Représentation matricielle d'un endomorphisme

Fousson
Fousson
dans Algèbre
Bonjour
Petite question basique.

Quand on veut représenter matriciellement un endomorphisme, on pourrait dans l'absolu utiliser 2 bases différentes comme pour toute application linéaire (bases de départ et d'arrivée).
Néanmoins, dans mon cours et sur internet, on suppose que l'on conserve la même base pour l'espace d'arrivée et de départ.
Ceci me bloque dans le concept de diagonalisation : u est diagonalisable s'il existe une base dans laquelle elle s'écrit sous forme de matrice diagonale. Cette définition semble sous entendre qu'on utilise une seule base. Sinon, je pense que n'importe quel endomorphisme pourrait s'écrire sous forme diagonale si on utilise des bases différentes pour l'espace de départ et d'arrivée.
La représentation matricielle d'un endomorphisme suppose-t-elle l'utilisation d'une seule base ?
Merci pour ma question qui doit vous sembler bien bête.

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Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pour représenter un endomorphisme on utilise habituellement une seule base (la même à l'arrivée et au départ) puisqu'on a un seul espace.
    En tout cas, quand on diagonalise une matrice carrée, on fait bien sûr le même changement de base à l'arrivée et au départ.

    Pour t'embrouiller un petit peu, il existe tout de même des situations où on représente un endomorphisme avec des bases différentes du même espace pour l'arrivée et le départ. C'est le cas par exemple pour la matrice de passage de la base $B$ à la base $C$ que l'on peut définir comme la matrice de l'endomorphisme identité avec la base $C$ au départ et la base $B$ à l'arrivée.
  • Fousson
    Fousson
    Merci. Effectivement le cas de la matrice de passage qui est un endomorphisme m'avait embrouillé. Je vais maintenant travailler sur la question suivante : tout endomorphisme peut-il s'écrire sous la forme d'une matrice diagonale si l'on choisit des bases différentes et adéquates. Si oui, qu'elles sont ces bases ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux même montrer que si on a le choix des bases à l'arrivée et au départ, toute application linéaire entre espaces de dimension finie a une représentation matricielle diagonale avec uniquement des 0 ou des 1 sur la diagonale. Penser en termes de noyau et d'image de l'application linéaire.
  • Fousson
    Fousson
    Ok merci beaucoup, je travaille dessus et apporterai les résultats d'ici quelques jours. Merci encore pour l'aide.
  • bisam
    bisam
    Fousson : si on utilise la même base $e$ au départ et à l'arrivée pour représenter un endomorphisme, c'est pour que l'application $\Phi :u\mapsto Mat(u,e,e)$ soit non seulement une application linéaire (comme toujours), mais aussi un morphisme d'anneaux, c'est-à-dire que $\Phi$ envoie une composée d'endomorphismes sur le produit des matrices correspondantes.
    Cette propriété n'est pas du tout vérifiée si on n'a pas les mêmes bases au départ et à l'arrivée.
  • Fousson
    Fousson
    Voici une ébauche de démonstration concernant le message de GaBuZoMeu :"tu peux même montrer que si on a le choix des bases à l'arrivée et au départ, toute application linéaire entre espaces de dimension finie a une représentation matricielle diagonale avec uniquement des 0 ou des 1 sur la diagonale. Penser en termes de noyau et d'image de l'application linéaire."

    Notons u l'application vectorielle de E vers F, avec dim (E) =n et dim(F) =P.

    Notons G le supplémentaire de Ker(f) ( il existe car on est en dimension finie) donc E = G+ Ker(f) (somme directe)

    On sait aussi que G et isomorphe à Im(u) donc dim(G) = r rang(u)

    Le but est d'utiliser la décomposition E = G+ Ker(f) pour la base de départ B1 qui sera l'union d'une base de G et de Ker (f)

    Pour base d'arrivée, je prends l'image de G par u (qui est bien libre) que je complète de p-r éléments pour obtenir la base B2 de F

    Dans ces bases, la matrices de u est une matrices de r diagonales à 1 et le reste à 0.

    Est ce que mon idée est correcte ? Sinon, qu'est ce qui vous semblent faux/peu claire pour que je réfléchisse dessus.

    Merci pour ton message Bissam, ça m'ouvre de nouvelles réflexions.
  • Fousson
    Fousson
    En fait, je me rends compte que ce résultat est assez puissant car il crée une partition, via la relation d'équivalence " matrice équivalente", des applications linéaires en dimension fini. Si on prend une application au hasard, alors elle est forcément équivalente à l' une des matrices mentionnées supra, qui sont de nombre fini ( je calcule max(n;p)+1 avec n et p la dimension des ev de départ et d'arrivée).

    Mais je m'interroge sur la porté de ce résultat, que signifie en pratique que 2 matrices sont équivalentes ? Certes, qu' elles peuvent représenter la même application si on choisi bien les bases. Mais si les bases sont déjà choisies, le seul point commun entre les applications linéaires correspondantes serait la même dimension du noyau ( ou le même rang, ce qui est le même)

    Et il est alors assez trivial de partitionner les matrices par les dimensions de leur noyau.

    Est ce que je me trompe?
    Merci pour vos réponses.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ben oui, le rang est un invariant complet pour l'équivalence des matrices de taille donnée, à coefficients dans un corps : deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

    On peut regarder d'autres relations d'équivalence sur les matrices. Par exemple, la congruence des matrices symétriques réelles. Ici, l'invariant complet est la signature.

    On peut aussi s'intéresser à la similitude. Un truc marrant d'ailleurs : deux matrices carrées $M$ et $N$ de taille $n$ sont semblables (sur le corps $k$) si et seulement si les matrices $XI_n-M$ et $XI_n-N$ sont équivalentes (sur l'anneau $k[X]$). Et on a un système complet d'invariants : les invariants de similitude (des polynômes dans $k[X]$), ainsi qu'une forme normale (la forme normale de Smith), qui est un peu plus compliquée que la mise sous forme diagonale avec des 0 et des 1 sur la diagonale, mais en fait la généralisation de ceci quand on travaille sur un anneau principal (comme $k[X]$ ou $\mathbb Z$) au lieu d'un corps.
  • Fousson
    Fousson
    Merci beaucoup pour ces développements. J'étudie cela, si ce n'est pas trop compliqué pour mon niveau.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne sais pas quel est exactement ton niveau. Je crains que le dernier paragraphe de mon précédent message soit un peu too much.
    Par contre, si tu as vu des choses sur les formes quadratiques, (décomposition en carrés de Gauss et signature), le deuxième paragraphe devrait aller.
  • Fousson
    Fousson
    Pour mon niveau : Il y a plus de 10 [ans] j'ai fait une prépa. Je n'étais pas très bon voir j'étais nul. Ma vie a pris alors un autre chemin et j'en suis très content. Mais depuis peu, j'essaie de revenir vers les maths, en prenant une sorte de revanche personnelle, pour me prouver que je suis capable de comprendre et d'avoir le niveau que j'aurais voulu avoir il y a 10 ans...
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