Inversion d'un produit de matrices pxq

haucian
haucian
dans Algèbre
Bonjour,

Je soumets ce petit problème à la sagacité de fans d'algèbre.

Je considère une matrice A de réels, de rang p, symétrique définie positive, donc inversible
Je considère B une matrice de réels taille q x p
J'ai une contrainte qui m'assure que B.A.t(B) est symétrique, définie positive et inversible

J'aimerais faire un lien d'égalité entre det(A) et det(B.A.t(B))

Si B est carrée et inversible, c'est facile : det(A) = det(B.A.t(B)) / det(B)^2

Pourrait-on obtenir des conditions plus générales sur B pour obtenir ou généraliser la relation précédente ?

Si vous avez une réponse, je vous en remercierai !

Très cordialement,

Haucian

Réponses

  • Alceste
    Alceste
    Bonjour,
    Je suppose que le cas q > p est exclu, car alors la matrice B.A.BT n'est pas inversible, n'est-ce pas?
    Cordialement.
  • haucian
    haucian
    Effectivement, il faut l'exclure ! Merci d'avoir remarqué cela

    Bien cordialement
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu as la formule de Cauchy-Binet qui donne une idée de ce que peut être $\det(AB)$ lorsque $A,B$ ne sont pas carrées. Je ne sais pas si c'est très utile ici, mais ça peut être une piste à explorer.
  • haucian
    haucian
    Oui, je la connaissais, mais je ne la trouve pas vraiment idéale (elle me semble manquer de "beauté", justement).
    Je pense que dans certaines circonstances, on doit avoir des résultats du type "produit scalaire" qui doivent simplifier l'écriture, mais je n'arrive pas à trouver si c'est possible ou non...
    Merci en tout cas !
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