Un groupe fini pas banal ?
dans Algèbre
$\def\S{\mathfrak S}\def\PGL{\text{PGL}}\def\PSL{\text{PSL}}\def\PG{\text{P}\Gamma\text{L}}\def\F{\mathbb F}$Hello
Je vais parler d'un groupe fini $G$ ``assez connu''. Pour ne pas tout dévoiler tout de suite, je vais le définir comme groupe d'automorphismes d'un graphe (simple, non orienté) dit Tutte's 8-cage.
Vont intervenir les parties à 2 éléments de $\{1 .. 6\}$ : il y en a $\binom{6}{2} = 15$. Les voici de manière schématique
Les voici : 8 d'abord, 7 ensuite. En vrac pour l'instant. Il va falloir que je les range de manière pertinente mais pour l'instant je ne sais pas comment.
2) Que sait-on montrer ? De mon côté, quasiment rien.
Je vais parler d'un groupe fini $G$ ``assez connu''. Pour ne pas tout dévoiler tout de suite, je vais le définir comme groupe d'automorphismes d'un graphe (simple, non orienté) dit Tutte's 8-cage.
Vont intervenir les parties à 2 éléments de $\{1 .. 6\}$ : il y en a $\binom{6}{2} = 15$. Les voici de manière schématique
[color=#000000]> White ;
{@ 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56 @}
[/color]
Vont intervenir également les 2-2-2-partitions $p$ de $\{1..6\}$ i.e. les partitions en 3 parties de cardinal 2 comme par exemple $\{\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}$. Il y en a également $N=15$. Il y a plusieurs manières de se convaincre du fait que $N=15$. Par exemple, en considérant le graphe biparti ayant comme sommets, d'un côté les 15 parties $\{i,j\}$ de cardinal 2 et de l'autre côté les $N$ 2-2-2 partitions $p$ avec une arête entre $\{i,j\}$ et $p$ si $\{i,j\} \in p$. C'est un graphe régulier de degré 3 : toute 2-2-2-partition contient 3 parties de cardinal 2 et toute partie de cardinal 2 appartient à trois 2-2-2 partitions; donc $N = 15$.Les voici : 8 d'abord, 7 ensuite. En vrac pour l'instant. Il va falloir que je les range de manière pertinente mais pour l'instant je ne sais pas comment.
[color=#000000]> Black[1..8] ;
{@ 14-26-35, 15-26-34, 13-26-45, 12-36-45, 14-23-56, 16-25-34, 14-25-36, 15-24-36 @}
> Black[9..15] ;
{@ 13-24-56, 12-34-56, 12-35-46, 16-24-35, 15-23-46, 16-23-45, 13-25-46 @}
[/color]
Le graphe biparti en question : c'est lui le Tutte's 8-cage. Pour faire plus joli j'ai attaché un dessin. Pas seulement pour faire joli : il est mentionné que l'on y voit un automorphisme involutif.
[color=#000000]> WhiteBlackEdges := {@ {w,p} : w in White, p in Black | w in p @} ;
> Tutte8Cage := Graph < White join Black | WhiteBlackEdges > ;
> Tutte8Cage ;
Graph
Vertex Neighbours
12 12-36-45 12-34-56 12-35-46 ;
13 13-26-45 13-24-56 13-25-46 ;
14 14-26-35 14-23-56 14-25-36 ;
15 15-26-34 15-24-36 15-23-46 ;
16 16-25-34 16-24-35 16-23-45 ;
23 14-23-56 15-23-46 16-23-45 ;
24 15-24-36 13-24-56 16-24-35 ;
25 16-25-34 14-25-36 13-25-46 ;
26 14-26-35 15-26-34 13-26-45 ;
34 15-26-34 16-25-34 12-34-56 ;
35 14-26-35 12-35-46 16-24-35 ;
36 12-36-45 14-25-36 15-24-36 ;
45 13-26-45 12-36-45 16-23-45 ;
46 12-35-46 15-23-46 13-25-46 ;
56 14-23-56 13-24-56 12-34-56 ;
14-26-35 14 26 35 ;
15-26-34 15 26 34 ;
13-26-45 13 26 45 ;
12-36-45 12 36 45 ;
14-23-56 14 23 56 ;
16-25-34 16 25 34 ;
14-25-36 14 25 36 ;
15-24-36 15 24 36 ;
13-24-56 13 24 56 ;
12-34-56 12 34 56 ;
12-35-46 12 35 46 ;
16-24-35 16 24 35 ;
15-23-46 15 23 46 ;
16-23-45 16 23 45 ;
13-25-46 13 25 46 ;
[/color]
Son groupe $G$ d'automorphismes. Je commence par donner son cardinal.
[color=#000000]> time G := AutomorphismGroup(Tutte8Cage) ; Time: 0.000 > #G ; 1440 [/color]$G$ contient 3 sous-groupes d'indice 2 dont un seul isomorphe au groupe symétrique $\S_6$.
[color=#000000]> Index2 := Subgroups(G : IndexEqual := 2) ; > #Index2 ; 3 > H := [data`subgroup : data in Index2] ; > > [IsIsomorphic(Hi, S6) : Hi in H] ; [ true, false, false ] > H1, H2, H3 := Explode(H) ; [/color]La distribution des ordres des éléments de $G \setminus H_1$ où $H_1 \subset G$ est l'unique sous-groupe isomorphe à $\S_6$.
[color=#000000]> {* Order(g) : g in G | g notin H1 *} ;
{* 2^^36, 4^^180, 8^^360, 10^^144 *}
[/color]
Il se trouve que $G$ se réalise comme un sous-groupe transitif de $\S_{10}$. Je n'arrive pas à pointer sur le vieux papier de Butler & McKay qui contient la classification des groupes transitifs de degré $\le 11$. Je pense que le 10 est lié à la droite projective sur $\F_9$.
[color=#000000]> T10 := TransitiveGroups(10) ; > #T10 ; 45 > I := [j : j in [1..#T10] | #T10[j] eq 1440] ; > I ; [ 35 ] > j := I[1] ; > ok, iso := IsIsomorphic(G, T10[j]) ; > ok ; true [/color]1) Quel est ce groupe $G$ ? Note : il est parfois désigné par $\PG(2,\F_9)$ mais peu connu sous ce nom là.
2) Que sait-on montrer ? De mon côté, quasiment rien.
Réponses
-
Je n'ai pas le niveau pour dire quoi que ce soit sur ce groupe, mais, par rapport au dessin... je trouve triste que les intersections au niveau des pointes de l'étoile ne soient pas toutes confondues en une seule.
-
Salut Claude,
$G$ aurait-il six $5$-Sylow ?
Je ne vois pas du tout pourquoi $\#G=1440$. -
Salut Claude
Voilà comment je vois ce graphe $\mathcal G=(X,E)$ et son groupe $G$ d'automorphismes.
J'appelle $A$ l'ensemble des transpositions de $\mathfrak S_6$ et $B$ celui de ses triple-transpositions. Alors $$X=A\cup B, \quad E=\Big\{ \{a,b\} \mid a\in A, \: b\in B, \:ab =ba \Big\}.$$
$\text{Aut} (\mathfrak S_6 )$ est connu pour agir sur $X$, soit en stabilisant $A$ et $B$ (automorphismes intérieurs) , soit en induisant une involution entre $A$ et $B$ (automorphismes extérieurs), et ce, en préservant les éléments de $E$.
On a alors: $\:\: \text{Aut}(\mathfrak S_6) \subset G.\quad $L'égalité $\# G = \# \text{Aut}(\mathfrak S_6 )= 1440$ entraîne : $\boxed{G= \text{Aut}(\mathfrak S_6).}$
$G$ est donc, entre autres choses, un produit semi-direct de $\mathfrak S_6$ par $\Z/2\Z.$ -
$\def\S{\mathfrak S}\def\A{\mathfrak A}\def\PGL{\text{PGL}}\def\PSL{\text{PSL}}\def\PG{\text{P}\Gamma\text{L}}\def\F{\mathbb F}\def\Aut{\text{Aut}}\def\Perm{\text{Perm}}\def\calM{\mathcal M}$Salut Gai-requin.
$\bullet$ Le groupe $G$ en question, c'est une version de $\Aut(\S_6)$ : $6 ! = 720$ automorphismes intérieurs et 720 automorphismes non intérieurs. Je tiens cela de https://arxiv.org/abs/1412.1855 et pour l'instant, je suis loin d'avoir tout compris.
Cela fait pas mal de temps que j'essaie de comprendre la structure des automorphismes non intérieurs de $\S_6$. La plupart du temps, on se contente de dire que le groupe extérieur $\Aut(S_6)/\S_6$ est d'ordre 2 (au quotient, il s'agit des automorphismes intérieurs). Mais cela ne dit rien par exemple de l'action (par conjugaison) de $\S_6$ sur l'ensemble des automorphismes non intérieurs (elle n'est pas transitive par exemple : les automorphismes non intérieurs de $\S_6$ n'ont pas même ordre).
$\bullet$ Au lieu de considérer les 15 parties de cardinal 2 de $\{1..6\}$ et les 15 2-2-2 partitions, j'aurais dû considérer l'ensemble $T_1$ des 15 transpositions $\tau$ de $\S_6$ et l'ensemble $T_3$ des 15 triple-transpositions $\sigma$ de $\S_6$. Si bien que $T_1 \cup T_3$ est l'ensemble des 30 permutations impaires de $\S_6$ d'ordre 2. Et on met une arête entre $\tau$ et $\sigma$ si $\tau$ ``figure comme on le pense dans'' $\sigma$, ce qui équivaut (facile) à $\tau \circ \sigma$ est d'ordre 2. Donc le graphe Tutte's 8-cage est $\S_6$-groupiste i.e. se définit de manière groupiste.[color=#000000]> T1 ; {@ (2, 3), (1, 2), (3, 4), (2, 4), (1, 3), (4, 5), (2, 5), (3, 5), (1, 4), (5, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (1, 5) @} > T3 ; {@ (1, 4)(2, 5)(3, 6), (1, 5)(2, 3)(4, 6), (1, 5)(2, 4)(3, 6), (1, 3)(2, 6)(4, 5), (1, 2)(3, 5)(4, 6), (1, 5)(2, 6)(3, 4), (1, 4)(2, 6)(3, 5), (1, 2)(3, 4)(5, 6), (1, 3)(2, 5)(4, 6), (1, 6)(2, 4)(3, 5), (1, 6)(2, 3)(4, 5), (1, 3)(2, 4)(5, 6), (1, 2)(3, 6)(4, 5), (1, 6)(2, 5)(3, 4), (1, 4)(2, 3)(5, 6) @} > Tutte8Cage := Graph < T1 join T3 | {@ {tau, sigma} : tau in T1, sigma in T3 | Order(tau*sigma) eq 2 @} > ; [/color]
$\bullet$ On fixe une transposition $\tau_0$, par exemple $\tau_0 = (1,2)$. Soit $\theta \in \Aut(\S_6)$. Par unicité du groupe alterné $\A_6$, on a $\theta(\A_6) = \A_6$ donc $\theta$ est compatible avec la signature si bien que $\theta(\tau_0)$ est une permutation impaire d'ordre 2. Ou bien c'est une transposition et alors $\theta$ transforme toute transposition en une transposition, auquel cas $\theta$ est intérieur. Ou bien, $\theta(\tau_0)$ est une triple transposition et alors $\theta$ transforme toute transposition en une triple transposition (et réciproquement), auquel cas $\theta$ n'est pas intérieur.
Et du coup, $\theta$ définit un automorphisme du graphe de Tutte. Avec conservation de la couleur (sommets blancs, sommets noirs) si et seulement si $\theta$ est intérieur. Si bien que l'on a un morphisme $\Aut(\S_6) \to G$. Pour l'instant, je ne vois pas pourquoi c'est un isomorphisme.
$\bullet$ Ce n'est quand même pas banal de visualiser un automorphisme involutif non intérieur de $\S_6$. C'est pourtant ce que dit la figure attachée (symétrie par rapport à un axe vertical central dit l'auteur).
$\bullet$ Les sous-groupes d'indice 2 de $\Aut(S_6)$. Si on croit en certaines choses, en particulier à l'existence d'un automorphisme involutif non intérieur $\Theta$ de $\S_6$, on a un produit semi-direct $\Aut(\S_6) = \S_6 \rtimes \langle\Theta\rangle = \S_6 \rtimes C_2$. Ceci explique pourquoi il y a 4 caractères :
$$
\chi : \Aut(\S_6) \to \{\pm 1\}
$$Par noyau, pour les 3 caractères non triviaux, on obtient 3 sous-groupes d'indice 2 de $\Aut(\S_6)$ :
$$
\S_6, \qquad\qquad \PGL(2, \F_9), \qquad \qquad M_{10} \quad \text{(je ne sais pas qui est ce dernier groupe)}
$$Rappel : le groupe $\PGL(2, \F_q)$ est d'ordre $q(q^2 - 1)$, donc d'ordre 720 pour $q = 9$. Le groupe $\PGL(2,\F_9)$ n'est pas isomorphe à $\S_6$ mais ils ont même groupe d'automorphismes : $\Aut(\S_6) \simeq \Aut(\PGL(2,\F_9)) =_{\rm def} \PG(2, \F_9)$. Voilà pourquoi $\S_6$ et $\PGL(2, \F_9)$ se retrouvent (automorphismes intérieurs) dans ce groupe d'ordre $2 \times 720$.
$\bullet$ L'abélianisé de $\Aut(\S_6)$ est $C_2 \times C_2$. Pas encore clair pour moi.
C'est dans $\S_5$, qu'il y a 6 sous-groupes d'ordre 5 : l'ensemble des 5-Sylow = l'ensemble $\calM$ des maisons. J'attache un dessin. Si bien que l'on a un plongement $\S_5 \to \Perm(\calM) \simeq \S_6$. Si on note $\Sigma_5$ son image, on obtient un sous-groupe de $\S_6$ qui opère de manière 3-transitive stricte. C'est lié à l'action de $\PGL(2, \F_5)$ sur la droite projective sur $\F_5$ de cardinal 6.
On peut faire opérer (transitivement) $\Perm(\calM)$ sur l'ensemble $X$ des classes à gauche $(\Perm(\calM)/\Sigma_5)_g$. Si bien que (attention, prise de tête) :
$$
\Perm(\calM) \to \Perm(X) \qquad X = \left( {\Perm(\calM) \over \Sigma_5 }\right)_g
$$
Et comme $\Sigma_5$ est d'indice 6, cela finit par nous donner un isomorphisme pas banal du type $\S_6 \to \S_6$, producteur d'automorphismes non intérieurs.
On avait essayé de bien cerner tout cela, il y a deux ans je crois in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1467436,1467436#msg-1467436. Mais cela n'avait pas abouti car certains participants n'étaient pas assez disciplinés. -
Merci Claude,
Oui, je connais le coup des six maisons qui permettent de produire théoriquement un automorphisme non intérieur de $\mathfrak S_6$.
Mais tout de même, dans le groupe $G$ qui t'intéresse, n'y a-t-il pas aussi six $5$-groupe de Sylow ? -
Le groupe $\newcommand{\e}{\varepsilon}\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}_2(\F_9)$ est défini comme le groupe des transformations de la forme \[z\mapsto \frac{a\sigma^\e(z)+b}{c\sigma^\e(z)+d}\quad\text{où}\ a,b,c,d\in\F_9,\ ad-bc\ne0,\ \e\in\Z/2\Z,\]et où $\sigma:z\mapsto z^3$ est l'élément non trivial (d'ordre $2$) du groupe de Galois de $\F_9/\F_3$. Si on remplace $\F_9$ par $\C$ et $\sigma$ par la conjugaison complexe, on retrouve le groupe qui gouverne la géométrie anallagmatique, engendré par les inversions $z\mapsto k/\overline{z-z_0}$. C'est un produit semi-direct $\mathrm{PGL}_2(\F_9)\rtimes\Z/2\Z$, où $\Z/2\Z$ agit sur les coefficients de l'homographie (de la classe de la matrice) via $\sigma$.
Dans ce groupe, qui est d'ordre $2\cdot6!$, un sous-groupe normal saute aux yeux : $\mathrm{PSL}_2(\F_9)$, qui se trouve être isomorphe au groupe simple $\mathfrak{A}_6$. Le quotient est isomorphe à $(\Z/2\Z)^2$ et en fait, $\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}_2(\F_9)$ est un produit semi-direct. On peut pointer deux automorphismes extérieurs de $\mathrm{PSL}(2,9)$ : la conjugaison par $\gamma=\left[\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right]$ et $\sigma$ déjà mentionné. L'un des deux groupes $\mathrm{PSL}_2(\F_9)\rtimes\langle\sigma\rangle$ et $\mathrm{PSL}_2(\F_9)\rtimes\langle\gamma\sigma\rangle$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_6$, en tout cas $\mathrm{PGL}_2(\F_9)=\mathrm{PSL}_2(\F_9)\rtimes\langle\gamma\rangle$ ne l'est pas. En fait, $\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}_2(\F_9)$ est isomorphe au groupe des automorphismes de $\mathfrak{A}_6$.
