Produit de fonctions polynomiales

Bonjour,
je dois travailler une preuve du théorème fondamentale de l'algèbre qu'un professeur m'a donné et je bloque sur un point, depuis hier soir, que j'aimerais mieux détailler dans la démonstration.

Soit f=a₀.Xⁿ+a₁.X^n-1+...+a_n dans C[X]
et f_barre la fonction polynomiale conjuguée de f.
On note g=f.f_barre qui a tout ses coefficient réels.
Pour trouver une racine de f il suffit alors de trouver une racine de g, en effet f(x).f_barre(x)=0, donc f(x)=0 ou f_barre(x)=0 donc f(x_barre)=0.

C'est ce dernier point qui me pose soucis, pourquoi f(x)=0 ou f_barre(x)=0 implique f(x_barre)=0.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et désolé pour la notation douteuse du conjugué dans ce post !