Exercice difficile polynôme

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonjour,

Comment avoir des idées pour résoudre un tel exercice sans indications ?

Trouver tous les polynômes non nuls de $\C[X]$ vérifiant $P(X^2)+P(X)P(X+1)=0$

Je ne vois pas comment faire, donc je regarde le début du corrigé et il est écrit que si $a$ est racine de $P$ alors $a^{2^p}$ est aussi racine.

Le nombre de racine étant fini, on a nécessairement $\exists p \in \N^{*} \ \exists q \in \N^{*} \ a^{2^p}=a^{2^q}$ et $p \ne q$

Donc $a=0$ ou $|a|=1$.

Jusque ici ça va mais il fallait penser à la première idée. Je n'ai pas encore regardé la suite du corrigé, mais même à partir de là, je ne vois pas trop comment avoir d'autres idées.

On a juste montré que si $a$ est racine alors $a=0$ ou $a= \pm 1$.

Réponses

  • OShine
    OShine
    Par ailleurs, pour $a^{2^p}=a^{2^q}$ il n'y a pas d'autre possibilité que $|a|=1$ ou $a=0$ ?

    J'ai écrit $|\dfrac{a^{2^p}}{a^{2^q}}|=1$ si et seulement si $|a|^{2^p-2^q}=1$ si et seulement si $|a|=1$
  • Siméon
    Siméon
    OShine a écrit:
    Comment avoir des idées pour résoudre un tel exercice sans indications ?

    Pour une équation de ce type avec des polynômes, on peut commencer par se faire une idée en regardant ce qui se passe au niveau des termes dominants, des termes constants, du degré. Étudier les racines si des factorisations apparaissent.

    Par ailleurs, si $n$ est un diviseur de $2^{p-q}$ et si $a$ est une racine $n$-ième de l'unité, alors $a^{2^p} = a^{2^q}$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    > il fallait penser à la première idée

    Cette idée est évidente, quand on a un problème de polynôme, on pense aux racines, et là on voit que si $P(a)=0$ alors $P(a^2)=0$ et la récurrence est alors naturelle.

    Cordialement,

    Rescassol
  • OShine
    OShine
    Ok merci donc ici on s'intéresse aux racines.

    Je cherche à montrer que $(\exists p \in \N^{*} \ \exists q \in \N^{*} \ a^{2^p}=a^{2^q}$ et $p \ne q) \Longleftrightarrow (a=0 \ \text{ou} \ |a|=1)$

    L'implication directe j'ai réussi mais la réciproque je ne vois pas.
  • OShine
    OShine
    Siméon, je n'ai pas trop compris pourquoi vous parlez des racines n-ièmes.

    Non en fait la réciproque est inutile ici, oubliez ma remarque, on cherche une condition nécessaire. A la fin on vérifiera que ces polynômes conviennent.
  • Siméon
    Siméon
    Tu ne peux pas démontrer ceci en général (voir mon message précédent).

    Ici cependant, on peut réparer l'argument en remarquant que $(a-1)^2$ aussi est racine, et donc $(a-1)^{2^n}$ aussi pour tout $n \geqslant 1$. Ton argument montre alors que, si $a$ et $a-1$ ne sont pas nuls, on a non seulement $|a| = 1$ mais aussi $|a-1| = 1$, ce qui ne laisse pas beaucoup de possibilités.
  • OShine
    OShine
    La suite. Si $a$ est racine alors $(a-1)^2$ est également racine. Je l'ai vérifié c'est direct.
    D'après ce qui précède on doit avoir $|a-1|=1$ ou $a=1$

    Par contre je ne comprends pas la suite. Donc $a \in \{0,1,-j,-j^2 \}$

    Comment on trouve $a=-j$ et $a=-j^2$ ?
  • Siméon
    Siméon
    OShine a écrit:
    Siméon, je n'ai pas trop compris pourquoi vous parlez des racines n-ièmes.

