De la définition d'un corps

La multiplication d'un corps, selon ta définition (qui est la définition classique), est bien commutative. C'est la définition de Steinitz, qui a fondé la théorie axiomatique des corps.

L'énoncé "les corps finis sont commutatifs" est alors absurde.

Je cite un très vieux commentaire sur l'oral de l'agrégation.

L'utilisation d'une terminologie adaptée devrait être l'un des soucis des candidats. La leçon "Corps finis, exemples, applications" peut illustrer ce propos. Il n'est pas rare qu'après un paragraphe entier consacré aux corps finis, et notamment à leur description complète, apparaisse le théorème de Wedderburn, énoncé sous la forme suivante: "tout corps fini est commutatif'. Cela suggère que les corps considérés au préalable n'étaient pas supposés commutatifs ; or, il est bien nécessaire qu'ils le soient si l'on veut leur appliquer les théorèmes relatifs aux polynômes à une indéterminée, essentiels pour l'étude des corps (commutatifs) finis.
Cette incongruité pourrait être évitée si l'on décidait qu'un corps est nécessairement commutatif, et si l'on désignait par "anneau à division" ou encore "algèbre à division" une structure d'anneau, où tous les éléments non nuls sont inversibles ("algèbre" renvoyant alors à la structure d'algèbre sur le centre). Le théorème de Wedderburn pourrait ainsi s'énoncer: " tout anneau à division, fini, est commutatif ce qui est tout de même plus parlant que l'énoncé suivant: "tout corps non commutatif fini est commutatif."

Au programme de prépa, les corps sont commutatifs. C'est loin d'être la Bible le programme de prépa, mais comme c'est là que j'ai appris ce qu'est un corps, de même que pas mal d'étudiants, je le cite.

Bonjour,

Il se trouve qu'est paru en 1972, aux PUF, un livre d'André Blanchard, dont le titre est "les corps non commutatifs". J'ai ce livre.

Cordialement,

Rescassol

Corps gauche est presque acceptable du coup.

Est-ce qu'on les rencontre souvent, les corps non commutatifs, en mathématiques ? Pour autant que je sache, non... il y a l'exemple classique des quaternions, mais sinon je ne connais aucun exemple concret (bon, sauf les extensions des quaternions, quoi). Sur Wikipédia, ils bidouillent un truc avec des séries de Laurent juste pour dire qu'il y a d'autres exemples "dans l'absolu" mais je pense que les corps non commutatifs, grossièrement, on peut se permettre de les ignorer et de sous-entendre que "corps" veut dire "corps commutatif".

Sinon, posons la question comme ça : quels résultats basiques/fondamentaux/importants sont FAUX si on ne suppose pas dans les hypothèses que le corps DOIT être commutatif ?

L'ensemble des endomorphismes de représentation de groupe d'une représentation irréductible est un anneau à division (lemme de Schur). Ça donne peut-être des exemples concrets d'anneaux à division autres que les quaternions (mais je n'en connais pas explicitement). Par exemple, si on prend une représentation irréductible d'un groupe dont le centre est non trivial et dont le centre agit non trivialement, on devrait obtenir une algèbre à division non nulle.

J'ai travaillé pendant une année académique entière
$(\sim 1974)$ le sujet des corps non commutatifs.

Paul, je n'entendais bien sur pas que les anglais n'ont pas de mots pour désigner les corps commutatifs. Simplement que chez eux, si il y a le mot field tout seul, c'est un corps commutatif, alors qu'en France il y a justement cette incertitude apportée par Bourbaki.

Maintenant, si GaBuZoMeu me dit que c'est passé de mode que de reprendre la définition bourbakiste, je le crois volontiers.

Vis-a-vis de ce qui bloque ou ne bloque pas dans le cas non commutatif, il me semble que (je n'ai jamais travaillé avec ces choses, les personnes qui ont bossé sur le sujet pourraient me corriger), pour ce qui est de l'algèbre linéaire (EDIT: de base) sur les espaces vectoriels, les choses ne changent pas, puisqu'en fait dans tout ce qu'on fait sur les ev, on utilise essentiellement la structure de $k$-module a gauche, et le fait que tout élément de $k$ est inversible à gauche. Dans un corps gauche, ça devrait marcher pareil, une fois qu'on est fixés sur le fait de travailler dans la structure de $k$-module à gauche (ou a droite). (Edit: pour des trucs plus avancés d'algèbre linéaire, comme par exemple de la réduction d'endomorphisme ou on utilise des $K[X]$-module, et des théorèmes sur les modules sur les anneaux principaux, du coup, là, plein de choses doivent cesser de fonctionner).

Par contre, j'imagine que dès qu'on commence à vouloir toucher aux produits tensoriels, les choses se corsent: dans le monde non commutatif, le produit tensoriel est une opération entre un $A$-module à droite et un $A$-module a gauche (ou plus généralement, entre un $(C, A)$-bimodule et un $(A, D)$-bimodule et le résultat est alors un $(C, D)$-bimodule).
Du coup, sur un corps gauche, on doit probablement faire bien plus attention à quelle structure on met sur qui.

Pour les polynômes, les choses se corsent encore, comme GaBuZoMeu l'a montré, dans les quaternions, le polynôme $X^2 + 1$ a au moins trois racines ($i$, $j$ et $k$). Le problème, c'est la notion d'évaluation, i.e de substituer un quaternion à $X$. Dans $\mathbb{H}[X]$, $X$ commute avec tout le monde, mais il y a des quaternions qui ne commutent pas avec tout le monde, si on veut un morphisme d'évaluation en $x$ bien défini, il faut que $x$ commute lui-même avec tout le monde. Sinon, on tombe sur des bizarreries, du genre, le polynôme $iX - Xi = 0$, "évalué" en $j$, ne donne pas zéro.