L'action sur dix points est l'action naturelle sur $\mathbf{P}^1(\F_9)$ en effet.
Claude a expliqué comment réaliser une configuration « en termes de $\mathfrak{S}_6$ » à partir des paires de $\{1,\dots,6\}$ et des partitions en trois paires. En passant, la coïncidence numérique $\binom{6}2=15=\frac{1}{3!}\binom{6}{2}\binom{4}2$, qui exprime qu'il y a autant de transpositions que de triples-transpositions dans $\mathfrak{S}_6$, permet à $\mathfrak{S}_6$ d'avoir des automorphismes extérieurs (qui échangent ces deux classes de conjugaison).
Cette configuration est la configuration de Cremona-Richmond. Elle est constituée de 15 points, 15 droites, chaque droite contient 3 points et par chaque point passent 3 droites. Il se trouve qu'on peut représenter cette configuration combinatoire par de vraies droites et de vrais points dans le plan (figure). Si on représente les droites (resp. les points) par des points blancs (resp. noirs) et qu'on met une arête quand le point est sur la droite, on obtient la « cage de Tutte », qui est donc le « graphe de Levi » de la configuration.
C'est un peu tortueux de voir pourquoi $\mathrm{PSL}_2(\F_9)$ est isomorphe à $\mathfrak{A}_6$.
PS : deux coquilles corrigées. -
$\def\S{\mathfrak S}\def\A{\mathfrak A}\def\PGL{\text{PGL}}\def\PSL{\text{PSL}}\def\PG{\text{P}\Gamma\text{L}}\def\F{\mathbb F}\def\Aut{\text{Aut}}\def\Perm{\text{Perm}}\def\calM{\mathcal M}\def\Sp{\text{Sp}}\def\calT{\mathcal T}$
Gai-Requin
Il y a 36 5-Sylow dans le groupe $\Aut(\S_6)$.
Lou16.
On a pensé à la même chose. Je n'ai pas lu l'article ``The exceptional symmetry'' (Jon McCammond) que j'ai pointé in https://arxiv.org/abs/1412.1855. Juste parcouru pour en extraire le dessin du graphe Tutte's 8-cage. Deux questions.
I. Vois tu pourquoi un automorphisme du graphe induit un automorphisme de $\S_6$ i.e. pourquoi $\Aut(\S_6) \to G$ est surjectif ? Et tant qu'à faire, pourquoi $\Aut(\S_6) \to G$ est injectif (donc un isomorphisme) ? Sans utiliser les cardinaux.
II. Retour à l'existence d'un automorphisme non intérieur de $\S_6$ et donc de 720 automorphismes non intérieurs. Je conserve les notations de la fin de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1965898,1966232#msg-1966232. En particulier, $\calM$ désigne l'ensemble des six 5-Sylows de $\S_5$ et $\Sigma_5 \subset \Perm(\calM)$ le sous-groupe isomorphe à $\S_5$ image de l'action par conjugaison de $\S_5$ sur $\calM$.
C'est facile de voir que $\Sigma_5$ agit de manière 3-transitive stricte sur $\calM$. Il suffit de fixer 3 ``maisons'' $a,b,c$ i.e. trois 5-Sylows et considérer :
$$
\Sigma_5 \to \calT \subset \calM \times \calM \times \calM, \qquad \qquad \sigma \mapsto (\sigma . a, \ \sigma .b , \ \sigma.c) \qquad \qquad (\heartsuit)
$$Bien entendu, il s'agit de l'action par conjugaison. Précision : on fait agir $\Sigma_5$ sur l'ensemble $\calT$ des triplets $(m_1, m_2, m_3) \in \calM \times \calM \times \calM$ à composantes deux à deux distinctes. Ce n'est pas trop difficile de voir que le fixateur de $(a,b,c)$ est trivial. Par ailleurs :
$$
\#\calT = 6 \times 5 \times 4 = 5! \qquad \qquad \text{une sacrée coïncidence numérique}
$$Bilan : $(\heartsuit)$ est une bijection. C'est important dans la suite.
Une fois que l'on a (cf mon post pointé) établit que $\Perm(\calM) \to \Perm(X)$ est une bijection où $X = \big(\Perm(\calM)/\Sigma_5\big)_{\rm gauche}$, pour obtenir des automorphismes non-intérieurs de $\Perm(\calM) \simeq \S_6$, il faut $\calM$-numéroter $X$. Ce n'est pas trop difficile de voir que les 6 classes à gauche de $\Perm(\calM)$ modulo $\Sigma_5$ sont distinctes.
$$
(a,a).\Sigma_5, \quad (a,b).\Sigma_5, \quad (a,c).\Sigma_5, \quad (a,d).\Sigma_5, \quad (a,e).\Sigma_5, \quad (a,f).\Sigma_5
$$On prend la $\calM$-numérotation ci-dessus de $X$. Et on obtient un automorphisme non intérieur $\Theta$ de $\Perm(\calM)$.
Et la surprise c'est que $\Theta$ est involutif. C'est cela la question : pourquoi CE $\Theta$ est involutif ?
Je l'ai constaté expérimentalement. Mais je ne dispose pas d'une preuve autre que celle qui consiste à calculer péniblement $\Theta \circ \Theta$ (qui est un automorphisme intérieur) sur quelques permutations. Hum, je me demande si tout ce binz est facile à comprendre quand on n'est pas dedans.
MathCoss.
Je tire et je lis. Questions plus tard si besoin. Il y a trois jours, je n'avais jamais entendu parler de l'intervention de $\F_9$. Par contre, je connaissais une autre coïncidence : $\S_6 \simeq \Sp_4(\F_2)$ et de $15 = 2^4 - 1$. Le groupe $\Sp_4(\F_2)$, c'est du symplectique en dimension 4 sur $\F_2$. -
Claude : pour ton I à LOU16 : l'injectivité est facile, non ? Si $f\in Aut(\mathfrak S_6)$ préserve toutes les transpositions, c'est l'identité puisqu'elles engendrent $\mathfrak S_6$. Ou je rate quelque chose ?
La surjectivité, si je comprends bien son message, LOU16 la déduit de l'injectivité par le cardinal. -
$\def\S{\mathfrak S}\def\A{\mathfrak A}\def\PGL{\text{PGL}}\def\PSL{\text{PSL}}\def\PG{\text{P}\Gamma\text{L}}\def\F{\mathbb F}\def\Aut{\text{Aut}}\def\Perm{\text{Perm}}\def\calM{\mathcal M}\def\Sp{\text{Sp}}\def\calT{\mathcal T}$
Maxtimax : oui bien sûr, tu as raison, $\Aut(\S_6) \to G$ est injectif de manière évidente. Un peu de surchauffe de ma part.
MathCoss : une coquille dans ta dernière ligne. C'est un peu tortueux de voir pourquoi $\PSL_2(\F_9)$ est isomorphe à $\A_6$ (et pas à $\S_6$ comme tu as écrit). -
Bonjour,
@Claude
Pour la surjectivité, admettre que $\#G=1440$ (une information que j'avais glanée en lisant ton premier message) m'arrangeais en effet beaucoup.
Je propose donc cette justification:
Je conserve mes notations et note: $\:\widehat {\mathcal S} = \Big\{ S \in \mathcal P_5(A) \mid \forall x, y \in S \: \text{tels que}\: x \neq y,\quad xy \neq yx \Big\}.\:\:$
Il est facile de se convaincre que:
$$\widehat{\mathcal S }= \{S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\}\:\text{ où }\:S_i=\{ (i,k) \mid 1\leqslant k \leqslant 6, \: k\neq i \},\: $$ et que: $$ \forall x \in A, \:\exists ! \{i,j\}\:\text{ tel que }\: 1\leqslant i<j \leqslant 6,\:\:\{x\} = S_i \cap S_j. \quad (1).$$
On a également la propriété:
$$ \forall S \in \mathcal P_5(A), \: S \in \widehat{\mathcal S} \iff \:\text{deux éléments quelconques distincts de}\:S\:\text{n'ont aucun voisin commun dans}\:\mathcal G.\qquad (2)$$
Soit $H = \{ \sigma \in G \mid \sigma(A) =A \}\:.$. Alors $(2)$ entraîne que $H$ opère sur $\widehat{\mathcal S}$ et cette action induit un morphisme $\theta: H \to \mathfrak S_{\widehat{\mathcal S}} \simeq \mathfrak S_6.$
D'autre part : $(1) \implies \text{Ker}\:\theta = \{\text{Id}\},\:\:$ et cela implique:$\quad \# H \leqslant 720.\qquad (3)$
Soit $\sigma \in G$ tel que $\sigma(A) \neq A.\:\:\:$ Alors: $\:\sigma(A) = B.\qquad (4)\quad $ En effet:
Soient $ \:a\in A,\: b \in B \:$ tels que $\:\sigma (a) = b\:$. $\:\:A$ est l'ensemble des sommets de $ \mathcal G$ reliés à $a$ par un chemin de longueur paire.
Donc pour tout $x$ dans $A, \: \sigma (x) $ est relié à $b$ par un chemin de longueur paire: $ \sigma(x) \in B \:\square$
Soit enfin $\sigma \in G\setminus H$ et $\alpha$ un automorphisme extérieur de $\mathfrak S_6.\quad$D'après $(4) :\quad \alpha ^{-1}\sigma \in H$ de sorte que $\sigma \in \alpha H\:$. On déduit $G = H \cup \alpha H.$
Avec $(3)$, on obtient alors: $\:\:\#G \leqslant 1440$ et la surjectivité de $\text{Aut}(\mathfrak S_6) \to G$ est ainsi assurée. -
$\def\S{\mathfrak S}\def\Shat{\widehat{\mathcal S}}$Bonjour LOU16
Bien joué. Je crois même que l'on peut apporter la précision que $\theta : H \to \S_\Shat \simeq \S_6$ est un isomorphisme presque juste après que $H,\theta$ soient définis.
En effet, l'isomorphisme $\S_\Shat \simeq \S_6$ est canonique, disons que l'on peut identifier $\{1..6\}$ et $\Shat$. Par ailleurs, on dispose d'un morphisme canonique $\theta' : \S_6 \to H$. Et $\theta, \theta'$ sont inverses l'un de l'autre. Pourquoi ? Par étonnement du contraire. Certes, ce n'est pas une preuve.
Ce qui fait que l'on aurait ``rapidement'' $\#H = 720$, ce qui tombera de toutes manières tôt ou tard. Note : avoir $H \simeq_{\rm can} \S_6$, c'est encore plus mieux qu'une égalité de cardinaux.
Autre chose : on dispose d'une définition groupiste de $H$ mais là je t'avoue que je ne vois pas pourquoi. Je dis que $H$ est le sous-groupe constitué des éléments de $G$ de signature 1. La signature étant celle de $\S_{30}$, provenant du fait que $G \subset \S_{V}$ où $V = A \cup B$ est l'ensemble des 30 sommets du graphe. Ce coup de la signature, c'est une observation que j'ai faite mais je n'ai pas de justification pour l'instant. -
$\def\P{\mathbb P}\def\F{\mathbb F}\def\K{\mathbb K}$Hello MathCoss
Je me suis bien amusé avec la configuration $15_3$ de Cremona-Richmond dont tu nous a parlé. Comme tu avais mentionné ``vrais points, vraies droites'', je n'ai pas pu m'empêcher de le faire pour de vrai : 15 points, 15 droites, 3 points par droite, 3 droites par point.[color=#000000]> S : Maximal ; Linear Space on 15 points with 15 lines Points: {@ (1 1 0 0 0), (1 0 1 0 0), (1 0 0 1 0), (1 0 0 0 1), (0 1 1 1 1), (0 1 1 0 0), (0 1 0 1 0), (0 1 0 0 1), (1 0 1 1 1), (0 0 1 1 0), (0 0 1 0 1), (1 1 0 1 1), (0 0 0 1 1), (1 1 1 0 1), (1 1 1 1 0) @} Lines: {(1 1 0 0 0), (0 0 1 1 0), (1 1 1 1 0)}, {(1 0 0 0 1), (0 1 1 0 0), (1 1 1 0 1)}, {(1 0 1 0 0), (1 0 1 1 1), (0 0 0 1 1)}, {(1 0 1 0 0), (0 1 0 0 1), (1 1 1 0 1)}, {(1 0 1 0 0), (0 1 0 1 0), (1 1 1 1 0)}, {(1 0 0 1 0), (0 1 0 0 1), (1 1 0 1 1)}, {(1 0 0 0 1), (0 1 0 1 0), (1 1 0 1 1)}, {(1 1 0 0 0), (1 1 0 1 1), (0 0 0 1 1)}, {(0 1 1 1 1), (0 1 0 1 0), (0 0 1 0 1)}, {(1 0 0 0 1), (1 0 1 1 1), (0 0 1 1 0)}, {(0 1 1 1 1), (0 1 0 0 1), (0 0 1 1 0)}, {(0 1 1 1 1), (0 1 1 0 0), (0 0 0 1 1)}, {(1 1 0 0 0), (0 0 1 0 1), (1 1 1 0 1)}, {(1 0 0 1 0), (1 0 1 1 1), (0 0 1 0 1)}, {(1 0 0 1 0), (0 1 1 0 0), (1 1 1 1 0)} [/color]Explication : cela se passe dans $\P^4$ ou dans $\K^5$ si tu veux où $\K$ est le corps de base. J'ai pris $\K = \F_2$ mais peu importe. Pourquoi $\K^5$ ? Parce que $5 = 6-1$ et que l'on sait que 6 est sur la sellette en ce moment. Mais surtout parce que j'ai pompé sur Dolgachev, Abstract Configurations in Algebraic Geometry, http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/design.pdf ou https://arxiv.org/pdf/math/0304258.pdf, début de la section 9.
Celui ci rapporte la construction de Richmond lui-même (1900) en disant que l'on part avec 6 points $p_1, \cdots, p_6$ de $\P^4$ en position générale. Dans la suite, je vais tout remonter au vectoriel $\K^5$ et je naviguerais entre les deux si besoin. Chacun s'y reconnaitra, je pense. J'ai pris les 6 points suivants qui certes ne sont pas en position générale mais peu importe.[color=#000000]> K := GF(2) ; > K5 := VectorSpace(K,5) ; > SixPoints := Basis(K5) cat [K5| [1^^5]] ; > SixPoints ; [ (1 0 0 0 0), (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), (1 1 1 1 1) ] [/color]Dolgachev, pour $I \subset \{1..6\}$, note $\Pi_I$ l'espace engendré par les $(p_i)_{i \in I}$, qui est de dimension (vectorielle) $\#I$.
$\bullet$ Si bien que pour $I$ de cardinal 2, $\Pi_I \cap \Pi_{\overline I}$, où $\overline I$ est le complémentaire de $I$ dans $\{1..6\}$, est une droite : droite because les dimensions $2,4$ dans un vectoriel de dimension 5.
Et lorsque l'on fait varier $I$ parmi les 15 parties de cardinal 2 de $\{1..6\}$, on obtient ainsi $15$ droites $D_I$ de $\K^5$ ou 15 points de $\P^4$ si l'on veut. Et d'une. Fortiche Richmond.
$\bullet$ Maintenant, passons aux 15 plans de $\K^5$. Pour une 2-2-2 partition $(I,J,K)$ de $\{1,6\}$, on ( Richmond) considère l'intersection $\Pi_{\overline I} \cap \Pi_{\overline J} \cap \Pi_{\overline K}$. C'est l'intersection de 3 hyperplans (hyperplan parce que $4 = 5-1$) ``donc'' un sous-espace de dimension $5-3 = 2$. Un plan de $\K^5$, quoi. Et chaque droite $D_I, D_J, D_JK$ est dans ce plan $P_{IJK}$.
Et lorsque l'on fait varier $(I,J,K)$ parmi les 15 2-2-2-partitions de $\{1..6\}$, on obtient ainsi $15$ plans $P_{IJK}$ de $\K^5$. Ou 15 droites de $\P^4$ si l'on veut. Et de deux. Fortiche Richmond (bis).[color=#000000]> // I subset {1..6} -> Vect(p_i : i in I) > Subspace := func < I | sub <K5 | SixPoints[SetToSequence(I)]> > ; > Dim1Subspace := map < Pairs -> PowerRSpace(K,5,1) | ij :-> Subspace(ij) meet Subspace({1..6} diff ij) > ; > Base := map < Pairs -> K5 | ij :-> Basis(Dim1Subspace(ij))[1] > ; > Dim2Subspace := map < Triples -> PowerRSpace(K,5,2) | t :-> &meet [Subspace({1..6} diff ij) : ij in t] > ; > > ij := {1,2} ; > Dim1Subspace(ij) ; Vector space of degree 5, dimension 1 over GF(2) Echelonized basis: (1 1 0 0 0) > t := {{1,2},{3,4},{5,6}} ; > Dim2Subspace(t) ; Vector space of degree 5, dimension 2 over GF(2) Echelonized basis: (1 1 0 0 0) (0 0 1 1 0) [/color]On se fiche de voir ces cas particuliers mais c'est surtout pour moi.
