Théorie des catégories et nombres réels
Bonjour,
désolé je pense poser une question très mal définie, et je m'en excuse.
La théorie des catégories me semble donner une formalisation de notions algébriques et topologiques. Mais je me demande ce qu'il en est pour l'aspect différentiel.
Est-ce qu'on peut rendre compte de manière catégorique des aspects différentiels en construisant les réels, et en formalisant les infinitésimaux dans le cadre des catégories ?
En vous remerciant,
ignatus.
désolé je pense poser une question très mal définie, et je m'en excuse.
La théorie des catégories me semble donner une formalisation de notions algébriques et topologiques. Mais je me demande ce qu'il en est pour l'aspect différentiel.
Est-ce qu'on peut rendre compte de manière catégorique des aspects différentiels en construisant les réels, et en formalisant les infinitésimaux dans le cadre des catégories ?
En vous remerciant,
ignatus.
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Réponses
Il y a un cadre qui s'appelle la "géométrie différentielle synthétique" (cela dit je ne sais pas si tu auras beaucoup de succès en cherchant ça en français, je te suggèrerais plutôt "synthetic differential geometry") qui consiste en l'axiomatisation d'un cadre catégorique satisfaisant pour faire de la géométrie différentielle avec des infinitésimaux.
On oublie tout ce qui est cartes etc. : on a un topos ( = une catégorie avec plein de propriétés sympa, dans laquelle on peut travailler à peu près comme avec des ensembles) avec un objet-anneau $R$ dedans, qui joue le rôle des réels, sauf que $D:=\{d \in R\mid d^2=0\}$ n'est pas $\emptyset$ (attention c'est un topos donc a priori pas de logique classique dedans, en particulier on ne peut pas dire non plus que $\exists d\in R, d \in D$ : $D$ n'est pas vide, mais a priori pas habité), qui vérifie des propriétés sympas comme : $\forall a,b\in R, (\forall d\in D, ad = bd)\implies a=b$ (cette propriété permet, entre autres, de définir la dérivée d'une fonction $f:R\to R$ quelconque).
Dans ce cadre tu peux définir plein de trucs, et notamment tu peux définir des "variétés" (attention, dans ce cadre "être une variété" devient une propriété, pas une structure !) - et on peut prouver plein de résultats de géométrie différentielle, la seule chose c'est qu'il faut faire attention à raisonner en logique intuitionniste et pas classique, donc pas de tiers exclu, pas de raisonnement par l'absurde.
ça peut paraître un peu bizarre et on pourra se dire "quel est le rapport avec la vraie géométrie différentielle ?"; sauf qu'il s'avère qu'il y a des modèles de ça (comprendre "des topos munis d'un anneau $R$ vérifiant toutes les propriétés nécessaires pour que la théorie se passe bien") qui sont basés sur les "vraies" variétés, et donc avec un peu d'agilité on peut transférer des résultats de ce cadre vers le cadre usuel : donc prouver, en utilisant des infinitésimaux (au sens $d^2= 0$, ou plus généralement $d^n=0$), des résultats sur la vraie géométrie différentielle (celle qui parle de cartes et tout)
Est-ce que c'est en lien avec ta question ?
Je ne savais pas qu'on pouvait formuler la géométrie différentielle dans le cadre des topos.Il va falloir que je reprenne la discussion avec l'ancien fil que j'avais ouvert sur la géométrie différentielle et la géométrie algébrique. Il m'avait semblé qu'il était très difficile de transférer les propriétés de la géométrie différentielle dans le cadre de la géométrie algébrique.
Du coup, la question qui se pose est : dans le cadre des topos, peut-on réécrire toute la géométrie algébrique et la géométrie différentielle, de sorte que pour traduire une propriété différentielle en une propriété algébrique, et vice versa, il suffirait de passer par les topos ?
ignatus.
ignatus.
Je ne sais pas répondre à ta question (celle de la fin de ta première réponse)
Pour ta deuxième réponse, il faut que tu précises : de quels groupes de (co)homologie parles-tu ?
ignatus.
C'est vrai que je ne sais pas trop ce qu'est un infinitésimal. J'avais lu quelque part que les infinitésimaux de Leibniz n'étaient las les mêmes que ceux de Newton, et que l'analyse non standard donnait une bonne idée de ce qu'étaient les infinitésimaux à cette époque.
ignatus.