On peut imaginer aussi les problèmes avec la division euclidienne: quand on applique l'algorithme de division pour former une division euclidienne, doit-on multiplier à droite? à gauche?

Autre fait amusant en non commutatif. Si $D$ est un algèbre à division non commutative, alors, dès que $n\geqslant 2$, il existe une matrice inversible dans ${\rm M}(n,D)$ dont la transposée n'est pas inversible.

Je ne suis jamais allé plus loin que la définition de quaternion, j'ai préféré ne pas me mouiller (:D. J'ai prévu d'un peu plus regarder ce sujet classique un de ces jours :-D.

Pour rencontrer des "corps non commutatifs", il faut vraiment le vouloir. À part les quaternions (et encore, à part comme contre-exemple à l'agrégation, combien de mathématiciens français travaillent avec les quaternions?), les exemples ne sont vraiment pas naturels*. L'immense majorité des corps utilisés couramment par l'ensemble des mathématiciens sont commutatifs.

*EDIT: naturel était maladroit, je ne suis pas en train de dire qu'il n'y en a pas plein, que ça n'apparait que de manière artificielle, que ce n'est pas utile, etc. Je veux juste dire qu'une grande majorité des matheux et des étudiants en maths n'en rencontreront pas ou à peine et ne les utiliserons pas, c'est tout.

Dans un tel contexte, il me parait tout-à-fait raisonnable d'inclure la commutativité dans la définition, surtout que c'est en accord avec bien d'autres langues (anglais, mais pas seulement).

L'argument de Bourbaki ne tient pas à mon sens, les mathématiques sont une science vivante et internationale (ce qui est différent de dire qu'on doit plier le genou devant l'anglais, attention), la terminologie peut (et même doit) évoluer avec les usages. Attention à ne pas faire de Bourbaki un espèce de référence sacrée immuable qui serait de plus en plus en décalage avec la réalité du terrain. Je suis d'ailleurs persuadé que les membres de Bourbaki à l'époque n'avait pas du tout dans l'intention d'en faire une espèce de nomenclature officielle.

On a déjà eu ce débat de la terminologie "officielle" en mathématiques à propos de la marotte "fonction vs application", il n'y a pas, et il n'y aura jamais, de terminologie officielle figée en mathématiques, et c'est tant mieux. Les mathématiques requièrent trop d'imaginations pour cela.

Héhéhé écrivait:

> combien de mathématiciens
> français travaillent avec les quaternions?), les
> exemples ne sont vraiment pas naturels. L'immense
> majorité des corps utilisés couramment par
> l'ensemble des mathématiciens sont commutatifs.

Je travaille avec depuis presque 30 ans et je ne suis pas le seul (en France et ailleurs) !!

@HéHéHé. L'argument est imparable. Je m'avoue vaincu.

Et moi, cela fait quelques années que je travaille beaucoup avec les quaternions duaux. ;-)

On rencontre de nouveau une erreur apparue lors de discussions précédentes. Ce n'est pas parce qu'on n'appelle pas "corps" les algèbres à division qu'on nie qu'elles existent ou qu'elles sont importantes, en mathématiques ou ailleurs. Bien au contraire.

A-t-on un théorème du type : si dans un anneau à division le polynôme $X^2+1$ n’admet que deux racines, alors c’est un corps (donc commutatif) ?

Salut Dom. Tu veux dire deux racines comptées avec multiplicité ?

En cherchant un peu, j'ai trouvé l'intervention suivante de rschwieb sur https://math.stackexchange.com/questions/1121419/example-of-a-non-commutative-division-ring-with-finite-characteristics. Il existe des corps gauches non commutatifs de caractéristique $p$ (cela utilise des résultats qui ont l'air non triviaux). Sur un corps gauche non commutatif $D$ de caractéristique $2$, on trouve $(X-1)^2=X^2-2X+1=X^2-1=X^2+1$ et $1$ est la seule racine (double) de $X^2+1$ dans $D$. Sauf erreur, je ne connais pas trop les corps gauches.

Je tiens juste à préciser que mon intention n'a jamais été de sous-entendre que les corps non commutatifs ne servent à rien.

C'est juste que d'un point de vue de la terminologie, vu que la grande majorité (à ce que je sache) du temps on s'intéresse aux corps commutatifs, je trouve plus logique de sous-entendre la commutativité quand on parle de "corps" et de parler de "corps non commutatif" (ou d'anneau à division) le reste du temps. Un peu comme on dit "anneau" la plupart du temps au lieu de "anneau unitaire", puisque c'est le truc le plus utilisé... et après on peut donner un autre nom (comme "pseudo-anneau") à l'objet dont l'utilisation est minoritaire.

Je trouve que ça illustre aussi leur utilisation : le mot anneau/corps "tout court" devrait être réservé au truc qu'on rencontre le plus, quitte à rajouter un qualificatif derrière pour les cas particuliers restants.

Merci pour ces réponses.
Je ne maîtrise rien donc je m’interroge de manière très candide.

À faire !!!!!!

N’oublions pas magma et monoïde :-)

Anneau noetherien, anneau principal, anneau euclidien, anneau factoriel ?

Il y a un théorème qui dit que les anneaux réguliers locaux sont factoriels. J'ai l'impression qu'il y a un petit problème dans le schéma à ce niveau-là : l'hypothèse de localité n'y figure pas.

Poirot : excellent schéma !

BMaths a écrit:

$K$ est un corps $\Leftrightarrow$ $K$ est intègre

Ça se saurait quand même ! Et $\mathbb Z$ par exemple ?