Je vérifie quand même que c'est bien une configuration $15_3$.[color=#000000]> FifteenPoints := {@ Base(ij) : ij in Pairs @} ; > FifteenLines := {@ Dim2Subspace(t) : t in Triples @} ; > > [#[point : point in FifteenPoints | point in line] : line in FifteenLines] ; [ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ] > [#[line : line in FifteenLines | point in line] : point in FifteenPoints] ; [ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ] [/color]Si on a les moyens, i.e. un corps de base $\K$ assez gros, on réalise une projection générique $\P^4 \to \P^2$ et on récupère la $15_3$-configuration dans $\P^2$.
La chute : le groupe $G$ sur la sellette.[color=#000000]> Tutte8Cage := IncidenceGraph(S) ; > G := AutomorphismGroup(Tutte8Cage) ; > assert #G eq 2 * 720 ; [/color]
Merci MarhCoss, Dolgachev et Richmond. -
Ce message contient une erreur qui rend invalide la preuve de ce qui est annoncé et qui est corrigée dans mon prochain message
Bonjour Claude,
Oui, en effet, je trouve que $H$ est l'ensemble des éléments de $G$ de signature $+1$ dans $\mathfrak S_{30}. \quad$ Voici un argument pas franchement direct :
$G= \text{Aut}(\mathfrak S_6)$ opère sur $A \cup B\:\:\:$ et $\quad \:H = \text {Int}(\mathfrak S_6).$
$\forall \sigma \in G,\:\: \widehat{\sigma}$ désigne la permutation de $A \cup B$ induite par $\sigma$.
$\forall x \in \mathfrak S_6,\:\:\sigma_x$ est l'élément de $H$ défini par $ \:\sigma_x(y) = xyx^{-1}\:$, et $\quad \sigma _x ^{A}, \sigma_x^B\:\:$ sont les restrictions de $\widehat {\sigma_x}$ à $A$ et $B$.
Il faut d'abord prouver que: $\quad \boxed{ \forall x \in \mathfrak S_6,\:\:\varepsilon (\widehat{\sigma_x}) = +1.}$
Soit $u$ un $ 6$- cycle de $\mathfrak S_6$. La classe de conjugaison de $ \sigma_u$ dans $G$ est: $\: \mathcal C =\{ \sigma_{\alpha(u)} \mid \alpha \in G\},$ et c'est la même que celle de $\sigma_u$ dans $H$, car tout $\alpha \in \text{Aut} (\mathfrak S_6)$ envoie un $6$- cycle sur un $6$- cycle Ainsi: $ \:\:\:\#{\mathcal C} = 120,\qquad \#{ \{ \theta \in G \mid \theta\sigma_u = \sigma_u\theta \} }=\dfrac {\# G}{\# \mathcal C}= \dfrac {1440}{120}= 12.$
$\exists \theta \in G \setminus H$ tel que $\theta \sigma_u = \sigma_u \theta. \quad $ On a alors: $\sigma_u^{A} = \theta^{-1}\: \sigma_u ^B\:\: \theta, \qquad \varepsilon (\sigma_u ^{A} )= \varepsilon ( \sigma _u^B), \quad \varepsilon (\widehat {\sigma_u}) =+1.$
$\mathfrak S_6$ étant engendré par les $6$-cycles, on a bien: $\qquad \forall x \in \mathfrak S_6,\:\:\quad \varepsilon(\widehat{\sigma_x}) = +1\:\:\square$
Enfin,$\:\exists \alpha \in G \setminus H$ tel que $\alpha$ soit d'ordre $2$. (Je peux exhiber cet objet, mais seulement sous la contrainte).
Alors $\widehat{\alpha}$ est le produit de $15$ transpositions disjointes dans $ \mathfrak S_{30}, \:\: \varepsilon(\widehat{\alpha}) = -1.\:\:$ Cela achève la preuve de :
$$\boxed {H =\{ \sigma \in G \mid \varepsilon (\widehat{\sigma}) = +1\}}$$ -
$\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\GP{\text{PGL}_2(\F_5)}\def\P{\mathbb P}\def\Int{\text{Int}}$Rebonjour LOU16.
$\bullet$ I. Encore merci. De mon côté, j'ai toujours cru, pour un automorphisme intérieur de $\S_6$, que le faire mouliner sur $A$ (l'ensemble des 15 transpositions), c'est ``pareil'' que de le faire mouliner sur $B$ (l'ensemble des 15 triple-transpositions). Au sens précis suivant : pour $x \in \S_6$, il y a une bijection ensembliste $f : A \to B$ rendant commutatif le rectangle :
$$
\xymatrix @C = 2cm{
A \ar[d]_f \ar[r]^{\Int_x^A} & A \ar[d]^f \\
B \ar[r]^{\Int_x^B} & B \\
}
$$J'ai pris un peu près tes notations sauf pour l'automorphisme intérieur $\Int_x = x \bullet x^{-1}$. Un tel diagramme ferait que $\Int_x^A$ et $\Int_x^B$ ont même signature, prouvant que $\Int_x$, vu comme permutation de $A \cup B$, a pour signature $+1$. C'est bien ce que tu as fait pour les 6-cycles en produisant un $f$ très particulier.
$\bullet$ II. Il y a encore quelque chose, pas facile à exprimer, que je ne comprends pas concernant le graphe 8-cage de Tutte que je note $\Gamma$. Comment le produire sous la forme de l'image attachée qui permet de visualiser un automorphisme extérieur INVOLUTIF de $\S_6$ ? Ou encore comment assigner à chaque sommet blanc une transposition et à chaque sommet noir une triple transposition de manière compatible avec le graphe ? Ou encore comment montrer, sur le $\Gamma$ ``abstrait'', que celui-ci admet un cyle hamiltonien conduisant à l'image ? Ou encore un couplage parfait (les arêtes ``intérieures'') qui ne déconnecte pas le graphe (et donc le complémentaire est un cycle).
Malgré les outils de programmation dont je dispose, je ne sais pas faire pour l'instant. Et pour moi, c'est plus précis que de montrer l'existence d'un automorphisme extérieur involutif.
$\bullet$ III. Je vais exhiber un automorphisme extérieur INVOLUTIF $\Theta$ de $\S_6$ et visualiser avec des outils. Au lieu d'utiliser l'opération de $\S_5$ sur l'ensemble $\mathcal M$ des six 5-Sylows de $\S_5$, je vais utiliser l'action de $\GP$ sur la droite projective $\P^1(\F_5)$ en admettant quelques résultats. En particulier que l'action est strictement 3-transitive : étant donné un triplet $(p_1,p_2,p_3)$ de points distincts et un autre $(p'_1,p'_2,p'_3)$ de même nature, il existe une et une seule homographie $h$ qui réalise $h(p_i) = p'_i$. C'est classique et général.[color=#000000]> PGL2F5, P1F5 := PGL(2,GF(5)) ; > PGL2F5 ; Permutation group PGL2F5 acting on a set of cardinality 6 Order = 120 = 2^3 * 3 * 5 (3, 5, 4, 6) (1, 6, 2)(3, 4, 5) > <point : point in P1F5> ; <(1 0), (0 1), (1 2), (1 3), (1 1), (1 4)> [/color]On ne verra aucune homographie. Je vais juste utiliser $\GP$ comme sous-groupe particulier de $\S_6 = \S_{\P^1(\F_5)}$. Ce sous-groupe ne contient aucune transposition de $\S_6$ car une transposition possède 4 points fixes, trop pour une homographie. Il ne contient pas non plus de 3-cycle $(i,j,k)$ pour des raisons analogues.
Bien entendu, on pourrait montrer que $\S_5$ agissant sur $\mathcal M$ est isomorphe à $\GP$ agissant sur $\P^1(\F_5)$. ModuloP alias FlipFlop l'avait fait de manière explicite il y a deux ans à l'aide d'une bijection intelligente entre $\mathcal M$ et $\P^1(\F_5)$. Ici, je me contente de vérifier de l'isomorphie groupiste.[color=#000000]> S5 := SymmetricGroup(5) ; > ok, PGL2F5toS5 := IsIsomorphic(PGL2F5, S5) ; > ok ; true [/color]
Le truc important que j'ai rappelé.[color=#000000]> S6 := Generic(PGL2F5) ; > IsSharplyTransitive(PGL2F5, 3) ; true [/color]
Un système de représentants de classes à gauche de $\S_6$ modulo $\GP$
$$
(1,i).\GP \qquad 1 \le i \le 6
$$ Il y en a le bon nombre. Une égalité $(1,i).\GP = (1,j).\GP$ entraîne $(1,i)(1,j) \in \GP$ donc $i=j$ grâce aux rappels ci-dessus.[color=#000000]> // (1,1).PGL2F5, (1,2).PGL2F5, ... (1,6).PGL2F5 syst. de représentants de (S6/PGL2F5)_gauche > // Donc pour chaque sigma in S6, il y a un unique i in {1..6} tel que sigma.PGL2F5 = (1,i).PGL2F5 > // i.e. (1,i) o sigma in PGL2F5. > > // Inverser gauche <-> droite à cause de la philosophie magma > Transposition := func < i,j | i ne j select S6!(i,j) else Id(S6) > ; > Representant := map < S6 -> {1..6} | sigma :-> > Representative([i : i in {1..6} | sigma*Transposition(1,i) in PGL2F5]) > ; [/color]Voici maintenant la définition de $\Theta : \S_6 \to \S_6$. Pour $\sigma \in \S_6$, $\Theta(\sigma)$ est la permutation $\sigma'$ qui réalise :
$$
\sigma \circ (1,j) . \GP = (1, \sigma'(j)) . \GP \qquad j = 1, 2, \cdots, 6
$$[color=#000000]> // Soit sigma in S6. Pour chaque j in {1..6} il y a un unique j' in {1..6} tel que > // sigma o (1,j) . PGL2F5 = (1,j') . PGL2F5. On obtient ainsi, via j -> j', une autre > // permutation Theta(sigma) sur {1..6} associée à sigma > // Et sigma -> Theta(sigma) est un automorphisme extérieur de S6 > > Theta := map < S6 -> S6 | sigma :-> [Representant(Transposition(1,j)*sigma) : j in [1..6]] > ; > sigma1 := Random(S6) ; sigma2 := Random(S6) ; > assert Theta(sigma1*sigma2) eq Theta(sigma1)*Theta(sigma2) ; [/color]Note : ci-dessus, j'ai fait une petite vérification car la composition magma des permutations est à l'envers de la nôtre.
C'est facile de vérifier que $\Theta : \S_6 \to \S_6$ est un morphisme. Il faut un tout petit effort pour montrer que $\ker \Theta$ est trivial (il n'y a pas beaucoup de sous-groupes normaux dans $\S_6$). Et encore un autre petit effort pour montrer, pour une transposition $\tau$, que $\Theta(\tau)$, qui est une permutation impaire d'ordre 2, est une triple transposition. Ici, j'ai la flemme de recopier mes notes.[color=#000000]> Generators(S6) ; { (1, 2), (1, 2, 3, 4, 5, 6) } > // Je fais de Theta un automorphisme (extérieur) de S6, automorphisme au sens magma > Theta := iso < S6 -> S6 | [g -> Theta(g) : g in Generators(S6)] > ; [/color]Je termine en montrant l'effet de $\Theta$ sur les transpositions : je ne sais pas si cela peut faire du bien mais en tout cas cela ne fait pas de mal.
Et la chute consiste à vérifier bêtement que $\Theta$ est involutif. Après tout, vu que l'on a l'effet de $\Theta$ sur les transpositions, on peut s'en servir.[color=#000000]> S6Transpositions := [Transposition(i,j) : j in [i+1..6], i in [1..6]] ; > for ij in S6Transpositions do printf "%o -> %o\n", ij, Theta(ij) ; end for ; (1, 2) -> (1, 2)(3, 4)(5, 6) (1, 3) -> (1, 3)(2, 5)(4, 6) (1, 4) -> (1, 4)(2, 6)(3, 5) (1, 5) -> (1, 5)(2, 4)(3, 6) (1, 6) -> (1, 6)(2, 3)(4, 5) (2, 3) -> (1, 6)(2, 4)(3, 5) (2, 4) -> (1, 5)(2, 3)(4, 6) (2, 5) -> (1, 3)(2, 6)(4, 5) (2, 6) -> (1, 4)(2, 5)(3, 6) (3, 4) -> (1, 2)(3, 6)(4, 5) (3, 5) -> (1, 4)(2, 3)(5, 6) (3, 6) -> (1, 5)(2, 6)(3, 4) (4, 5) -> (1, 6)(2, 5)(3, 4) (4, 6) -> (1, 3)(2, 4)(5, 6) (5, 6) -> (1, 2)(3, 5)(4, 6) > > // Theta est involutif > [Theta(Theta(g)) eq g : g in Generators(S6)] ; [ true, true ] [/color]
Malgré cela, je ne sais pas réaliser le premier dessin attaché de manière complète (avec attribution des sommets aux transpositions et triple-transpositions). -
$\def\S{\mathfrak S}$LOU16
Retour sur ton dernier post. J'ai laissé passer quelque chose. Dans ce post, 5 lignes en partant de la fin (sans compter l'encadré terminal), je ne vois plus pourquoi un automorphisme $\alpha$ de $\S_6$ transforme un 6-cycle en un 6-cycle. Car dans $\S_6$, il y a d'autres éléments d'ordre 6 que les 6-cycles.
Et je viens de m'apercevoir que le $\Theta$ que j'ai exhibé dans mon dernier post ne réalise pas ce que tu as écrit[color=#000000]> S6.1 ; (1, 2, 3, 4, 5, 6) > Theta(S6.1) ; (2, 6)(3, 5, 4) [/color]
Et par conjugaison, il en sera de même pour n'importe quel 6-cycle.
J'ai mal compris quelque chose ? -
Re
@Claude
Tu as raison ( j'ai en effet oublié ces p.....s de $(...)(..)$ qui ont de plus le mauvais goût d'être exactement aussi nombreux que les $(......)$), et je ne peux pas immédiatement rattraper le coup parce que les seules classes de conjugaison qui sont conservées par les automorphismes de $\mathfrak S_6$ concernent uniquement des permutations paires qui n'engendrent donc pas $\mathfrak S_6$.
Merci pour ta lecture attentive . -
$\def\S{\mathfrak S}\def\A{\mathfrak A}\def\cT{\mathcal T}$Hello LOU16
$\bullet$ I. Il y a un moyen de rattraper le coup en étudiant, pour un entier $n \ge 2$, l'action du groupe symétrique $\S_n$ sur l'ensemble $\cT$ des $N = \binom{n}{2}$ transpositions. C'est une action transitive qui donne naissance à une représentation $\S_n \to \S_N = \S_\cT$. Si $n$ est pair (par exemple $n = 6$), l'image de cette représentation est contenue dans le groupe alterné $\A_N$.
Justification. Je m'écarte de tes notations en notant, pour $\sigma \in \S_n$, par $\widehat \sigma \in \S_N$ l'image de $\sigma$. Je dis que pour une transposition $\tau \in \S_n$, $\widehat \tau$ est un produit de $n-2$ transpositions de $\S_N$. Il suffit de le vérifier pour $\tau = (1,2)$. On trouve :
$$
\widehat {(1,2)} : \quad (1,3) \leftrightarrow (2,3), \quad (1,4) \leftrightarrow (2,4), \quad \cdots \quad (1,n) \leftrightarrow (2,n)
\qquad \qquad \text{i.e.} \qquad
(1,k) \leftrightarrow (2,k), \quad 3 \le k \le n
$$D'où le $n-2$. Donc, pour la signature, $\varepsilon(\widehat\tau) = (-1)^{n-2} = (-1)^n$. Et donc si $n$ est pair ....
