De la définition d'un corps
Bonjour,
voici la définition d'un corps que l'on m'a donnée.
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et ensuite je lis l'énoncé du théorème de Wedderburn qui affirme que les corps finis sont commutatifs.
Est-ce que je comprends bien la définition du corps en affirmant qu'elle inclut le fait que l'anneau $(K,+,\times)$ est commutatif mais pas forcément le corps $K$ ?
Est-ce que je comprends bien l'énoncé du théorème de Wedderburn en affirmant qu'il existe des corps non commutatif ?
Pouvez-vous éclairer ma lanterne ?
D'avance merci
voici la définition d'un corps que l'on m'a donnée.
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et ensuite je lis l'énoncé du théorème de Wedderburn qui affirme que les corps finis sont commutatifs.
Est-ce que je comprends bien la définition du corps en affirmant qu'elle inclut le fait que l'anneau $(K,+,\times)$ est commutatif mais pas forcément le corps $K$ ?
Est-ce que je comprends bien l'énoncé du théorème de Wedderburn en affirmant qu'il existe des corps non commutatif ?
Pouvez-vous éclairer ma lanterne ?
D'avance merci
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Réponses
PS:
Parfois pour désigner des "corps" qui ne sont pas commutatifs, on parle de "corps gauche".
PS2:
L'article de Wikipedia indique qu'il y a une ambiguïté sur le fait que la multiplication doit être ou ne pas être commutative
( https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_(mathématiques) )
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
?
Il y a deux définitions coexistantes de corps : celle où la multiplication est commutative (corps commutatif) et celle où elle ne l'est pas (corps "gauche" ou "anneau à divisions"*). Je crois qu'aujourd'hui "corps" sous-entend le plus souvent la commutativité, mais ça n'est pas universel.
C'est un peu le même problème avec les anneaux qui sont parfois sous-entendus unitaires et parfois non. Et il y a aussi le même genre d'ennui pour les algèbres qui sont associatives de temps à autre...
*Je ne suis plus sûr si ces terminologies imposent la non commutativité, ou laissent le choix.
L'énoncé "les corps finis sont commutatifs" est alors absurde.
Je cite un très vieux commentaire sur l'oral de l'agrégation.
Comme pour pas mal de choses, il me semble que la définition la plus répandue en France est celle de Bourbaki, où un corps est un anneau dont tout élément non nul est inversible (Algèbre, chapitre 1, paragraphe 9).
J'ai le souvenir que la définition de corps que j'ai eu dans mes différent cours d'algèbre ne demandait pas de commutativité, mais qu'assez vite une remarque du style "Nous supposerons à présent que tous les corps que nous considérons sont commutatifs" apparaissait.
Le passage qui retient mon attention est le suivant :
De quel théorème parle t-on ici ?
Il se trouve qu'est paru en 1972, aux PUF, un livre d'André Blanchard, dont le titre est "les corps non commutatifs". J'ai ce livre.
Cordialement,
Rescassol
Un anneau unitaire / Un anneau commutatif unitaire:
Le triplet $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire lorsque l'ensemble $A$ est muni de deux lois de compositions internes tels que :
(1) $(A,+)$ soit un groupe abélien de neutre $0_A$ ;
(2) $\times$ soit associative de neutre $1_A$
(3) $\times$ soit distributive sur $+$
Si de plus la loi $\times$ est commutative, on dira que l'anneau $A$ est commutatif unitaire.
Un anneau à division :
Le triplet $(A,+,\times)$ est un anneau à division lorsque :
(1) $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) Tous les éléments de $A$, sauf le nul, sont inversibles.
Un corps :
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) L'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) Tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et alors, on peut énoncer le théorème de Wedderburn comme suit : "Tout anneau à division, fini, est commutatif".
Et moi, il me semble que c'est passé de mode. La bizarrerie introduite par Bourbaki, à rebours de la tradition algébrique, d'appeler "corps" une algèbre à division (ou corps gauche) ne me paraît plus très en vogue.
BMaths, à propos des ennuis qu'on rencontre avec les polynômes, tu pourras réfléchir au nombre de racines du polynôme $X^2+1$ dans l'algèbre à division des quaternions.
Sinon, posons la question comme ça : quels résultats basiques/fondamentaux/importants sont FAUX si on ne suppose pas dans les hypothèses que le corps DOIT être commutatif ?
Il y a toute une théorie très intéressante sur les corps gauche.
Je te recommande la lecture du livre Les corps non commutatifs de André Blanchard PUF, 1972.
C'est dans ce bouquin que j'ai lu pour la première fois la dénomination corps gauche.
