Décomposition polaire

Romanesco
Romanesco
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Je n'ai rien trouvé sur le forum concernant ma question, si j'ai râté l'info, veuillez m'excuser.

La décomposition polaire d'une matrice A inversible ( ou non ) est l'écriture unique sous la forme A = OS avec O orthogonale et S symétrique définie positive (ou simplement positive )

Il me semble avoir bien assimilé la démonstration de ce résultat, mais à quoi cette décomposition peut-elle servir ? Quelles en sont les applications ? ( plus particulièrement quand la matrice A est réelle donc )

Merci d'avance.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    La décomposition polaire est un outil fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

    Je n'y connais rien en topologie mais c'est un résultat aussi utile en physique/ mécanique quantique.
  • Romanesco
    Romanesco
    Merci, j'avoue que je cherchais une application précise, par exemple pour répondre à une question d'un jury ;)

    J'ai bien vu la page wikipedia, mais perso les groupes d'homotopie ... ça me parait bien trop compliqué pour moi :(.

    Ce qui est fou c'est que cette décomposition est un truc ultra classique des concours de l'agrégation, sans à priori aucune application qui soit en dessous du niveau master. En tout cas c'est pas faute d'avoir cherché sur internet.
  • Poirot
    Poirot
    Personne n'a parlé de groupes d'homotopie, je ne sais pas ce que tu es allé chercher.

    Le concours de l'agrégation est à niveau Master 2, donc où est le problème ?

    Des applications classiques : déterminer les points extrémaux de la boule unité de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ muni du produit scalaire usuel, l'application exponentielle réalise un homéomorphisme de $\mathcal S_n(\mathbb R)$ dans $\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$, $O_n(\mathbb R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbb R)$, pour toute matrice réelle inversible $A$ on a $|||A|||_2 = (\rho(^tAA))^{1/2}$, où $\rho$ désigne le rayon spectral.
  • Chat-maths
    Chat-maths
    Romanesco parlait probablement de l'application de la décomposition polaire donnée sur wikipédia, à savoir que $GL_n(\mathbb{R})$ et $O_n(\mathbb{R})$ ont même type d'homotopie.
  • Romanesco
    Romanesco
    Oui je parlais bien de la page wikipedia, mais il me semblait que c'était très clair dans mon message. ( puisque la phrase de Yves était la première de la page wikipedia sur la décomposition polaire ).

    Et aucun problème pour le master 2 ( bien que je parlais d'application classique des concours d'agrégation, je prenais aussi en compte l'agrégation interne ), mon problème était surtout de ne pas arriver à trouver d'application.

    Sinon merci pour les propositions, je vais essayer de réfléchir à ça car le lien n'est malheureusement pas du tout évident pour moi.
    ( d'ailleurs pour la norme triple de A et le lien avec le rayon spectral, je sais à priori démontrer cela sans utiliser la décomposition polaire ).
  • Poirot
    Poirot
    Oui mais ça plie la démonstration en peu de lignes. Tu peux regarder dans le Tome Premier de Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, le chapitre sur la décomposition polaire.
  • Romanesco
    Romanesco
    Super merci ! Je prends note et essayerai de me procurer ça dès que possible !
  • john_john
    john_john
    Un exemple d'application : si $u$ est un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, il existe une base $B$ orthonormale telle que $u(B)$ soit une famille orthogonale.

    Pour cela, on écrit $u=u_0\circ s$, où $u_0$ est orthogonal et $s$ symétrique et l'on remarque qu'une base orthonormale $B$ de vecteurs propres de $s$ convient.

    On peut se passer ici de la décomposition polaire, mais elle pulvérise le problème en une ligne.
  • Romanesco
    Romanesco
    Ah oui effectivement ! Merci beaucoup !
  • john_john
    john_john
    De rien ! Sinon, il y a aussi : si $E$ est euclidien, si $G$ est un sous-groupe compact de ${\rm GL}(E)$ qui contient ${\rm O}(E)$, alors $G={\rm O}(E)$.

    Si $u\in G$, on l'écrit $u_0\circ s$ et, donc, $s\in G$...
  • Romanesco
    Romanesco
    hum, je coince un peu ...

    s est symétrique définie positive, donc il existe une base o.n de vecteurs propres et les valeurs propres associées sont strictement positives (c'est à peu près la seule chose utilisable que je vois pour le fait que s est symétrique définie positive).

    Comment j'utilise le fait que G soit compact ??? (bon j'imagine qu'il faut aussi prouver à un moment que O(E) est compact mais ça c'est ok).
  • Romanesco
    Romanesco
    Les itérés de s sont aussi dans le groupe G, qui est compact donc borné. Donc les valeurs propres sont strictement positives et inférieures ou égales à 1.
    Je ne vois pas comment utiliser le caractère fermé de G, ni s'il faut le faire.

    J'imagine que s doit être orthogonal et donc l'identité, mais je ne vois pas pourquoi les valeurs propres feraient 1 particulièrement.
  • john_john
    john_john
    Si l'une au moins des valeurs propres de $s$ est $<1$, alors la suite de $s^k$ converge vers un endomorphisme symétrique non inversible (un projecteur orthogonal, d'ailleurs).
  • Romanesco
    Romanesco
    et comme G est fermé, cette limite est dans G, donc elle devrait être inversible. C'est comme ça que l'on conclut ?
  • john_john
    john_john
    Et voilà ; bien joué ! Donc $s$ est l'identité et $u$ est lui-même orthogonal
  • Romanesco
    Romanesco
    Super ! Et bien merci beaucoup, ça me fait déjà deux applications facilement exposables ( et ce mot n'existe probablement pas vu qu'il est souligné en rouge :) )

    J'ai retrouvé foi en la décomposition polaire :)
  • john_john
    john_john
    De rien, Romanesco !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 16

AleshaBouzarMatricule_63Vassilliaamafhhbiguine_equationgai requinpappusraoul.S +7 Invités