Nombres complexes

Pour le 3, sans perte de generalite on suppose que $a,b,c$ sont les racines de l'unite. On se convainct facilement que le maximum est atteint sur $z=2e^{i\theta}$ et par symetrie qu'il suffit de considerer l'intervalle $0\leq \theta\leq \pi/3.$ Apres cela tu a a maximiser $$\theta\mapsto |2e^{i\theta}-1|^2|2e^{i\theta}-j|^2|2e^{i\theta}-\overline{j}|^2$$ que tu peux exprimer comme un polynome en $t=\cos \theta$ de degre 3. C'est un peu lourd et il doit y avoir des astuces geometriques qui donnent un plus jolie methode.

Bonjour,

Pour le 4., on note $a,b,c$ trois complexes tels que $|a-i \sqrt{3}|=|b-i\sqrt{b}|=|c-i\sqrt{3}|=1$ et $3a+i\sqrt{3}=2b+2c.$

On sait qu’il existe $x$ réel tel que $c-i\sqrt{3}=(b-i\sqrt{3})e^{i x}.$

On reporte dans l’équation pour obtenir $a-i\sqrt{3}=(b-i \sqrt{3}){2\over 3}(1+e^{i x}).$

On en déduit par la formule du demi-angle $|{4\over 3}\cos {x\over 2}|=1.$

L’identité $\cos x=2\cos^2{x\over 2}-1$ donne $\cos x={1\over 8}$ et $\sin x=\pm {3\sqrt{7}\over 8}.$

Voilà !

Yves M,(tu) j'ai honte de ma contribution.