    Si $a$ est une racine $n$-ième de l'unité, que vaut $a^n$ ? Et si $n$ divise $2^{p-q}$ que vaut $a^{2^{p-q}}$ ?

    P.S. Ton but est-il de résoudre l'exercice ? ou seulement de comprendre un corrigé ligne à ligne ? C'est très différent...
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Si $p>q$ par exemple, on a $a^{2^p}-a^{2^q}=a^{2^{q}}(a^{2^{p-q}}-1)=a^{2^{q}}(a^2-1)(a^{2^{p-q-1}}+a^{2^{p-q-2}}+....................+a^2+1)$

    Cordialement,

    Rescassol
  • OShine
    OShine
    @Siméon
    J'ai abandonné l'idée de résoudre l'exercice seul.

    Si j'arrive à comprendre le corrigé c'est déjà bien.

    On a $a^n=1$
    Je ne comprends pas votre indication avec le $n$ divise $2^{p-q}$. Ça me semble encore plus obscure mon corrigé. Je ne comprends pas pourquoi vous parlez de racine n-ième.

    Bref, sinon je ne vois pas comment montrer que $a \in \{0,1,-j,-j^2\}$
  • OShine
    OShine
    Rescassol
    Je ne comprends pas pourquoi vous faites ça.

    On a si $a$ racine $|a|=1$ ou $a=0$. Puis $|a-1|=1$ ou $a=1$

    Comment en déduire que $a \in \{0,1-j,-j^2 \}$

    Si $|a|=1$ alors tous les nombres complexes de module 1 conviennent, pourquoi on garde que $0,1,-j,-j^2$ ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    :
    Si $|a|=1$, alors $a$ est sur le cercle de centre $0$ et de rayon $1$.
    Si $|a-1|=1$, alors $a$ est sur le cercle de centre $1$ et de rayon $1$.
    Fais un dessin et tu verras.

    Cordialement,

    Rescassol

    PS: Mon autre indication ne sert à rien, j'avais lu $\mathbb{R}[X]$ au lieu de $\mathbb{C}[X]$.
  • OShine
    OShine
    Oui je suis d'accord mais pourquoi le corrigé donne que 4 solutions ?
    Je trouve une infinité de solution qui vérifient $|a|=1$ ce sont tous les complexes de la forme $e^{i \theta}$ avec $\theta \in \R$...
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    On a $|a|=1$ et $|a-1|=1$, pas "ou".

    Cordialement,

    Rescassol
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    A part $a=0$ et $a =1,$ il n'y a que 2 possibilités $a=-j$ ou $a=-j^2.$
    En effet si $a\in C(0,1)$ on doit avoir aussi $a\in C(1,1), $

    c-à-d $a\in C(0,1)\cap C(1,1),$ autrement dit $a=-j$ ou $a=-j^2.$
     
  • OShine
    OShine
    Je ne comprends pas pourquoi c'est un ET.

    On a prouvé que :

    Si $a$ est racine alors $|a|=1$ ou $a=0$.
    Si $a$ est racine alors $|a-1|=1$ ou $a=1$.
  • OShine
    OShine
    En fait on a :

    $( |a|=1 \ \text{ou} \ a=0) \text{ET} \ ( |a-1|=1 \ \text{ou} \ a=1) $ ?

    Donc 4 cas :
    1/ $|a|=1$ et $|a-1|=1$
    2/ |a|=1 et $a=1$ ($a=1$)
    3/ $a=0$ et $|a-1|=1$ ($a=0$)
    4/ $a=0$ et $a=1$ (pas de solution)

    Pour le cas $1$ je suis obligé de passer par les équations de cercles ou il y a plus rapide ?

    $x^2+y^2=1$ et $(x-1)^2+y^2=1$
    Donc $(x-1)^2-x^2=0$ soit $x^2-2x+1-x^2=0$ donc $x=\dfrac{1}{2}$Ce sont les nombres complexes donc la partie réelle vaut 1/2.

    Mais je ne vois pas comment trouver leur écriture exponentielle.
  • bd2017
    bd2017
    Suppose que A implique B. Alors il y a 2 possibilités

    on a A et B

    ou alors

    on a ni A , ni B.
     