$\bullet$ II. Retour à $n = 6$. Je me suis bien planté, au début de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1965898,1967776#msg-1967776, en disant ``j'ai toujours cru .. mouliner sur $A$, c'est pareil que mouliner sur $B$ ... etc...'' En continuant à noter comme toi $A$ l'ensemble des transpositions de $\S_6$ et $B$ l'ensemble des triple-transpositions. Ce n'est pas un prétendu rectangle commutatif que l'on a mais un triangle commutatif où $\Theta$ est un automorphisme non intérieur de $\S_6$ qui induit un isomorphisme $\S_A \to \S_B$ que je note encore $\Theta$. Laisser tomber l'histoire du triangle de gauche
$$
\xymatrix @R = 0.5cm @C = 2cm{
& \S_A \ar[dd]^\Theta \\
\S_6\ar[ur]\ar[dr] \\
& \S_B \\
}
\qquad\qquad \qquad\qquad
\xymatrix @R = 1.5cm @C = 2cm{
\S_6\ar[d]_{\Theta} \ar[r] & \S_A\ar[d]^{\widetilde\Theta} \\
\S_6\ar[r] & \S_B \\
}
$$L'image de la flèche inclinée du haut est contenue dans le groupe alterné car $n=6$ est pair. Par unicité du groupe alterné, il en est de même de la flèche inclinée du bas. POUF-POUF A oublier et à remplacer par le rectangle commutatif de droite où $\widetilde \Theta$ est l'extension de $\Theta : A \to B$ i.e. pour $\rho \in \S_A$, $\widetilde{\Theta}(\rho)$ est la permutation de $B$ définie par $\Theta \circ \rho \circ \Theta^{-1}$.
$\bullet$ III. Une vacherie pour $n = 6$. On regarde le fixateur d'une transposition par l'action de conjugaison de $\S_6$, par exemple la transposition $(5,6)$ qui est au bout. Quel est le fixateur $F$ ? I.e. les permutations de $\S_6$ qui commutent à $(5,6)$. C'est le sous-groupe d'ordre 48
$$
F = \S_4. \langle(5,6)\rangle = \S_4 \times \langle(5,6)\rangle \simeq \S_4 \times C_2
$$ Le $\S_4$, c'est le vrai $\S_{\{1,2,3,4\}}$.
Evidemment, $F$ n'est pas un sous-groupe transitif de $\S_6$. Mais son image (isomorphe) $\Theta(F)$ (où $\Theta$ est l'automorphisme extérieur involutif que j'ai exhibé) si[color=#000000]> S4xC2 := sub < S6 | (1,2,3,4), (1,2), (5,6) > ; > Theta(S4xC2) ; Permutation group acting on a set of cardinality 6 (1, 3, 2, 5) (1, 2)(3, 5)(4, 6) (1, 2)(3, 4)(5, 6) > IsTransitive(Theta(S4xC2)) ; true [/color] -
Bonjour Claude,
Je ne sais trop pourquoi je suis allé m'enferrer avec ces $6$-cycles alors qu'il y avait l'argument très simple que tu signales dans le $1$ de ton dernier message et que je m'apprêtais à mentionner, mais qu'il faut, il me semble, légèrement amender:
Soit $\tau = (1,2).\quad$ Tu notes $\widehat{(1,2)}$ ce que j'appelais $\sigma_{\tau}^A$ et tu écris :$\varepsilon (\sigma_{\tau} ^A) = +1$ (produit de $4$ transpositions disjointes de $\mathfrak S_A$). Je suis évidemment d'accord.
Mais il faut aussi s'intéresser à $\varepsilon ( \sigma_ {\tau}^B):\quad $$\sigma_ {\tau}^B$ est le produit de $6$ transpositions disjointes de $\mathfrak S_B\:\: $ et $\quad \varepsilon ( \sigma_ {\tau}^B) =+1$. Cela entraine:
$ \varepsilon(\widehat{ \sigma_{\tau}})= +1,\quad $ puis: $\:\: \forall x\in \mathfrak S_6, \:\: \:\varepsilon (\widehat{ \sigma_{x}}) = +1,\quad$ comme attendu. -
Lou16,
Je suis d'accord avec toi pour la vérification sur $B$ (produit de 6 transpositions ...etc... ). Mais dans mon dernier post, je me suis cru malin en évitant de vouloir faire cette vérification sur $B$, en invoquant mon point II avec un soi-disant triangle commutatif.
Sauf que je me suis encore planté. Je viens de rectifier le tir de manière visible en rouge et en remplaçant ce triangle commutatif erroné par un nouveau rectangle commutatif (que je dis). Qui dispense de faire la vérification sur $B$.
Mais tout compte fait, c'est plus prudent de faire sagement la vérification sur $B$ comme tu as procédé. -
Bonjour à toutes et à tous,
j'ai toujours rêvé de participer à un de vos fils algébriques, et là je me dis que c'est le moment. Mais il me semble que gai requin et claude, par exemple, avez l'habitude de travailler ensemble, et donc devez bien vous comprendre. Mais là, je n'arrive pas à savoir ce que vous cherchez.
Est-ce que vous cherchez à relier l'action géométrique des automorphismes de ce graphe à l'intériorité de l'automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ associé ? EDIT : Ah j'ai compris, vous ne savez pas encore démontrer que le cardinal de $G$ est $1440$ ?
A démontrer, sans cardinal, que l'application qui à un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ associe un automorphisme du graphe est surjective ? -
$\def\Aut{\text{Aut}}\def\S{\mathfrak S}$Salut Georges. Je vais essayer de faire un résumé, je ne suis pas sûr d'y arriver. Comme d'habitude avec moi, cela va être un peu (?) en vrac, voire décousu.
$\bullet$ L'objectif est (pour moi) de s'amuser en apprenant un peu de maths. A moins que cela soit le contraire : apprendre un peu de maths en s'amusant. Pas si facile. Des fois, cela marche, d'autres fois, non.
$\bullet$ Le thème ici. Le nombre 6 et le groupe symétrique $\S_6$ qui possède un caractère exceptionnel par rapport à ce qui vient. Soient $X,Y$ deux ensembles finis de même cardinal $n$ et $f : X \to Y$ une bijection. A partir de $f$, c'est facile de fabriquer un isomorphisme $f^\# : \S_X \to \S_Y$ entre les groupes symétriques :
$$
f^\# : \qquad \S_X \ni \sigma \longmapsto f \circ \sigma \circ f^{-1} \in \S_Y
$$La question se pose : si $\varphi : \S_X \to \S_Y$ est un isomorphisme, est-il de la forme $f^\#$ pour une bijection $f : X \to Y$ ? La réponse est oui et d'une seule manière si $n \ge 4$. SAUF si $n = 6$ : il y a des $\varphi$ qui ne sont pas des $f^\#$. C'est le coup de l'existence d'automorphismes non intérieurs de $\S_6$.
$\bullet$ Les acteurs. Le groupe symétrique $\S_6$, l'ensemble $A$ des 15 transpositions $\tau$ de $\S_6$, l'ensemble $B$ des 15 triple-transpositions $\sigma$. Avec un graphe biparti $\Gamma$ de sommets $A \cup B$ : on met une arête entre la transposition $\tau$ et la triple-transposition $\sigma$ si $\tau$ figure dans $\sigma$ ; ce qui équivaut à $\tau \circ \sigma = \sigma \circ \tau$.
Ce graphe $\Gamma$ est régulier de degré 3, biparti, connexe, possède 30 sommets et 45 arêtes ($2 \times 45 = 3 \times 30$). On note $G = \Aut(\Gamma)$. Qui va se trouver être isomorphe à $\Aut(\S_6)$ de manière canonique. En un certain sens, le fil va tourner autour de cela. Mais pas que. Par exemple, Math Coss nous a parlé de la configuration $15_3$ de Cremona-Richmond que je ne connaissais pas et je me suis bien amusé.
$\bullet$ Pré-requis. Ils ne sont pas toujours très clairs. Que doit-on savoir sur $\Aut(\S_6)$ ? Cela dépend. Si de nouveau, on peut attraper l'existence (et même un peu plus) des automorphismes non intérieurs de $\S_6$, cela sera tout bénéf.
$\bullet$ L'entrée en scène. Dans mon premier post, pour éviter que l'on pense ``encore le coup des automorphismes non intérieurs de $\S_6$, on connait, on est blasé ...etc'', je n'ai point parlé de cela mais j'ai démarré avec le graphe $\Gamma$ et son groupe d'automorphismes $G$.
Figure toi que de mon côté je ne suis pas blasé car j'ignore la structure de l'action de $\S_6$ sur l'ensemble des automorphismes non intérieurs. Et puis j'ai essayé de lire l'article avec pas mal de géométrie algébrique in http://math.stanford.edu/~vakil/files/sixjan2308.pdf. Et j'ai calé.
$\bullet$ Des morceaux de la pièce. C'est assez facile de définir un morphisme canonique $\theta' : \Aut(\S_6) \to G = \Aut(\Gamma)$. Qui se trouve être injectif. Pour montrer que c'est un isomorphisme, LOU16 a introduit un sous-groupe $H$ de $G$ d'indice $2$ et définit $\theta : H \to \S_6$ de manière canonique ...etc.. Voir sa contribution.
Et il a fini par attraper le fait que $\theta' : \Aut(S_6) \to G$ est un isomorphisme.
$\bullet$ Alors, c'est fini ? Cela ne veut rien dire pour moi. Peut-être que oui, peut-être que non. J'aimerais bien en savoir plus sur le graphe $\Gamma$, le dessiner vraiment AVEC ses sommets nommés, et y VOIR un automorphisme non intérieur INVOLUTIF de $\S_6$.
$\bullet$ Je n'ai pas eu le courage de pointer sur tel ou tel post du fil. C'est pas bien.
Un vieux brouillon de ma part. Je pense que je n'écrirais pas les choses ainsi maintenant. Vu le titre , cela date de l'époque où je croyais que tous les automorphismes non intérieurs de $\S_6$ étaient pareils, ce qui est totalement faux. -
@claude : Ok.
@LOU16 : Est-ce que tu es en train de dire la même chose que ce que je vais dire : soit $A$ l'ensemble des paires de $\{1,\cdots,6\}$, et $B$ l'ensemble des 2-2-2 partitions de $\{1,\cdots,6\}$. On considère le graphe $\Gamma$, biparti sur l'ensemble des sommets $A\cup B$, avec une arête de $x$ vers $p$ si $x \in p$. Les sommets dans $A$ sont dits "noirs". Soit $E$ l'ensemble des parties à cinq éléments de $A$ qui ont la propriété d'être deux à deux à distance $4$ dans le graphe. Alors $E$ est stable par tout automorphisme de $\Gamma$ qui préserve $A$. Et $E$ est de cardinal $6$ car, en fait, chaque élément de $E$ correspond à l'ensemble des paires/sommets noirs qui contiennent un certain élément de $\{1,\cdots,6\}$. Donc le sous-groupe $H$ de $Aut(\Gamma)$ d'ordreindice deux qui stabilise $A$ agit sur $E$. L'action est fidèle car chaque sommet noir est l'intersection d'exactement deux éléments de $E$, donc $H$ s'injecte dans $\mathfrak{S}_6$. Et donc $Aut(\Gamma)$ est de cardinal $1440$ ?
EDIT : Pas ordre, indice. Merci claude ! -
$\def\Aut{\text{Aut}}\def\S{\mathfrak S}\def\P{\mathbb P}\def\F{\mathbb F}\def\PGL{\text{PGL}}$George
Tu as dit $H$ d'ordre 2 mais tu voulais dire $H$ d'indice 2 dans $G = \Aut(\Gamma)$.
Il y a une manière (groupiste) de définir $H$ au lieu de le définir via la propriété de stabiliser $A$ : $H$ est l'ensemble des éléments de signature $1$, la signature au sens $G$ sous-groupe de $\S_{30} = \S_{A \cup B}$. Cela peut être important de la définir ainsi, disons comme noyau d'un caractère $\chi : G \to \{\pm 1\}$. Car ces caractères se multiplient, si bien qu'il ya une loi de groupe sur les sous-groupes d'indice 1 ou 2 de $G$.
Je dis cela car il y a un autre sous-groupe d'indice 2 (donc un autre caractère d'ordre 2 donc un troisième par produit) qui est le groupe $\PGL(2, \F_9)$, groupe des homographies de la droite projective $\P^1(\F_9)$ de cardinal 10. Peut-on le débusquer à partir du graphe $\Gamma$ ?
J'explique ce que je voulais réaliser à partir de la figure attachée, le graphe $\Gamma$ 8-cage de Tutte dont on a parlé. J'y suis arrivé à la main en tâtonnant mais peut-être que je m'y suis pris comme un manche.
Voici une manière d'assigner, de manière circulaire, à chaque point blanc une partie à 2 éléments de $\{1..6\}$. Dans cette ordre circulaire, les points blancs sont à distance de 2, donc deux parties consécutives $\{i,j\}$ et $\{k,\ell\}$ doivent vérifier $\{i,j\} \cap \{k,\ell\} = \emptyset$.[color=#000000]> Avertices ; [ 12, 56, 13, 26, 35, 46, 25, 34, 15, 23, 14, 36, 24, 16, 45, 12 ] [/color]
L'objectif est maintenant de définir à partir de cela un automorphisme extérieur INVOLUTIF bien précis $\Theta$ de $\S_6$ via la symétrie d'axe vertical comme écrit part l'auteur en dessous de la figure. A noter que l'on n'a plus le choix pour l'assignement des points noirs : entre $12$ et $56$ doit figurer la 2-2-2-partition $12, 34, 56$.
On passe tout en groupiste. La même chose que ci-dessus en transpositions de $\S_6$. Puis, en intercalant, la suite $B$ des triple-transpositions dans l'ordre circulaire.[color=#000000]> Acircular ; [ (1, 2), (5, 6), (1, 3), (2, 6), (3, 5), (4, 6), (2, 5), (3, 4), (1, 5), (2, 3), (1, 4), (3, 6), (2, 4), (1, 6), (4, 5), (1, 2) ] > B ; [ (1, 2)(3, 4)(5, 6), (1, 3)(2, 4)(5, 6), (1, 3)(2, 6)(4, 5), (1, 4)(2, 6)(3, 5), (1, 2)(3, 5)(4, 6), (1, 3)(2, 5)(4, 6), (1, 6)(2, 5)(3, 4), (1, 5)(2, 6)(3, 4), (1, 5)(2, 3)(4, 6), (1, 4)(2, 3)(5, 6), (1, 4)(2, 5)(3, 6), (1, 5)(2, 4)(3, 6), (1, 6)(2, 4)(3, 5), (1, 6)(2, 3)(4, 5), (1, 2)(3, 6)(4, 5) ] [/color]Pour fabriquer $\Theta : \S_6 \to \S_6$, il faut envoyer les éléments de $A$ sur ceux de $B$, pas n'importe comment évidemment. Pour sécuriser ma programmation, je vais définir une copie $K$ de $\S_6$ qui est le groupe $\S_6$ défini par les générateurs $A$, dans cet ordre et certains relations déterminées par le logiciel. C'est plus sûr de procéder ainsi pour diverses raisons.[color=#000000]> A := Acircular[1..15] ; > // presentation de S6 par les 15 transpositions > S6 := sub <S6 | A> ; > K, KtoS6 := FPGroup(S6) ; > AssignNames(~K, [name(a) : a in A]) ; > #Relations(K) ; 43 > Relations(K)[10..20] ; [ 23^2 = Id(K), 14^2 = Id(K), 36^2 = Id(K), 24^2 = Id(K), 16^2 = Id(K), 45^2 = Id(K), (12 * 56)^2 = Id(K), 12 * 13 * 12 * 23 = Id(K), (56 * 13)^2 = Id(K), 23 * 13 * 12 * 13 = Id(K), 12 * 26 * 12 * 16 = Id(K) ] > IsSatisfied(Relations(K), B) ; false [/color]
On ne peut pas envoyer bêtement $A$ sur $B$ : $B$ ne vérifie pas les relations. Car bien sûr, il faut tenir compte de la symétrie d'axe vertical. Allons-y.[color=#000000]> // Symetrie axe vertical > I := [8..1 by -1] cat [15..9 by -1] ; > I ; [ 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9 ] > IsSatisfied(Relations(K), B[ I]) ; true [/color]
Tout est prêt pour définir $\Theta$ à partir de l'ordre de $A$ et de celui de $B$ tordu par $I$. On vérifie quand même que $\Theta \circ \Theta$, c'est l'identité. Et je montre l'effet de CE $\Theta$.[color=#000000]> Theta := iso < S6 -> S6 | B[ I] > ; > assert &and [Theta(Theta(g)) eq g : g in Generators(S6)] ; > > for a in A do printf "%o -> %o\n", a, Theta(a) ; end for ; (1, 2) -> (1, 5)(2, 6)(3, 4) (5, 6) -> (1, 6)(2, 5)(3, 4) (1, 3) -> (1, 3)(2, 5)(4, 6) (2, 6) -> (1, 2)(3, 5)(4, 6) (3, 5) -> (1, 4)(2, 6)(3, 5) (4, 6) -> (1, 3)(2, 6)(4, 5) (2, 5) -> (1, 3)(2, 4)(5, 6) (3, 4) -> (1, 2)(3, 4)(5, 6) (1, 5) -> (1, 2)(3, 6)(4, 5) (2, 3) -> (1, 6)(2, 3)(4, 5) (1, 4) -> (1, 6)(2, 4)(3, 5) (3, 6) -> (1, 5)(2, 4)(3, 6) (2, 4) -> (1, 4)(2, 5)(3, 6) (1, 6) -> (1, 4)(2, 3)(5, 6) (4, 5) -> (1, 5)(2, 3)(4, 6) [/color]
Exercices : produire un $\Theta$ d'ordre 4, 8, 10.