(j'avais déjà entendu parler d'anneau à division. Cette dénomination apparait dans un rapport de jury d'agrégation qui critique les exposés de candidats sur le théorème de Wedderburn)
$(\sim 1974)$ le sujet des corps non commutatifs.
Maintenant, si GaBuZoMeu me dit que c'est passé de mode que de reprendre la définition bourbakiste, je le crois volontiers.
Vis-a-vis de ce qui bloque ou ne bloque pas dans le cas non commutatif, il me semble que (je n'ai jamais travaillé avec ces choses, les personnes qui ont bossé sur le sujet pourraient me corriger), pour ce qui est de l'algèbre linéaire (EDIT: de base) sur les espaces vectoriels, les choses ne changent pas, puisqu'en fait dans tout ce qu'on fait sur les ev, on utilise essentiellement la structure de $k$-module a gauche, et le fait que tout élément de $k$ est inversible à gauche. Dans un corps gauche, ça devrait marcher pareil, une fois qu'on est fixés sur le fait de travailler dans la structure de $k$-module à gauche (ou a droite). (Edit: pour des trucs plus avancés d'algèbre linéaire, comme par exemple de la réduction d'endomorphisme ou on utilise des $K[X]$-module, et des théorèmes sur les modules sur les anneaux principaux, du coup, là, plein de choses doivent cesser de fonctionner).
Par contre, j'imagine que dès qu'on commence à vouloir toucher aux produits tensoriels, les choses se corsent: dans le monde non commutatif, le produit tensoriel est une opération entre un $A$-module à droite et un $A$-module a gauche (ou plus généralement, entre un $(C, A)$-bimodule et un $(A, D)$-bimodule et le résultat est alors un $(C, D)$-bimodule).
Du coup, sur un corps gauche, on doit probablement faire bien plus attention à quelle structure on met sur qui.
Pour les polynômes, les choses se corsent encore, comme GaBuZoMeu l'a montré, dans les quaternions, le polynôme $X^2 + 1$ a au moins trois racines ($i$, $j$ et $k$). Le problème, c'est la notion d'évaluation, i.e de substituer un quaternion à $X$. Dans $\mathbb{H}[X]$, $X$ commute avec tout le monde, mais il y a des quaternions qui ne commutent pas avec tout le monde, si on veut un morphisme d'évaluation en $x$ bien défini, il faut que $x$ commute lui-même avec tout le monde. Sinon, on tombe sur des bizarreries, du genre, le polynôme $iX - Xi = 0$, "évalué" en $j$, ne donne pas zéro.
On peut imaginer aussi les problèmes avec la division euclidienne: quand on applique l'algorithme de division pour former une division euclidienne, doit-on multiplier à droite? à gauche?
Un résultat fondamental qui est faux sans la commutativité : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines. Par exemple dans l'algèbre des quaternions usuels, il y a une infinité d'éléments dont le carré vaut $-1$. La perte de ce résultat fait très mal quand même !
Un petit article de vulgarisation de Xavier Caruso sur les polynômes tordus, qui deviennent nécessaires pour parler d'évaluation de polynômes dans un contexte non commutatif.
*EDIT: naturel était maladroit, je ne suis pas en train de dire qu'il n'y en a pas plein, que ça n'apparait que de manière artificielle, que ce n'est pas utile, etc. Je veux juste dire qu'une grande majorité des matheux et des étudiants en maths n'en rencontreront pas ou à peine et ne les utiliserons pas, c'est tout.
Dans un tel contexte, il me parait tout-à-fait raisonnable d'inclure la commutativité dans la définition, surtout que c'est en accord avec bien d'autres langues (anglais, mais pas seulement).
L'argument de Bourbaki ne tient pas à mon sens, les mathématiques sont une science vivante et internationale (ce qui est différent de dire qu'on doit plier le genou devant l'anglais, attention), la terminologie peut (et même doit) évoluer avec les usages. Attention à ne pas faire de Bourbaki un espèce de référence sacrée immuable qui serait de plus en plus en décalage avec la réalité du terrain. Je suis d'ailleurs persuadé que les membres de Bourbaki à l'époque n'avait pas du tout dans l'intention d'en faire une espèce de nomenclature officielle.
On a déjà eu ce débat de la terminologie "officielle" en mathématiques à propos de la marotte "fonction vs application", il n'y a pas, et il n'y aura jamais, de terminologie officielle figée en mathématiques, et c'est tant mieux. Les mathématiques requièrent trop d'imaginations pour cela.
-- Par transitivité, toutes les applications des quaternions réels.
-- Interprétation du groupe de Brauer $H^{2}({\rm Gal}(K/F),K^\times )$ comme les classes d'équivalence de $F$-algèbres centrales simples munies du produit tensoriel.