  • bd2017
    bd2017
    Tu cherches les complications.

    Les racines possibles autres que 0 et 1 sont à l'intersection des 2 cercles. Au maximum ces 2 cercles sont se coupent en 2 points. Il suffit de vérifier que $-j$ et $-j^2$ conviennent.
     
  • OShine
    OShine
    Oui mais sans le corrigé je n'aurais jamais su que c'est $-j$ et $-j^2$ , comment le démontrer ?

    Je ne comprends pas qui est votre A et votre B. De quelle implication parlez vous ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Faut pas pousser !!!
    Tu ne sais pas résoudre $x^2+y^2=1$ quand $x=\dfrac{1}{2}$ ?
    Tu ne sais pas passer d'une forme algébrique à une forme exponentielle ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • bd2017
    bd2017
    OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1964404,1964546#msg-1964546
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    L'exemple que je donne c'est pour expliquer ton erreur où tu as mis un "ou" à la place d'un ''et''.
     
  • OShine
    OShine
    OK je vais essayer de finir le calcul avec les modules.

    Mais je n'ai pas compris l'histoire du ET.
  • bd2017
    bd2017
    Rescassol &écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1964404,1964518#msg-1964518
    C'est en réponse à cette remarque.
     
  • OShine
    OShine
    J'ai résolu l'équation et je trouve $z_1=\exp \dfrac{i \pi}{3}=-j^2$ et $z_1=\exp \dfrac{-i \pi}{3}=-j$

    On a montré :

    Si $a$ est racine alors $|a|=1$ ou $a=0$.
    Si $a$ est racine alors $|a-1|=1$ ou $a=1$.

    Comment vous en déduisez que c'est $|a|=1$ ET $|a-1|=1$.

    Je n'ai pas compris ce détail.
  • OShine
    OShine
    J'ai aussi une autre question :

    On montre que $P$ s'écrit sous la forme : $P(X)=\lambda X^p (X-1)^q$

    Je cherche des conditions sur $p$ et $q$ pour qu'il vérifie l'équation je tombe sur :

    $\lambda X^{2p} (X-1)^q (X+1)^q = -\lambda^2 X^{p+q} (X-1)^q (X+1)^p X^p$

    On sent qu'on aura $\lambda=-1$ et $p=q$ mais comment le démonter rigoureusement ?
  • bd2017
    bd2017
    Faut d'abord expliquer ce que tu fais les racine $-j$ et $-j^2$
     
  • OShine
    OShine
    $-j$ et $-j^2$ ne vérifient pas $(a-1)^2 \in \{0,1,-j,-j^2 \}$

    Comme $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$ on en déduit $(-j-1)^2=(j+1)^2=(-j^2)^2=j^4=j$ et $(-j^2-1)^2=(j^2+1)^2=(-j)^2=j^2$

    Donc $-j$ et $-j^2$ ne sont pas racines du polynôme.

    Je n'ai toujours pas compris l'histoire du ET/OU :-(
  • Siméon
    Siméon
    Pour déterminer les valeurs de $\lambda,p,q$ tu peux utiliser l'unicité de la décomposition en produit d'irréductibles dans $K[X]$, ou simplement remarquer que les polynômes en jeu sont premiers entre eux et utiliser le lemme de Gauss.

    Qu'est ce que tu ne comprends pas pour l'histoire du ET/OU ? Je résume avec des implications :
    On sait que $a \neq 0 \implies |a| = 1$.
    On sait que $a \neq 1 \implies |a-1| = 1$.
    On en déduit $(a \neq 0 \text{ et } a\neq 1) \implies (|a| = 1 \text{ et } |a-1|=1)$.
  • bd2017
    bd2017
    Il faut finir par identification.
     
  • OShine
    OShine
    Ok je vois. L'unicité c'est plus rapide.

    Je viens aussi de comprendre l'histoire du OU/ET.

    Merci bien (:D
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