Comment montrer que deux automorphismes extérieurs d'ordre 2 sont conjugués via un automorphisme intérieur de $\S_6$ et qu'il y en a 36 ? -
J'ai réalisé le graphe sur GeoGebra, je vous le mets en pièce jointe. Il est possible de plonger ce graphe dans $\mathbb{R}^2$ de manière à ce qu'une rotation d'angle $\pi/5$ réalise un automorphisme d'ordre $10$. J'ai fait une vidéo mais je ne sais pas comment vous la joindre.
Alors, voici les instructions pour déformer le graphe comme il faut : il y a trois gros points (ce sont ceux que l'on peut bouger) et les autres sont petits (ils sont dépendants des gros points). Le noir, ne le bougez pas. Le deuxième rouge à partir du noir, dans le sens horaire, faites le descendre sur la droite, jusqu'à ce qu'il soit sur le diamètre horizontal. Le premier point rouge, bougez-le aussi vers la droite, mais juste un peu, de manière à voir deux pentagones similaires, symétriques et superposés au milieu, dessinant ainsi un décagone régulier étoilé.
EDIT : Ca devrait ressembler à ça :
EDIT2 : Oups, sur le dessin initial, j'avais mal fait quelque chose : j'avais laissé le cercle ambiant, et j'avais oublié d'afficher les arêtes qui sont les plus proches du bord. Du coup, le dessin correct est le deuxième. Et du coup, ma "symétrie" n'en est plus une, je crois... :-( Je vais continuer de jouer avec GeoGebra pour débusquer un automorphisme d'ordre $10$.
EDIT3 : Le fichier GeoGebra corrigé, pour vous permettre de jouer aussi. -
Bonjour,
@Georges
Merci pour ton animation que je n'ai pas su lire (je sais, je ne suis pas très malin), mais "j'imagine".
@Claude
Je me suis pour ma part contenté d'effectuer des réussites avec les "extérieurs" de $\text{Aut}(\mathfrak S_6)$, (ce qui, en ces temps de confinement,est une activité somme toute assez plaisante), et avec une certaine patience, j'ai fini par débusquer une patrouille de $36$ involutions extérieures toutes conjuguées dans $\text{Int}(\mathfrak S_ 6)$, décrites ci-dessous. Je n'ai pour l'instant pas su prouver que c'était les seules.
Soit $\mathcal T = \Big\{ T \in \mathcal P_5 (B) \mid \forall x,y \in T, \: x=y \:\text{ou}\: \:xy \neq yx \Big \}.\quad $ Alors:$\:\:\mathcal T = \{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6 \}. \:\:\forall \alpha \in \text{Aut}(\mathfrak S_6) \setminus\text{Int}(\mathfrak S_6), \:\:\alpha(\mathcal S) = \mathcal T.$
$$ \begin {align*} T_1= \{ (12\: 34\: 56) \:(13\: 25\: 46) \: (14 \:26 \:35) \: (15 \:24 \:36)\: (16\: 23\: 45) \}\\ T_2 = \{(12\: 34 \:56)\:(13 \:26\: 45) \:(14\: 25 \:36)\:(15\: 23\: 46)\:(16\: 24\:35) \}\\ T_3 =\{(12 \:36\: 45)\:(13\: 25 \:46)\:(14 \:23 \: 56)\:(15\: 26\: 34)\: (16 \:24 \:35)\} \\ T_4 = \{(12\: 36 \:45)\:(13\: 24\: 56) \:(14\: 26\:35)\:(15 \:23 \:46)\:(16\:25 \:34)\}\\ T_5 = \{ (12 \:35 \:46) \:(13 \:26 \:45)\:( 14\: 23\: 56)\:(15 \:24\: 36)\:( 16 \:25\: 34)\}\\ T_6 = \{ (12\: 35 \:46 )\:(13\: 24 \:56) \:(14\: 25 \:36)\:( 15\: 26 \:34)\: (16\: 23 \:45) \} \end{align*}$$
$\forall (i,j) \in A,\:\: \forall k \in [\![1;6]\!] \in A, \:\:$ je désigne par $(i,j) ^{(k)}$ l'unique élément de $T_k$ commutant avec $(i,j): \;\: (i,j)^{(k)} = ( i,j)(.,.)(.,.) \in T_k$.
On peut indexer les éléments de $\text{Aut}\mathfrak (\mathfrak S_6) \setminus \text{Int}(\mathfrak S_6)$ de la manière suivante.
$$ \forall \alpha \in \text{Aut}(\mathfrak S_6)\setminus\text{Int}(\mathfrak S_6), \:\:\exists ! (k , \pi) \in [\![1;6]\!] \times \mathfrak S_{[\![ 2;6]\!]} \:\text{tel que}\:\: \alpha (S_1) =T_k, \quad \forall j \in [\![2;6]\!], \:\:\alpha(1,j) = (1, \pi(j) ) ^{(k)}$$.
En effet, tout automorphisme extérieur est de cette forme et il n'existe que $720$ couples $(k,\pi).\quad$ Je note alors: $\:\: \alpha = \Theta_{k, \pi}.$
Dans ton exemple avec $\Theta: \qquad k=3\:$ et $\quad \pi:\:\:( 2,3,4,5,6) \longrightarrow (5,3,6,2,4).$
On définit maintenant, pour tout $(i,k) \in [\![1;6]\!]^2$, l'involution extérieure $ \Theta_{i,k}$ par: $$ \forall j \in [\![1;6]\!] \:\text{tel que } \: j\neq i, \:\: \Theta_{i,k} (i,j) = (i,j) ^{(k)} .$$
Dans ton exemple: $k=1,\:\: i=3.$
J'ai scrupuleusement vérifié que $\Theta_{1,1}$ était une involution et que si $x\in \mathfrak S_6$ est tel que $x(1) =i$ et $\sigma_ x( T_1) = T_k,$ alors: $\:\:\sigma_x\:\Theta_{1,1} \: \sigma _ x ^{-1} = \Theta_ {ik}.$ -
$\def\S{\mathfrak S}\def\Aut{\text{Aut}}$@George, LOU16
Je vois que l'on s'amuse bien (?)
LOU16 : je vais étudier ton post. Tes $T_i$, cela me rappelle les pentades de Sylvester. A voir.
Je crois qu'il y a une coquille au milieu quand tu dis ``je crois que l'on peut indexer les éléments de $\Aut(S_6)$''. Tu veux dire les automorphismes extérieurs de $\Aut(\S_6)$, je suppose ?? Ou j'ai rien compris. Note : j'utilise $\S_6$ et pas $S_6$ car $S_1, S_2, \cdots, S_6$ sont réservés chez toi.
Je reviens sur mon post dans lequel j'ai affecté les sommets dans l'ordre circulaire, post probablement pas clair. Car ce que je n'ai pas dit et qui est fondamental c'est d'abord de placer $S_1$ sur les sommets blancs en respectant la distance 4. Note : ce qui vient est une autre disposition que celle de mon post précédent.
Ensuite, le reste vient tout seul. Et on va affecter aux 15 sommets blancs $A_1, \cdots, A_{15}$ les parties de cardinal 2 de $\{1..6\}$ de la manière suivante (je fais figurer $A_1$ de nouveau à la fin pour simplifier ma programmation).[color=#000000]> Avertices ; [ 12, 46, 13, 24, 36, 45, 26, 35, 16, 23, 15, 34, 25, 14, 56, 12 ] [/color]
Retour sur la symétrie verticale qui n'était pas limpide[color=#000000]> // Symetrie axe vertical > J := [8..1 by -1] cat [15..9 by -1] ; > J ; [ 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9 ] > VerticalSymmetry := Sym(15)!J ; > VerticalSymmetry ; (1, 8)(2, 7)(3, 6)(4, 5)(9, 15)(10, 14)(11, 13) > BJ := PermuteSequence(B, VerticalSymmetry) ; > IsSatisfied(Relations(K), BJ) ; true [/color]
Je me contente de ces extraits car on va finir par saturer la machine qui héberge. -
$\def\F{\mathbb F}\def\Sp{\text{Sp}}\def\S{\mathfrak S}\def\P{\mathbb P}$
$\bullet$ Là je fournis une autre méthode pour obtenir une configuration $15_3$ de Cremona-Richmond : quelque part, 15 points, 15 droites avec 3 points par droite et 3 droites par point. Je m'inspire de la section 9.2 (The dual configuration) de Dolgachev, Abstract configurations in Algebraic Geometry, https://arxiv.org/abs/math/0304258 ou http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/design.pdf
Sauf que j'ai poussé la construction jusqu'au bout. Et je me suis aperçu que le résultat final est bien plus simple que prévu. Avec l'avantage que l'on peut tout court-circuiter (plus de dual) et utiliser un anneau commutatif quelconque $R$ à la base (par exemple $R = \Z$). Plus d'utilisation des espaces vectoriels et on n'a plus à se méfier de la caractéristique.
Tout va se passer dans le sous-espace $V \subset R^6$ de dimension 5 défini par l'équation
$$
V : \quad x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 0
$$On voit que l'action naturelle du groupe symétrique $\S_6$ par permutation des coordonnées de $R^6$ stabilise $V$. Cas particulier de la représentation (irréductible) hyperplane de $\S_n$ (en dimension $n-1$).
$\bullet$ 15 vecteurs particuliers de $V$ indexés par l'ensemble $A$ des 15 parties à $2$ éléments de $\{1..6\}$.[color=#000000]> for a in A do printf "%o -> %o\n", a, Vecteur(a) ; end for ; { 1, 2 } -> (-2 -2 1 1 1 1) { 1, 3 } -> (-2 1 -2 1 1 1) { 1, 4 } -> (-2 1 1 -2 1 1) { 1, 5 } -> (-2 1 1 1 -2 1) { 1, 6 } -> (-2 1 1 1 1 -2) { 2, 3 } -> ( 1 -2 -2 1 1 1) { 2, 4 } -> ( 1 -2 1 -2 1 1) { 2, 5 } -> ( 1 -2 1 1 -2 1) { 2, 6 } -> ( 1 -2 1 1 1 -2) { 3, 4 } -> ( 1 1 -2 -2 1 1) { 3, 5 } -> ( 1 1 -2 1 -2 1) { 3, 6 } -> ( 1 1 -2 1 1 -2) { 4, 5 } -> ( 1 1 1 -2 -2 1) { 4, 6 } -> ( 1 1 1 -2 1 -2) { 5, 6 } -> ( 1 1 1 1 -2 -2) [/color]Je pense que l'on voit clairement quel est le vecteur associé à la partie $\{i,j\}$. Que peut-on remarquer d'autre ? Que la somme des coordonnées est bien nulle. Et que $\S_6$ opère (transitivement) sur ces 15 vecteurs comme il opère sur $A$.
Note : ici, j'utilise $\Z$ comme anneau de base. Je pense qu'en utilisant $\F_2$, on va tomber sur quelque chose en rapport avec $\S_6 \simeq \Sp_4(\F_2)$ (géométrie symplectique sur $\F_2$ en dimension 4). A voir plus tard.
Une autre propriété : la somme des vecteurs sur une 2-2-2-partition de $\{1..6\}$ est nulle.[color=#000000]> Vecteur({1,2}) ; (-2 -2 1 1 1 1) > Vecteur({3,4}) ; ( 1 1 -2 -2 1 1) > Vecteur({5,6}) ; ( 1 1 1 1 -2 -2) > Vecteur({1,2}) + Vecteur({3,4}) + Vecteur({5,6}) ; (0 0 0 0 0 0) [/color]Le bilan : on tient 15 droites indexées par l'ensemble $A$. Et 15 plans indexés par l'ensemble $B$ des 15 2-2-2-partitions de $\{1...6\}$, le plan associé à une 2-2-2-partition étant la somme des droites des parties à 2 éléments de la partition.
Modulo une petite vérification à faire, on tient notre $15_3$-configuration. Avec action de $\S_6$ sur le binz.
On fait semblant de passer en projectif pour avoir une configuration projective (points, droites) au lieu d'une configuration vectorielle (droites, plans). Du point de vue projectif, cela se passe donc dans un $\P^4$ sous-espace d'un $\P^5$ sur lesquels $\S_6$ opère.[color=#000000] > // droite vectorielle <--> point projectif > FifteenPoints := {@ Vecteur(a) : a in A @} ; > // plan vectoriel <--> droite projective > FifteenLines := {@ &+[sub <V | Vecteur(a)> : a in b] : b in B @} ; > > // Configuration 15_3 > [#[point : point in FifteenPoints | point in line] : line in FifteenLines] ; [ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ] > [#[line : line in FifteenLines | point in line] : point in FifteenPoints] ; [ 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ] [/color]Pour l'instant, on ne fait rien avec $\P^4 \subset \P^5$. Mais on verra plus tard si je comprends la section 9.3 de Dolgachev dans laquelle intervient la cubique de Segre $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 + x_5^3 + x_6^3 = 0$.
Ici, on se contente de passer dans un domaine uniquement combinatoire.[color=#000000]> CremonaRichmond, _,_ := LinearSpace <FifteenPoints | {{p : p in FifteenPoints | p in line} : line in FifteenLines}> ; > CremonaRichmond : Maximal ; Linear Space on 15 points with 15 lines Points: {@ (-2 -2 1 1 1 1), (-2 1 -2 1 1 1), (-2 1 1 -2 1 1), (-2 1 1 1 -2 1), (-2 1 1 1 1 -2), ( 1 -2 -2 1 1 1), ( 1 -2 1 -2 1 1), ( 1 -2 1 1 -2 1), ( 1 -2 1 1 1 -2), ( 1 1 -2 -2 1 1), ( 1 1 -2 1 -2 1), ( 1 1 -2 1 1 -2), ( 1 1 1 -2 -2 1), ( 1 1 1 -2 1 -2), ( 1 1 1 1 -2 -2) @} Lines: {(-2 1 1 1 -2 1), ( 1 -2 -2 1 1 1), ( 1 1 1 -2 1 -2)}, {(-2 -2 1 1 1 1), ( 1 1 -2 1 1 -2), ( 1 1 1 -2 -2 1)}, {(-2 -2 1 1 1 1), ( 1 1 -2 1 -2 1), ( 1 1 1 -2 1 -2)}, {(-2 1 -2 1 1 1), ( 1 -2 1 1 -2 1), ( 1 1 1 -2 1 -2)}, {(-2 1 -2 1 1 1), ( 1 -2 1 -2 1 1), ( 1 1 1 1 -2 -2)}, {(-2 1 1 1 -2 1), ( 1 -2 1 1 1 -2), ( 1 1 -2 -2 1 1)}, {(-2 1 -2 1 1 1), ( 1 -2 1 1 1 -2), ( 1 1 1 -2 -2 1)}, {(-2 1 1 1 1 -2), ( 1 -2 -2 1 1 1), ( 1 1 1 -2 -2 1)}, {(-2 1 1 1 1 -2), ( 1 -2 1 1 -2 1), ( 1 1 -2 -2 1 1)}, {(-2 1 1 1 -2 1), ( 1 -2 1 -2 1 1), ( 1 1 -2 1 1 -2)}, {(-2 1 1 -2 1 1), ( 1 -2 1 1 1 -2), ( 1 1 -2 1 -2 1)}, {(-2 1 1 -2 1 1), ( 1 -2 1 1 -2 1), ( 1 1 -2 1 1 -2)}, {(-2 1 1 1 1 -2), ( 1 -2 1 -2 1 1), ( 1 1 -2 1 -2 1)}, {(-2 1 1 -2 1 1), ( 1 -2 -2 1 1 1), ( 1 1 1 1 -2 -2)}, {(-2 -2 1 1 1 1), ( 1 1 -2 -2 1 1), ( 1 1 1 1 -2 -2)} [/color]Pourquoi passer dans un tel modèle combinatoire ? Pardi, pour récupérer notre graphe $\Gamma$ 8-cage de Tutte et son groupe $G$ d'automorphismes, d'ordre 1440.[color=#000000]> Tutte8Cage := IncidenceGraph(CremonaRichmond) ; > G := AutomorphismGroup(Tutte8Cage) ; > assert #G eq 2 * 720 ; [/color]
-
$\def\AGL{\text{AGL}}\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\cT{\mathcal T}\def\cS{\mathcal S}\def\cM{\mathcal M}\def\Int{\text{Int}}$Bonjour LOU16
J'ai lu attentivement (il me semble) ton post. Quel travail !! ``Avec un peu de patience'', tu dis. Chapeau pour un certain nombre d'ingrédients : ton ensemble $\cT$ (c'est bien l'ensemble des 6 pentades de Sylvester, peut-être que l'on en reparlera si on ne sature pas), ta notation $(i,j)^{(k)}$, ...etc.. Bref, je n'ai jamais vu jusqu'à maintenant quelque chose d'aussi ``fini''.
