ce n'est pas nécessairement vrai, et il a raison.
Plus tard, j'ai essayé (sans beaucoup de succès non plus) de montrer que $L$ se décompose sous la forme $ L=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r} \oplus{} W_{1} \oplus{} \ldots \oplus{}W_{s}$, avec $V_{i}, W_{j}$ idéaux de $L$ telle que $\dim V_{i}=1$, $\dim W_{i} \geq 2$ , $ W_{i}$ simple et avec $b$ non dégénérée sur chaque $V_{i} \times{} V_{i}$ et sur chaque $W_{i} \times{} W_{i}$, ainsi on aurait que $Z(L)=V_{1} \oplus{} \ldots \oplus{} V_{r}$.
Finalement, essayer montrer que si $V$ est un sous-espace de dimension 1 alors il est engendré par une matrices diagonale, mais j'ai échoué.
Merci beaucoup d'avance.
Avec mes meilleures salutations, Olivier.
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Réponses
$$
\left(\begin{array}{cc}I_2 & I_2 \\ 0_2& I_2\end{array}\right)
$$
On utilise ici que la forme bilinéaire est invariante par conjuguaison..
Salutations
https://math.stackexchange.com/questions/3589842/center-of-lie-subalgebra-of-mathfrakgl-n
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1963116
il est possible de démontrer que la sous-algèbre est réductive ?
Je pense que c'est probable mais je n'ai pas réussi à donner une démonstration adéquate ou un contre-exemple.
Salutations
PS. Désolé si vous voyez soudainement une faute d'orthographe, je n'ai pas pratiqué le français depuis longtemps (je suis mexicain mais j'ai vécu en France pendant mon enfance).