-- Classification des formes des groupes classiques sur un corps de base $F$ (classification des groupes algébriques sur $F$ qui deviennent isomorphes à un groupe classique $O(n)$, $Sp(n)$, $Gl(n)$, etc. , sur une clôture algébrique de $F$).
-- Formes automorphes : correspondance de Jacquet-Langlands.
-- Etudes des formes quadratiques sur ${\mathbb Q}_p$ et $\mathbb Q$.
-- Construction de sous-groupes discrets du groupe des automorphismes du demi-plan de Poincaré à quotients compacts.
> combien de mathématiciens
> français travaillent avec les quaternions?), les
> exemples ne sont vraiment pas naturels. L'immense
> majorité des corps utilisés couramment par
> l'ensemble des mathématiciens sont commutatifs.
Je travaille avec depuis presque 30 ans et je ne suis pas le seul (en France et ailleurs) !!
On rencontre de nouveau une erreur apparue lors de discussions précédentes. Ce n'est pas parce qu'on n'appelle pas "corps" les algèbres à division qu'on nie qu'elles existent ou qu'elles sont importantes, en mathématiques ou ailleurs. Bien au contraire.
Pour qu'un polynôme de degré $n$ à coefficients dans un corps $K$ ait au plus $n$ racines il est nécessaire d'inclure le fait que le corps $K$ soit commutatif dans la définition ?
De ce que je comprends, un anneau à division c'est un triplet $(A,+,\times)$ tel que :
(1) $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) Tous les éléments de $A$, sauf le nul, sont inversibles.
Dès lors, comment comprendre l'expression "K-algèbre à division D" ?
Par exemple $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une $\mathbb R$-algèbre de dimension $n^2$.
En cherchant un peu, j'ai trouvé l'intervention suivante de rschwieb sur https://math.stackexchange.com/questions/1121419/example-of-a-non-commutative-division-ring-with-finite-characteristics. Il existe des corps gauches non commutatifs de caractéristique $p$ (cela utilise des résultats qui ont l'air non triviaux). Sur un corps gauche non commutatif $D$ de caractéristique $2$, on trouve $(X-1)^2=X^2-2X+1=X^2-1=X^2+1$ et $1$ est la seule racine (double) de $X^2+1$ dans $D$. Sauf erreur, je ne connais pas trop les corps gauches.
Soit $K$ un corps (commutatif) et $D$ une $K$-algèbre à division centrale de dimension finie sur $K$. Alors si tout polynôme de $K[X]$ a un nombre fini (éventuellement $0$) de racines dans $D$, $D$ est commutative (en fait $D=K$).
C'est juste que d'un point de vue de la terminologie, vu que la grande majorité (à ce que je sache) du temps on s'intéresse aux corps commutatifs, je trouve plus logique de sous-entendre la commutativité quand on parle de "corps" et de parler de "corps non commutatif" (ou d'anneau à division) le reste du temps. Un peu comme on dit "anneau" la plupart du temps au lieu de "anneau unitaire", puisque c'est le truc le plus utilisé... et après on peut donner un autre nom (comme "pseudo-anneau") à l'objet dont l'utilisation est minoritaire.
Je trouve que ça illustre aussi leur utilisation : le mot anneau/corps "tout court" devrait être réservé au truc qu'on rencontre le plus, quitte à rajouter un qualificatif derrière pour les cas particuliers restants.
Je ne maîtrise rien donc je m’interroge de manière très candide.
Merci, je viens de lire la définition ici.
Je comprends cette multitude de définitions, il faut juste que je réordonne tout ça.
Existe t-il un schéma qui synthétise le tout ?
Groupe
Anneau
Anneau intègre
Corps
Algèbre
Algèbre à division
J'ai l'impression de saisir les définitions, mais j'ai du mal à voir les liens entre les différents objets manipulés.
N’oublions pas magma et monoïde :-)
Anneau noetherien, anneau principal, anneau euclidien, anneau factoriel ?
J'étais tombé sur cette image un jour, je ne sais plus qui en est l'auteur désolé.
Bon, cela dit, un schéma plus simple avec les structures de L1-L2 doit être faisable.
Mais il n’y a pas vraiment d’inclusion au sens des ensembles mais au sens « on ajoute une loi » ou « on ajoute une propriété ».
Il ne faudrait pas leurrer tout le monde.
Pour l'instant j'en suis là :
Je place à la limite les cas contre-exemples.
$K$ est un corps $\iff$ $K$ est intègre, non ?
Je vais essayer d'en construire un, petit à petit.
2) qu’est-ce que K en premier lieu dans l’assertion tout en bas ?
Ça se saurait quand même ! Et $\mathbb Z$ par exemple ?