Quelques remarques et/ou questions.
$\bullet$ 1. Dans $\S_5$, le normalisateur d'un sous-groupe d'ordre 5 (donc engendré par un 5-cycle) est un sous-groupe d'ordre 20, isomorphe à $\AGL_1(\F_5) \simeq \F_5 \rtimes \F_5^*$. C'est le coup, dans $\S_{\Z/n\Z}$, du normalisateur du groupe cyclique $\langle x \mapsto x + 1\rangle$, normalisateur qui est le groupe des bijections affines $x \mapsto b + ax$ avec $b \in \Z/n\Z$ et $a \in (\Z/n\Z)^\times$.
Je parle de cela car $20 \times 36 = 720$. Et dans $\S_5$, il y a 6 sous-groupes d'ordre 5, 6 sous-groupes d'ordre 20, qui sont couplés (via l'opération normalisateur). Et les sous-groupes d'ordre 5 (les 5-Sylow) sont conjugués, donc les normalisateurs aussi.
$\bullet$ 2. Dans $\S_6$, on a 6 fois la situation du point précédent. I.e. pour chaque $i = 1, \cdots, 6$, on a 6 groupes d'ordre 20 dans $\S_{\{1..6\} \setminus i}$. Donc en tout 36 sous-groupes d'ordre 20. D'indice 36 dans $\S_6$.
$\bullet$ 3. Il me semble que ta numérotation de l'ensemble $\cT$ est arbitraire. Non ? Contrairement à celle de $\cS$. Je veux dire qu'après tout, tu aurais pu nommer les 6 éléments de $\cT$, disons $T_a, T_b, T_c, T_d, T_e, T_f$. Bien entendu, $T_1, \cdots, T_6$ possède un côté plus pratique.
$\bullet$ 4. Il me semble donc, en ce qui concerne les 36 automorphismes extérieurs involutifs de $\S_6$, qu'ils sont indexés par $\{1..6\} \times \cT$, et que l'on pourrait par exemple parler de $\Theta_{i,T}$ pour $i \in \{1..6\}$, $T \in \cT$. C'est du détail mais je cherche à savoir ce qui ``est intrinsèque''.
$\bullet$ 5. Je crois que pour chaque $i \in \{1..6\}$, il y a une indexation naturelle de $\cT$ par $\cM^{(i)}$ où $\cM^{(i)}$ est l'ensemble des 5-Sylows de $\S_{\{1..6\} \setminus i}$.
Est ce que tu connais le coup des pentagones mystiques ?
Le fixateur de ton $\Theta_{1,1}$, fixateur au sens le sous-groupe de $\S_6$ constitué des $x$ tels que $\Int_x(T_1) = T_1$, doit être un des sous-groupe d'ordre 20 de $\S_{\{1..6\} \setminus 1}$ dont j'ai parlé ci-dessus.
$\bullet$ 6. Un effet de bord sur les relations. Je fais $i=1$ pour me simplifier la vie. Pour toute permutation $\pi$ de $\{2..6\}$ et pour tout $k = 1, \cdots, 6$ :
$$
\text{le système ordonné} \quad (1,\pi(2))^{(k)}, (1,\pi(3))^{(k)}, \cdots, (1,\pi(6))^{(k)} \quad \text{vérifie les mêmes relations que} \quad
(1,2), (1,3), \cdots, (1,6)
$$A priori, ce n'était pas évident. Note : pour $\S_n$, j'ignore quelle est sa présentation par les $n-1$ transpositions $(1,j)$, $2 \le j \le n$.
Encore bravo. On (si je peux me permettre) tient donc 36 automorphismes extérieurs involutifs de $\S_6$, deux à deux conjugués par un automorphisme intérieur de $\S_6$. -
Salut Claude,
Je pensais avoir atteint l'objectif que je m'étais fixé, c'est-à-dire achevé la cartographie des extérieurs de $\text{Aut}(\mathfrak S_6)$ en caractérisant et recensant ses éléments d'ordre $2,\:4,\:6,\: 8,\:10, \: 12$ quand une tuile m'est tombée sur la tête: j'en ai $30$ de trop!
Or je me rends compte que je ne me suis pas vraiment assuré que les $36$ involutions que je prétends avoir trouvées (les $\Theta_{i,k}$) sont distinctes, et que ce serait mieux (pour moi) qu'il n'y en ait que $6$. Est-tu certain qu'il en existe $36$ ?
Je vais d'autre part réfléchir à chacune de tes questions. -
$\def\PG{\text{P}\Gamma\text{L}_2(\F_9)}\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\A{\mathfrak A}\def\P{\mathbb P}\def\Aut{\text{Aut}}$Certain qu'il existe 36 automorphismes extérieurs involutifs de $\S_6$ ? J'ai lu ta preuve mais il est vrai que je n'ai pas vérifié que les $\Theta_{i,k}$ étaient distincts ! En passant, tu comprendras peut-être mieux tout le patacaisse que je fais avec le caractère intrinsèque et la volonté de l'indexation $\Theta_{i,T}$ pour une pentade $T$ de Sylvester.
Par ailleurs, je l'ai vérifié avec magma plusieurs fois, ce qui n'est pas une preuve. Comme j'utilise beaucoup les logiciels de Calcul Formel, je n'ai aucune confiance en eux de sorte que je recoupe les informations (tu ne peux pas imaginer le nombre de bugs que j'ai rencontrés).
Je joue cartes sur table en faisant ci-dessous PLUSIEURS vérifications indépendantes.
Je commence avec le groupe $G$ du graphe 8-cage $\Gamma$ de la configuration $15_3$, groupe réalisé en degré 30 et j'isole le sous groupe $H = G \cap \A_{30}$ car on sait que c'est lui l'image injective de $\S_6 \to G$ via le mécanisme ``automorphisme intérieur''.[color=#000000]> Tutte8Cage := IncidenceGraph(CremonaRichmond) ; > G := AutomorphismGroup(Tutte8Cage) ; > assert #G eq 2 * 720 ; > Degree(G) ; 30 > S6 := Sym(6) ; > S30 := Generic(G) ; > H := G meet sub <S30 | Alt(30)> ; > assert IsIsomorphic(H, S6) ; > {* Order(g) : g in G | g notin H *} ; {* 2^^36, 4^^180, 8^^360, 10^^144 *} [/color]On voit la distribution des ordres des automorphismes extérieurs : 36 d'ordre 2, 180 d'ordre 4, 360 d'ordre 8, 144 d'ordre 10. Avec bien sûr $36+ 180 + 360 + 144 = 720$.
Une deuxième vérification indépendante avec $\PG$, qui est réalisé en degré 10 via la droite projective $\P^1(\F_9)$. Même genre de truc en isolant l'unique sous-groupe d'indice 2 isomorphe à $\S_6$.[color=#000000]> PGammaL2F9 := PGammaL(2, GF(9)) ; > #PGammaL2F9 ; 1440 > Degree(PGammaL2F9) ; 10 > Index2 := Subgroups(PGammaL2F9 : IndexEqual := 2) ; > #Index2 ; 3 > AllH := [data`subgroup : data in Index2] ; > [IsIsomorphic(Hi, S6) : Hi in AllH] ; [ true, false, false ] > H1, H2, H3 := Explode(AllH) ; > {* Order(g) : g in PGammaL2F9 | g notin H1 *} ; {* 2^^36, 4^^180, 8^^360, 10^^144 *} [/color]Même distribution des ordres des ``automorphismes extérieurs'' ici de $\PG \setminus \S_6$.
Troisième vérification en passant par un constructeur $\Aut(\S_6)$ que le logiciel réalise en degré 30.[color=#000000]> AutS6 := AutomorphismGroup(S6) ; > AutS6toG, G := PermutationRepresentation(AutS6) ; > AutS6toG ; Mapping from: GrpAuto: AutS6 to GrpPerm: G > Degree(G) ; 30 > S30 := Generic(G) ; > GtoAutS6 := Inverse(AutS6toG) ; > H := G meet sub <S30 | Alt(30)> ; > assert H eq sub < G | [g : g in G | IsInner(GtoAutS6(g))] > ; > assert IsIsomorphic(H, S6) ; > {* Order(g) : g in G | g notin H *} ; {* 2^^36, 4^^180, 8^^360, 10^^144 *} [/color]Même distribution des ordres.
Quatrième vérification. Quand tu fais de la théorie de Galois explicite, c'est bon d'avoir les tables des sous-groupes transitifs en degré $\le n$ pour $n$ assez petit (disons $n \le 15$). Je sais que la table $T_{10}$ des 45 sous-groupes TRANSITIFS de $\S_{10}$ suffit ICI à nos besoins.
Notre groupe $G = \Aut(S_6)$ est réalisé de manière transitive en degré 10 de la manière suivante. $S_6$ agit transitivement sur les 10 3-3-partitions de $\{1..6\}$. D'où une représentation injective $\S_6 \to \S_{10}$ dont je note $\Sigma_6$ l'image.
Je sais que le normalisateur $N_{\S_{10}}(\Sigma_6)$, c'est notre groupe $G$. Immense avantage de procéder ainsi : les divers sous-groupes qui interviennent dans notre histoire sont réalisés en degré 10. Note : on comprend mieux si on a la table $T_{10}$ sous le nez, ce qui est mon cas.[color=#000000]> p33 := {{1,2,3}, {4,5,6}} ; > X10 := GSet(S6, {p33}) ; > G72 := Stabiliser(S6, X10, p33) ; > S6toS10, S6_10, ker := CosetAction(S6, G72) ; > > S10 := Generic(S6_10) ; > N := Normaliser(S10, S6_10) ; > assert IsIsomorphic(N, G) ; > {* Order(g) : g in N | g notin S6_10 *} ; {* 2^^36, 4^^180, 8^^360, 10^^144 *} [/color]Même distribution des ordres des éléments de $N \setminus \Sigma_6$. -
Re
Ok. Merci bien pour la multiplicité des arguments déployés en faveur de $36$.. Je recherche ce qui ne va pas dans ma "cartographie". -
$\def\AGL{\text{AGL}}\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\cP{\mathcal P}\def\cT{\mathcal T}\def\cS{\mathcal S}\def\cM{\mathcal M}\def\Int{\text{Int}}\def\Si{\S_{\{1..6\} \setminus i}}$Bonjour LOU16
Ton travail a donné naissance à une organisation structurelle des 36 automorphismes extérieurs involutifs de $\S_6$, que je résume ci-dessous. Cela m'a permis de me rendre compte de mes erreurs de stratégie du passé (il y a 3 ans). Du coup, j'ai recommencé une nouvelle programmation en mettant l'ancienne à la poubelle. En moins d'une heure, c'était implémenté de manière structurée, ce qui prouve pour moi la pertinence de ton point de vue, modulo un petit aménagement. Note : rien vu de tel dans la littérature.
J'utiliserai deux notations pour l'ensemble des 6 pentades de Sylvester : $\cT$ pour toi, $\cP$ pour moi. Que surtout je ne numérote pas avec les entiers de 1 à 6. J'en rappelle la définition dans les images attachées.
Il y a une correspondance biunivoque CANONIQUE entre les quatre $\S_6$-ensembles (à gauche) ci-dessous, de cardinal 36. Je ne décris pas l'action de $\S_6$ qui est naturelle (souvent par conjugaison).
I. La classe de conjugaison des sous-groupes $C$ d'ordre 5 de $\S_6$. Note : il existe un seul $i \in \{1..6\}$ tel que $C \subset \Si$ et $C$ est engendré par un 5-cycle. Je noterai $\cM^{(i)}$ l'ensemble des 6 sous-groupes d'ordre 5 de $\Si$, l'utilisation du symbole $\cM$ pour allusion aux maisons du passé.
II. La classe de conjugaison des sous-groupes $N$ d'ordre 20 de $\S_6$. Note : on a $N \simeq \AGL_1(\F_5)$ et il existe un seul $i$ tel que $N \subset \Si$.
III. L'ensemble $\{1..6\} \times \cT$ où $\cT = \cP$ est l'ensemble des 6 pentades de Sylvester.
IV. UN ensemble de 36 automorphismes extérieurs involutifs de $\S_6$
Je vais juste évoquer ici comment on passe de l'un à l'autre, de manière incomplète et sans rentrer dans les détails. De I à II, c'est facile : il s'agit du normalisateur $C \mapsto N = N_{\S_6}(C)$.
Une étape importante pour moi à été d'aménager quelque chose du passé pour obtenir une bijection
$$
\cM^{(i)} \to \cT \simeq \{i\} \times \cT \qquad \qquad \text{cf la deuxième page attachée} \qquad \qquad (\heartsuit)
$$ Passer de III à V, c'est ton travail d'indexation $\Theta_{i,T}$ avec $i \in \{1..6\}$ et $T \in \cT$.
Quand je dis que la structure de $\S_6$-ensembles à gauche est respectée, cela signifie des égalités du type
$$
\sigma \ \Theta_{i,T} \ \sigma^{-1} = \Theta_{\sigma(i), \sigma(T)} \qquad\qquad \sigma \in \S_6
$$Le fixateur de $\Theta_{i,T}$ sous l'action par conjugaison de $\S_6$ est le normalisateur $N_{\S_6}(C)$ où $C$ est le groupe d'ordre 5 correspondant à $(i,T)$ au sens suivant : $\cM^{(i)} \ni C \leftrightarrow T \in \cT$ dans la bijection $(\heartsuit)$.
C'est juste un aperçu de l'organisation. On peut maintenant espérer une description encore plus directe puisque l'on voit le rôle des sous-groupes d'ordre 5 de $\S_6$. J'attache 2 pages d'un brouillon en cours. -
Bonsoir Claude,
J'ai vérifié que les $36 "\Theta _{i,k} "$ étaient bien distincts et ai trouvé ce qui clochait dans ma classification.
J'en ai aussi profité pour mettre la main sur $144$ éléments d'ordre $10$, appartenant à $\text{Aut}(\mathfrak S_6)\setminus \text{Int}(\mathfrak S_6).$ Il y a dans ce qui suit quelques recoupements avec le contenu de ton dernier message que j'ai lu avec intérêt.
$\mathfrak S_6$ opère transitivement sur $\mathcal T = \{T_a,T_b,T_c,T_d,T_e,T_f\}$ par automorphismes intérieurs et $ \quad \forall k \in \{a,b,c,d,e,f\}, \:\quad \text{Stab}_{\mathfrak S_6} (T_k) \simeq \mathfrak S_5.$
Je note $\mathcal P_k = \{ \sigma \in\text{Stab}_{\mathfrak S_6} (T_k) \mid \text{Ord}(\sigma) = 5 \}.\qquad $Alors: $\:\:\#\mathcal P_k = 24.$
$\forall i \in [\![1;6]\!],\:\:$ je note $ \mathcal P_{i,k} = \{ \sigma_x \in \mathcal P_k \mid x(i) = i\}. \:\:$ Alors: $\boxed{\# (\mathcal P_{i,k} )=4} ,\:\:\quad \mathcal P_{i,k} \cup \{\text{Id} \} \: \text{est un } \:5 \text{-sous-groupe de }\:\text{Stab}_{\mathfrak S_6} (T_k).$
$$\boxed{ \forall i \in [\![1;6]\!],\:\: \forall k \in \{a,b,c,d,e,f\}, \:\: \forall \sigma \in \mathcal P_{i,k},\quad \left( \sigma \circ \Theta_{i,k}\right)\: \:\text{est d'ordre} \:10\:\text{dans}\:\:\text{Aut}(\mathfrak S_6).}$$
En effet: soit $ \sigma_x \in \mathcal P_{i,k},\:\: x\in \mathfrak S_6, \:\: \text{Ord}(x) = 5, \:\: \: x(i) = i.$
$\forall j \: \in [\![1;6]\!] \setminus \{i \}, \qquad \left ( \sigma_x \circ \Theta _{i,k} \right ) (i,j) = \sigma_x \left (i,j) ^{(k)} \right )= ( i ,x(j))^{(k)},\quad \left ( \sigma_x \circ \Theta _{i,k} \right ) ^2 (i,j) = \sigma_ x \left(( i, x(j) \right) = \left(i, x^2 (j) \right).$ -
$\def\S{\mathfrak S}\def\cT{\mathcal T}$Merci, je vais étudier ton post (en général, cela me prend pas mal de temps). Quelques petites choses.
