Système
Bonsoir,
Un exercice pas très difficile mais assez calculatoire. Je bloque à une étape.
On se propose de déterminer les triplets $(x,y,z)$ vérifiant :
$\begin{cases} x+y+z=2\\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=20 \end{cases}$
1/ Etant donné $(x,y,z)$ un triplet du système, on désigne par $t^3+at^2+bt+c$ le polynôme unitaire ayant pour racine $x,y,z$.
Exprimer $x+y+z$ , $x^2+y^2+z^2$ et $x^3+y^3+z^3$ en fonction de $a,b,c$.
Calculer $a,b,c$ puis résoudre l'équation $t^3+at^2+bt+c=0$.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne le problème initial ?
2/ Résoudre le système.
J'ai trouvé $x+y+z=-a$ donc $a=-2$ en utilisant les fonctions symétriques élémentaires.
Puis $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=a^2-2b=4-2b$ donc $b=-5$
Je bloque pour $x^3+y^3+z^3$. J'ai tenté plusieurs choses mais je me perds dans des calculs interminables.
Un exercice pas très difficile mais assez calculatoire. Je bloque à une étape.
On se propose de déterminer les triplets $(x,y,z)$ vérifiant :
$\begin{cases} x+y+z=2\\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=20 \end{cases}$
1/ Etant donné $(x,y,z)$ un triplet du système, on désigne par $t^3+at^2+bt+c$ le polynôme unitaire ayant pour racine $x,y,z$.
Exprimer $x+y+z$ , $x^2+y^2+z^2$ et $x^3+y^3+z^3$ en fonction de $a,b,c$.
Calculer $a,b,c$ puis résoudre l'équation $t^3+at^2+bt+c=0$.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne le problème initial ?
2/ Résoudre le système.
J'ai trouvé $x+y+z=-a$ donc $a=-2$ en utilisant les fonctions symétriques élémentaires.
Puis $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=a^2-2b=4-2b$ donc $b=-5$
Je bloque pour $x^3+y^3+z^3$. J'ai tenté plusieurs choses mais je me perds dans des calculs interminables.
Réponses
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Bonjour,
D'après les relations racines-coefficients il me paraît clair que $a = {-2}$.
Ensuite ton calcul me semble correct : $b={-5}$.
Pour trouver $c$ on procède comme pour $a$ et $b$ : on avait besoin de connaître respectivement $x+y+z$ et $xy+yz+xz$ en exprimant $x+y+z$ et $(x+y+z)^2$. Là on fait pareil : on exprime $(x+y+z)^3$ en fonction de $xyz$.
Pour cela, il suffit d'abord d'établir que$(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 +3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2) + 6xyz$,
puis d'exprimer $x(xy+yz+xz)$, $y(xy+yz+xz)$ et $z(xy+yz+xz)$.
Si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, tu devrais trouver $xyz= {-6}$ donc $c= 6$.
Résoudre ton système revient à résoudre l'équation $t^3 -2t^2 -5t +6=0$ (il y a une racine évidente).
Cordialement. -
Relis la 3e équation.
-
Je pense qu'il s'agit d'une erreur de copié-collé...
-
Si je ne me trompe pas c'est connus sous identités de Lagrange si ($y^2$ c'est $y^3$) dans l'equation trois.
-
Il faut utiliser les fonctions symétriques de $a$ , $b$ , $c$ qui sont
$s_1:=a+b+c$ , $s_2:=ab+bc+ca$ , $s_3 = abc$ . On a
$a+b+c = s_1=2$
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) = s_1^2-2s_2 = 14$
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3\pm ... =20$
etc. -
L'étape suivante, cachée dans les pointillées de soland, peut commencer par : \[(xy+yz+zx)(x+y+z)=\cdots\]
-
Bonjour,
FracSym(a^3+b^3+c^3) >> s1^3 - 3*s2*s1 + 3*s3
Cordialement,
Rescassol -
Sachant que $x,y,z$ vérifient $t^3+at^2+bt+c=0$
on peut sommer les 3 égalités $x^3+ax^2+bx+c=0,y^3+ay^2+by+c=0,z^3+az^2+bz+c=0$ pour obtenir $x^3+y^3+z^3$ et utiliser les résultats déjà obtenus. -
Je reste bloqué ici.
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2)+6xyz$
Or $\sigma_1=x+y+z=-a$ , $\sigma_3=xyz=-c$ et $\sigma_2=xy+yz+xz=b$
Donc $a^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2) -6 c$ -
La méthode de Lale aboutit merci X:-(
Par contre la méthode calculatoire je ne vois pas comment on peut se débarrasser du terme de tous les termes qui sont après le $6$ en facteur. -
Il faut lire: on a l'identité $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3- 3 (xy+yz+zx) (x+y+z) + 3 xyz $ déjà donnée ci-dessus.
Ce n'est pas si calculatoire que ça de trouver les 2 coefficients -3 et 3. -
Ok merci.
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Bonjour!
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