$\bullet$ Rien ne dit que deux automorphismes extérieurs d'ordre 10 de $\S_6$ sont conjugués par un automorphisme intérieur de $\S_6$. Si ??
$\bullet$ De mon côté, je n'ai pas à vérifier que les $\Theta_{i,T}$ pour $1 \le i \le 6$ et $T \in \cT$, sont deux à deux distincts car je connais le fixateur de $\Theta_{i,T}$.
Note : je ne sais pas prouver que $\Theta_{i,T}$ est involutif autrement qu'en faisant le calcul.
Et je ne sais pas prouver non plus qu'un automorphisme extérieur involutif de $\S_6$ est un $\Theta_{i,T}$. Tu en es où dans cette histoire ?
$\bullet$ La première fois que j'ai vu la définition d'une pentade, j'avais du mal à me convaincre que cela existait. Et surtout qu'il y en avait exactement 6. As tu un argument pour un débutant en pentades ?
Et comment prouver (toujours pour un débutant) que deux pentades distinctes sont d'intersection réduite à un singleton ? Et que toute 2-2-2-partition appartient exactement à deux pentades ?
$\bullet$ La construction qui a un 5-cycle de $\S_6$ associe une pentade $T$[color=#000000]> c5 := S6!(1,3,2,5,4) ; > T := CycleToPentad(c5) ; > StringDrawing(T) ; <[ 13, 24, 56 ], [ 16, 25, 34 ], [ 15, 23, 46 ], [ 14, 26, 35 ], [ 12, 36, 45 ]> > TripleTranspositionDrawing(T) ; <(1, 3)(2, 4)(5, 6), (1, 6)(2, 5)(3, 4), (1, 5)(2, 3)(4, 6), (1, 4)(2, 6)(3, 5), (1, 2)(3, 6)(4, 5)> [/color]
$\bullet$ Je me suis permis, à deux reprises, de t'emprunter ton nom (minuscule, majuscule) pour des identificateurs de fonctions. Je passe beaucoup de temps à trouver des noms pertinents d'objets.[color=#000000]> i := 3 ; > Lou16(i, T) ; Automorphism of GrpPerm: S6, Degree 6, Order 2^4 * 3^2 * 5 induced by (1, 2) |--> (1, 4)(2, 5)(3, 6) (1, 2, 3, 4, 5, 6) |--> (1, 2)(3, 6, 4) > LOU16(i, T) ; Automorphism of GrpPerm: S6, Degree 6, Order 2^4 * 3^2 * 5 induced by (1, 3) |--> (1, 3)(2, 4)(5, 6) (2, 3) |--> (1, 5)(2, 3)(4, 6) (3, 4) |--> (1, 6)(2, 5)(3, 4) (3, 5) |--> (1, 4)(2, 6)(3, 5) (3, 6) |--> (1, 2)(3, 6)(4, 5) > Lou16(i,T) eq LOU16(i,T) ; true [/color]$\bullet$ La propriété de conjugaison. Faire gaffe à gauche-droite, à la composition qui est à l'envers de nous autres $\theta * \theta'$ c'est $\theta' \circ \theta$.[color=#000000]> sigma := Random(S6) ; > Int(sigma^-1) * Lou16(i,T) * Int(sigma) eq Lou16(i^sigma, T^sigma) ; true [/color]
$\bullet$ A un moment donné, j'ai parlé de la présentation de $\S_n$ par les $n-1$ transpositions $(1,2), (1,3), \cdots, (1,n)$. Juste pour sécuriser ma programmation car je n'ai pas trouvé comment demander au logiciel de m'empêcher de faire ce qui suit. Je n'apprécie pas du tout qu'il laisse élaborer un prétendu isomorphisme qui transforme un élément d'ordre 6 en un élément d'ordre 2 et vice-versa.[color=#000000]> S6.1 ; (1, 2, 3, 4, 5, 6) > S6.2 ; (1, 2) > > bidon := iso < S6 -> S6 | S6.1 -> S6.2, S6.2 -> S6.1 > ; > bidon(S6.1) ; (1, 2) [/color]
-
$\def\AGL{\text{AGL}}\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\cP{\mathcal P}\def\cT{\mathcal T}\def\cS{\mathcal S}\def\cM{\mathcal M}\def\Int{\text{Int}}\def\Si{\S_{\{1..6\} \setminus i}}\def\Int{\text{Int}}\def\Stab{\text{Stab}}\def\PGL{\text{PGL}}\def\P{\mathbb P}$Salut LOU16
J'ai étudié ton post sur les automorphismes extérieurs de $\S_6$ d'ordre 10. C'est ok. Encore une fois bien joué. J'apporte, pour moi, des mini-précisions (facile quand on passe derrière les autres) en gardant un peu près tes notations sauf pour $\Int$ (automorphisme intérieur) : $\Int_x = x\bullet x^{-1}$. Et je vais éviter la sur-indexation qui me semble inutile en disant soit $T \in \cT$ (une pentade de Sylvester)
$\bullet$ Dans $\S_6$, il y a 2 classes de conjugaison de sous-groupes d'ordre 120 (i.e. d'indice 6), chaque classe étant de cardinal 6 et isomorphes à $\S_5$.
$\blacktriangleright$ Il y a la première classe ``facile'' indexée par les entiers de 1 à 6 : les $\Si$, isomorphes à $\S_5$.
$\blacktriangleright$ La deuxième classe est plus subtile car il s'agit des ``fameux exemplaires'' de $\S_5$ dans $\S_6$ qui sont transitifs. On ne peut pas indexer cette classe par $1, \cdots, 6$ de manière intelligente. Une manière de voir cette classe est de penser à $\PGL_2(\F_5) \simeq \S_5$ agissant (transitivement) sur la droite projective $\P^1(\F_5)$. Je dis transitivement mais c'est plus que cela : 3-transitivement strictement. On peut bien sûr faire la chose suivante en mettant en bijection $\{1..6\}$ et $\P^1(\F_5) = \F_5 \vee \{\infty\}$ de manière artificielle :
$$
1 \leftrightarrow 0, \quad 2 \leftrightarrow 1, \quad 3 \leftrightarrow 2, \quad 4 \leftrightarrow 3, \quad 5 \leftrightarrow 4, \quad 6 \leftrightarrow \infty
$$mais cela ne fait pas avancer l'indexation de cette classe.
Et quand tu écris $\Stab_{\S_6}(T) \simeq \S_5$, il s'agit de la deuxième classe ci-dessus. Et on voit que la deuxième classe est indexée par l'ensemble $\cT$ des 6 pentades de Sylvester.
$\bullet$ Tu as fait intervenir $\Si \cap \Stab_{\S_6}(T)$ pour $i \in \{1..6\}$ et $T \in \cT$. On retombe sur les $6 \times 6 = 36$ sous-groupes d''ordre 20 de $\S_6$, isomorphes à $\AGL_1(\F_5)$. Chacun d'entre eux contient un unique sous-groupe d'ordre 5 disons $C_{i,T}$, $C$ pour cyclique d'ordre 5. Encore fois comme tu as dit ``recoupements avec mon post'' car voici les 36 sous-groupes d'ordre 5 de $\S_6$ qui se pointent.
Et ce que tu as montré c'est que :
$$
(\Int_x \circ \Theta_{i,T})^2 = \Int_{x^2} \qquad \forall \ x \in C_{i,T} \setminus \text{Id}
$$D'où l'ordre 10 pour $\Int_x \circ \Theta_{i,T}$. Et $144 = 4\times 36$. Note : on a $\Int_x \circ \Theta_{i,T} = \Theta_{i,T} \circ \Int_x$.
La vérification est certes facile. Mais le principal problème était de faire débarquer ces acteurs. Jolie pièce. Merci ! -
$\def\AGL{\text{AGL}}\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}\def\cP{\mathcal P}\def\cT{\mathcal T}\def\cS{\mathcal S}\def\cM{\mathcal M}\def\Int{\text{Int}}\def\Si{\S_{\{1..6\} \setminus i}}\def\Int{\text{Int}}\def\Stab{\text{Stab}}\def\PGL{\text{PGL}}\def\P{\mathbb P}\def\XX#1{(\P^1)^{#1}/\kern-3pt/\PGL_2} \def\YY#1{(\P^2)^{#1}/\kern-3pt/\PGL_3} \def\ZZ#1{(\P^3)^{#1}/\kern-3pt/\PGL_4}\def\cC{\mathcal C}$Encore une manifestation du nombre 6 que je tiens de la section 1.2 du papier http://math.stanford.edu/~vakil/files/sixjan2308.pdf. Les auteurs racontent que dans l'étude de l'espace $\XX{n}$ des $n$ points de $\P^1$, il y a quelque chose de spécial pour $n=6$. Idem en remplaçant $\P^1$ par $\P^2$ ou $\P^3$. Le papier est essentiellement consacré à $\XX{6}$ et également à $\YY{6}$ et $\ZZ{6}$.
On va dire que je n'ai pas compris grand chose pour l'instant, juste la section 1.2. Il y est question de l'ensemble $\cC_{6,3}$ des parties de cardinal 3 de $\{1..6\}$ et des bipartitions équitables de $\cC_{6,3}$. Cet ensemble de parties est de cardinal $\binom{6}{3} = 20$. Et le truc magique, c'est qu'il y a 6 bipartitions équitables.
C'est quoi une bipartition équitable ? Une bicoloration équitable est une application $c : \cC_{6,3} \to \{\pm 1\}$ qui vérifie deux propriétés que j'illustre :[color=#000000]> c5 ; (1, 4, 6, 3, 2) > c := Color(c5) ; > c ; Mapping from: SetEnum: C63 to { -1, 1 } given by a rule [no inverse] > Plus := [I : I in C63 | c(I) eq 1] ; > Moins := [I : I in C63 | c(I) eq -1] ; > Plus ; [ { 1, 3, 6 }, { 4, 5, 6 }, { 1, 3, 4 }, { 1, 2, 6 }, { 1, 2, 5 }, { 2, 4, 6 }, { 3, 5, 6 }, { 2, 3, 4 }, { 1, 4, 5 }, { 2, 3, 5 } ] > Moins ; [ { 1, 3, 5 }, { 2, 3, 6 }, { 1, 4, 6 }, { 1, 2, 3 }, { 1, 5, 6 }, { 3, 4, 5 }, { 1, 2, 4 }, { 2, 4, 5 }, { 2, 5, 6 }, { 3, 4, 6 } ] [/color]Equitable signifie d'abord que, $I \in \cC_{6,3}$, en notant $\overline I = \{1..6\} \setminus I$, que $I$ et $\overline I$ ont des couleurs distinctes.[color=#000000]> // Si I est +, alors son complémentaire dans {1..6} est - > [{1..6} diff I in Moins : I in Plus] ; [ true, true, true, true, true, true, true, true, true, true ] [/color]Et ensuite que dans tout ``tétraèdre'' de $\{1..6\}$, il y a une répartition équitable des signes pour ses 4 ``triangles''.[color=#000000]> // Distribution équitable de signes des 4 parties de cardinal 3 de tout "tétraèdre" T de {1..6} i.e. #T=4 > T := RandomSubset({1..6}, 4) ; > T ; { 2, 3, 4, 6 } > Ttriangles := Subsets(T,3) ; > Ttriangles ; { { 3, 4, 6 }, { 2, 3, 6 }, { 2, 3, 4 }, { 2, 4, 6 } } > [c(I) : I in Ttriangles] ; [ -1, -1, 1, 1 ] [/color]Et il y a $2 \times 6$ bicolorations équitables d'où 6 bipartitions équitables en identifiant $c$ et $-c$.
On fabrique une bicoloration équitable $c_\tau$ à partir d'un 5-cycle $\tau$ de $\S_6$ en deux temps. Je note $k \in \{1..6\}$ le point fixe de $\tau$, $ij$ une partie de cardinal 2 du support de $\tau$ et ci-dessous $I$ est une partie de cardinal 3 de $\{1..6\}$.
$$
\varepsilon_{\tau}(ij) = \cases {+1 &si $j = \tau^{\pm 1}(i)$ \cr -1 &si $j=\tau^{\pm 2}(i)$}
\qquad\qquad
c_{\tau}(I) = \cases {\varepsilon_\tau(I \setminus k) &si $k \in I$ \cr -\varepsilon_{\tau}(\{1..6\} \setminus(k \cup I)) &si $k \notin I$}
$$On obtient ainsi, via les 5-cycles de $\S_6$ beaucoup de bipartitions équitables de $\cC_{6,3}$. Mais en fait pas tant que cela : 6 exactement !! -
Bonjour.
\[\begin{array}{cc|rrrrrrrr|rrrrr}
& cla & 0 & 1 & 9 & 7 & 5 & 8 & 2 & 10 & 4 & 6 & 3 & 12 & 11\\
& char & 0 & 4 & 10 & 7 & 2 & 9 & 6 & 11 & 1 & 3 & 8 & 5 & 12\\
& \# & 1 & 45 & 80 & 90 & 144 & 30 & 90 & 240 & 36 & 144 & 180 & 180 & 180\\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
2 & \sigma & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\
4 & \mu & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
3 & \sigma\mu & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\
\hline 5 & PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\
8 & \sigma PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
6 & \mu PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1\\
7 & \sigma\mu PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
\hline 9 & 9 & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
10 & \mu9 & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hline 11 & B & 16 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0\\
12 & \sigma B & 16 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0 & 0 & 0\\
\hline 13 & D & 20 & -4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\]
Cordialement, Pierre. -
$\def\P{\mathbb P}\def\S{\mathfrak S}\def\C{\mathcal C}\def\F{\mathbb F}\def\Sp{\text{Sp}}$Salut Pierre. Cela a de la gueule ! Et le tableau avant la figure, on peut le comprendre ?
Ci-dessous, je vais parler d'une configuration $(15_4, 10_6)$ que je tire de la section 9.3 de Dolgachev (Abstract configurations in algebraic geometry) in http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/design.pdf ou https://arxiv.org/abs/math/0304258. Mais cela va être triste car c'est en noir et blanc.
Cela se passe dans $\P^5_{(x_1:x_2:x_3:x_4:x_5:x_6)}$ (en fait dans un $\P^4$ plongé dans $\P^5$). Il y a d'une part
$$
\text{15 plans du type} \ x_1 + x_2 = x_3 + x_4 = x_5 + x_6
\qquad\qquad\quad
\text{10 points du type} \ (1 : 1 : 1 : -1 : -1 : -1)
$$Et chaque plan contient 4 points tandis que chaque point est contenu dans 6 plans et c'est pour cela que l'on parle d'une $(15_4, 10_6)$-configuration.
Quand je dis du type, cela veut dire que les 15 plans sont indexés par l'ensemble $B$ des 15 2-2-2 partitions de $\{1..6\}$ sur lequel $\S_6$ opère transitivement.[color=#000000]> // Type x_1 + x_2 = x_3 + x_4 = x_5 + x_6 = 0 > Plan := func < b | Scheme(P5, [&+x[J] where I is SetToSequence(J) : J in b]) > ; > b := Random(B) ; > b ; { { 2, 5 }, { 3, 4 }, { 1, 6 } } > Plan(b) ; Scheme over Integer Ring defined by x2 + x5, x3 + x4, x1 + x6 > Ambient(Plan(b)) ; Projective Space of dimension 5 over Integer Ring Variables: x1, x2, x3, x4, x5, x6 [/color]Et les points sont indexés par l'ensemble $C_{63}$ des 20 parties de cardinal 3 de $\{1..6\}$. Mais en fait, projectif oblige, par l'ensemble 10 3-3-partitions de $\{1..6\}$ sur lequel $\S_6$ opère transitivement : $I$ et son complémentaire $\overline I = \{1..6\} \setminus I$ fournissent le même point projectif.[color=#000000]> Point := func < I | SegreCubic![i in I select 1 else -1 : i in [1..6]] > ; > I := Random(C63) ; > I ; { 1, 3, 5 } > Point(I) ; (-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1) [/color]On voit bien que tout ce petit monde vit dans le sous-espace $\P^4$ défini par $x_1 + \cdots + x_6 = 0$. Mais c'est préférable de se mettre dans $\P^5$ pour y faire agir $\S_6$ par permutation des coordonnées.
Les 10 points sont les points singuliers d'une cubique dite de Segre définie par $x_1 + \cdots + x_6 = 0$ et $x_1^3 + \cdots + x_6^3 = 0$.[color=#000000]> SegreCubic ; Scheme over Integer Ring defined by x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6, x1^3 + x2^3 + x3^3 + x4^3 + x5^3 + x6^3 > Ambient(SegreCubic) ; Projective Space of dimension 5 over Integer Ring Variables: x1, x2, x3, x4, x5, x6 > > J := JacobianMatrix([s1, s3]) ; > J ; [ 1 1 1 1 1 1] [3*x1^2 3*x2^2 3*x3^2 3*x4^2 3*x5^2 3*x6^2] [/color]
Si on vire le 3, on voit bien que le lieu singulier (mineurs $2 \times 2$ de la matrice Jacobienne) est défini par les $x_i^2 = x_j^2$. Le 3 vient du fait que j'ai monté $\P^5$ sur $\Z$.
Et on fait quoi avec cela ? D'abord vérifier le $15_4$ et le $10_6$. Note : $15 \times 4 = 10 \times 6$.[color=#000000]> SegrePoints := {@ P5 ! Point(I) : I in C63 @} ; > #SegrePoints ; 10 > SegrePoints[1..4] ; {@ (1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1) @} > SegrePoints[5..7] ; {@ (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1) @} > SegrePoints[8..10] ; {@ (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1) @} > > [#[p : p in SegrePoints | p in Plan(b)] : b in B] ; [ 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4 ] > [#[b : b in B | p in Plan(b)] : p in SegrePoints] ; [ 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ] [/color]Elaboration d'un design (je crois que c'est comme cela que l'on dit)[color=#000000]> C, _,_ := IncidenceStructure <SegrePoints | {{p : p in SegrePoints | p in Plan(b)} : b in B}> ; > C : Maximal ; Incidence Structure on 10 points with 15 blocks Points: {@ (1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1) @} Blocks: {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1)}, {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1)}, {(-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : -1 : -1 : 1 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : -1 : 1 : 1)}, {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : -1 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : -1 : 1 : 1)}, {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1)}, {(1 : -1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : -1 : 1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1)}, {(1 : 1 : -1 : -1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1 : 1 : -1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1 : -1 : 1)} [/color]Et on termine par le graphe biparti de la configuration (il me semble, avait dit Math Coss, que l'on dit graphe de Levi). Et son groupe d'automorphismes, qui est $\S_6$ comme attendu.[color=#000000]> Gamma := IncidenceGraph(C) ; > G := AutomorphismGroup(Gamma) ; > assert IsIsomorphic(G, S6) ; [/color]
J'avais prévenu : noir et blanc, tristounet. Il y aura peut-être une suite si je comprends la section 9.7 où intervient également du $(15_4, 10_6)$ mais avec cette fois du symplectique en dimension 4 sur $\F_2$ avec en prime un isomorphisme $\S_6 \simeq \Sp_4(\F_2)$. -
@Claude.
gr=gg.automorphism_group() cl=gr.conjugacy_classes() M = gr.character_table()
La commande conjugacy_classes fournit les classes dans un certain ordre. Lorsque l'on modifie cet ordre, il vaut mieux garder trace de l'ancien, pour pouvoir continuer à causer avec l'ordinateur. C'est la rubrique cla.
\[ \begin{array}{rrccrc} cla & ord & \sigma & proto & \#\\ \hline 0 & 1 & +1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & +1 & \tau\left[6\times2\right] & 45\\ 9 & 3 & +1 & [5\times3][4\times3] & 80\\ 7 & 4 & +1 & \tau\left[2,4,4,4\right] & 90\\ 5 & 5 & +1 & \tau\left[3\times5\right] & 144 & 360\\ \hline 8 & 2 & +1 & \left[6\times2\right]\left[4\times2\right] & 30\\ 2 & 4 & +1 & \tau\left[2,4,4,4\right] & 90\\ 10 & 6 & +1 & [3,6,6][2,3,3,6] & 240 & 360\\ \hline\hline 4 & 2 & -1 & 15\times2 & 36\\ 6 & 10 & -1 & 3\times10 & 144\\ 3 & 8 & -1 & 2,4,3\times8 & 180 & 360\\ \hline 12 & 4 & -1 & 3\times2,6\times4 & 180\\ 11 & 8 & -1 & 2,4,3\times8 & 180 & 360 \end{array} \]
La colonne proto liste les prototypes.$
\def\S{\mathfrak{S}}
\def\ptv{~;~}
$ On voit que les éléments de $\ker\sigma$ appartiennent à $\S\left(A\right)\times\S\left(B\right)$ tandis que les cycles des autres éléments sont des entrelacs d'éléments de $A$ et de $B$, sont donc de longueur paire, de signature $-1$ et sont en nombre impair pour assurer la signature globale..
La commande character_table ordonne les classes dans un certain ordre (c'est pas le même). Lorsque l'on modifie cet ordre, .... C'est la rubrique char. On sait que le carré scalaire d'une colonne est le quotient de l'effectif total par l'effectif de la classe concernée. Cela donne $\#$. Cela est bien utile pour identifier les classes.
Les représentations (lignes) arrivent déja triées par dimension. On identifie 1. Que l'on appelle 1. Puis la signature et le facteur tarentulique mercerisé que l'on note $\sigma,\mu$. Comme il se doit $\sigma\mu$ est aussi un caractère. Ceci est lié aux sous-groupes d'ordre 2 d'indice 2, qui sont: \[ G6=\left[\left[720,763\right],\text{{S6}}\right]\ptv PGL(2,9)=\left[\left[720,764\right],\text{{A6:C2}}\right]\ptv\left[\left[720,765\right],\text{{A6.C2}}\right] \]
Puis on vérifie que les autres représentations se répliquent en multipliant par les caractères scalaires.
Cordialement, Pierre.
Edit: utiliser "ordre" à la place de "indice", cela fait désordre ! -
Pierre,
Merci. Je vais essayer de comprendre et de m'y retrouver. Je n'avais pas pensé aux représentations irréductibles du groupe $G = \text{Aut}(\mathfrak S_6)$. Note : tu as dit ``sous-groupes d'ordre 2'' mais tu voulais dire ``sous-groupes d'indice 2''. Je vois que divers logiciels se sont alignés sur un certain standard : sous magma, les numéros $763, 764, 765$ sont bien ceux dans la liste des 840 groupes d'ordre 720.
Voici sous mon logiciel comment est rangée la table des caractères irréductibles de $G$.[color=#000000]> #G ; 1440 > CharacterTable(G) ; Character Table of Group G -------------------------- ------------------------------------------------------ Class | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Size | 1 30 36 45 80 90 90 180 144 240 180 180 144 Order | 1 2 2 2 3 4 4 4 5 6 8 8 10 ------------------------------------------------------ p = 2 1 1 1 1 5 4 4 4 9 5 6 6 9 p = 3 1 2 3 4 1 6 7 8 9 2 11 12 13 p = 5 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 11 12 3 ------------------------------------------------------ X.1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X.2 + 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 X.3 + 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 X.4 + 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 X.5 + 9 -3 -1 1 0 1 1 -1 -1 0 1 1 -1 X.6 + 9 3 1 1 0 1 -1 -1 -1 0 -1 1 1 X.7 + 9 3 -1 1 0 1 -1 1 -1 0 1 -1 -1 X.8 + 9 -3 1 1 0 1 1 1 -1 0 -1 -1 1 X.9 + 10 2 0 2 1 -2 2 0 0 -1 0 0 0 X.10 + 10 -2 0 2 1 -2 -2 0 0 1 0 0 0 X.11 + 16 0 -4 0 -2 0 0 0 1 0 0 0 1 X.12 + 16 0 4 0 -2 0 0 0 1 0 0 0 -1 X.13 + 20 0 0 -4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 [/color]
-
$\def\S{\mathfrak S}\def\Aut{\text{Aut}}$Pierre.
Ok, je pense que je comprends. Le caractère que tu notes $\sigma$ (la signature), je le note dans mes affaires $\varepsilon_{30}$ car cela vient (pour moi) de la réalisation $G \hookrightarrow \S_{30}$, le 30 de $\#A + \#B$.
Et il y a une ``autre signature'' qui provient de la réalisation $G \hookrightarrow \S_{10}$, le 10 des 10 3-3-partitions de $\{1..6\}$, caractère que je note bêtement $\varepsilon_{10}$. Et ton $\mu$ (la tarentule) c'est $\varepsilon_{30}\varepsilon_{10}$.
Autre chose : des goodies de Philippe Caldero in http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/S6.pdf. Dix pages de goodies sur la table des caractères de $\S_6$ avec tableaux de Young et tout le toin-toin. -
$\def\P{\mathbb P}\def\F{\mathbb F}\def\cS{\mathcal S}\def\S{\mathfrak S}$Ici une configuration $(15_6, 10_9)$, $15 \times 6 = 10 \times 9 = 90$. Liée (un peu) à la configuration $(15_4, 10_6)$, $15 \times 4 = 10 \times 6 = 60$ dont j'ai parlé dans mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1965898,1975566#msg-1975566
Y'en a marre des configurations ? Je comprends bien mais c'est quand même un peu (beaucoup) la faute à Math Coss car c'est lui le premier qui a parlé ``configurations''. Moi, je n'aimais pas cela du tout les configurations (je connaissais à peine). Mais comme il fallait bien faire quelque chose en cette période.
$\bullet$ Cela se passe toujours dans $\P^5_{(x_1 : \cdots : x_6)}$ avec $\S_6$ qui agit par permutation des coordonnées. 15 : il s'agit des 15 hyperplans $H_{ij}$, famille indexée par l'ensemble des parties à 2 éléments de $\{1..6\}$ :
$$
H_{ij} : \quad x_i + x_j = 0
$$Quant au 10, il s'agit des 10 points singuliers de la cubique de Segre $\cS_3$, points du type de droite, famille indexée par les 10 3-3-partitions de $\{1..6\}$
$$
\cS_3 : \left\{
\begin {array}{c}
x_1 + \cdots + x_6 = 0 \\
x_1^3 + \cdots + x_6^3 = 0 \\
\end {array}
\right.
\qquad\qquad \qquad (1 : 1 : 1 : -1 : -1 : -1)
$$Of course, $\S_6$ agit sur ce binz. Le lien : les plans du post pointé, indexés par les 2-2-2 partitions de $\{1..6\}$, sont intersections de 3 hyperplans ici. Car par définition :
$$
P_{12,34,56} =_{\rm def} H_{12} \cap H_{34} \cap H_{56}
$$ $\bullet$ La relation d'incidence ici, c'est simplement un point appartient à un hyperplan.
$\blacktriangleright$ Tout point appartient à 9 hyperplans. Le 9, c'est $9 = 3 \times 3$ :
$$
(1 : 1 : 1 : -1 : -1 : -1) \in H_{ij} \qquad 1 \le i \le 3, \quad 4 \le j \le 6
$$$\blacktriangleright$ Tout hyperplan contient 6 points singuliers de $\cS_3$. Le 6, c'est $\binom{4}{2}$ des parties à 2 éléments d'un ensemble à 4 éléments. Par exemple, $H_{56}$ contient les points du type $p_{23}$ ci-dessous. On fige la composante $5$ en $1$, $6$ en $-1$ parce que $H_{56}$. Et ensuite du $\pm 1$ dans les 4 premières composantes : deux $+1$ et deux $-1$ pour obtenir l'appartenance à $H_{56} \cap \cS_3$ :
$$
p_{23} = (1 : -1 : -1 : 1 : 1 : -1) = (1_1 : -1_2 : -1_3 : 1_4 : 1_5 : -1_6)
$$Vous suivez ?
$\bullet$ Un bonus (?). L'intersection d'un hyperplan avec la cubique de Segre est la réunion de 3 plans au sens suivant :
$$
H_{12} \cap \cS_3 = P_{\underline {12}, 34, 56} \cup P_{\underline {12}, 35, 46} \cup P_{\underline {12}, 36, 45}
$$Exercice.
Ci-dessus, c'est du petit lait. Bon en ce moment, quand je vois 6 et/ou $\S_6$, je dégaine. Qu'est ce que je vois en 8.2 de Dolgachev (Abstract configurations in algebraic geometry) in https://arxiv.org/pdf/math/0304258.pdf : The double-six. J'attache.
Mais là, je vais avoir besoin d'un coup de main. Les 27 droites dans la surface cubique $x_0^3 + x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0$ de $\P^3$, DEFINIES sur le corps de base de caractéristique 2, ça c'est facile : il suffit de prendre $\F_4 = \F_2(j)$ avec $j^2 + j + 1 = 0$, corps fini qui est unique de chez unique car $X^2 + X + 1$ est le seul polynôme irréductible de degré 2 sur $\F_2$. De l'algèbre linéaire bien conduite (échelonnement), et on les tient dans la main les 27 droites.
Double extension de $\S_6$ dont parle Dolgachev, fastoche également : c'est $\S_6 \times \{\pm 1\}$.
Mais j'ai besoin d'être rancardé de manière simple sur le groupe de Weyl $W(E_6)$ d'ordre $2 \times 720 \times 36$. Qui le peut ? Merci. En cadeau, il y aura une $6_5$-configuration en géométrie algébrique, en suivant Dolgachev, of course. -
Bonjour,
Reprenons la figure geogebra donnée par Georges Abitbol. Il vaut mieux tout faire dépendre de trois points figurant des transposition, c'est à dire des éléments de $A$. On se donne donc $C,P,Q$ sur ce cercle, à un nombre pair de pas de distance. On commence par les repliquer selon les axes. On note $C_{x}$ la réflexion de $C$ par rapport à l'axe $x$. Cela fournit les 15 points figurant les éléments de $B$. La recette consiste donc à choisir ensuite l'axe $y$ par rapport auquel réfléchir le point $C_{x}$ pour obtenir le point $C_{xy}$.
\[ \begin{array}{crrlc} 1 & Point & O & (0,0)\\ 5 & Circle & cir & Circle\;with\;center\;O\;and\;radius\;11\;\\ 2 & Line & axe_{0} & yAxis\;\\ 11 & Line & axe_{1} & axe_{0}\;rotated\;by\;angle\;36° \\ 12 & Line & axe_{2} & axe_{0}\;rotated\;by\;angle\;2\times36° \\ 4 & Line & axe_{3} & axe_{0}\;rotated\;by\;angle\;3\times36° \\ 3 & Line & axe_{4} & axe_{0}\;rotated\;by\;angle\;4\times36°\\ 6 & Point & U & (0,\;Radius[cir])\;\\ 20 & Point & C_{x} & U\;rotated\;by\;angle\;-360°/60\\ 15 & Point & P_{x} & U\;rotated\;by\;angle\;360°\times3/60\\ 7 & Point & Q_{x} & U\;rotated\;by\;angle\;360°\times7/60\\ \hline 20 & Point & C & C_{x}\\ 23 & Point & C_{0} & C\;mirrored\;at\;axe_{0}\;\\ 24 & Point & C_{1} & C\;mirrored\;at\;axe_{1}\;\\ 26 & Point & C_{2} & C\;mirrored\;at\;axe_{2}\;\\ 21 & Point & C_{3} & C\;mirrored\;at\;axe_{3}\;\\ 22 & Point & C_{4} & C\;mirrored\;at\;axe_{4}\;\\ 27 & Point & C_{03} & C_{0}\;mirrored\;at\;axe_{3}\;\\ 28 & Point & C_{10} & C_{3}\;mirrored\;at\;axe_{2}\;\\ 25 & Point & C_{34} & C_{3}\;mirrored\;at\;axe_{4}\;\\ 32 & Point & C_{41} & C_{4}\;mirrored\;at\;axe_{1}\;\\ 30 & Segment & c0 & Segment\;[C_{0},\;C_{03}]\;\\ 34 & Segment & c1 & Segment\;[C_{1},\;C_{10}]\;\\ 29 & Segment & c2 & Segment\;[C_{2},\;C]\;\\ 31 & Segment & c3 & Segment\;[C_{3}\;C_{34}]\;\\ 33 & Segment & c4 & Segment\;[C_{4},\;C_{41}]\; \end{array} \]
Pour les deux autres séries, les recettes sont:
\begin{eqnarray*} P & = & P_{x}\\ points & = & \left\{ P_{0},\;P_{1},\;P_{2},\;P_{3},\;P_{4},\;P_{01},\;P_{13},\;P_{20},\;P_{32}\right\} \\ segments & = & \left\{ \left[P_{0},\;P_{01}\right],\left[P_{1},\;P_{13}\right],\left[P_{2},\;P_{20}\right],\left[P_{3},\;P_{32}\right],\left[P_{4},\;P\right]\right\} \\ Q & = & Q_{x}\\ points & = & \left\{ Q_{0},\;Q_{1},\;Q_{2},\;Q_{3},\;Q_{4},\;Q_{12},\;Q_{24},\;Q_{31},\;Q_{43}\right\} \\ segments & = & \left[Q_{0},\;Q\right],\left[Q_{1},\;Q_{12}\right],\left[Q_{2},\;Q_{24}\right],\left[Q_{3},\;Q_{31}\right],\left[Q_{4},\;Q_{43}\right] \end{eqnarray*}
On constate que $P$ en $Q_{24}$ redonne les diagonales bleues, tandis que $P$ en $C_{34}$ redonne les diagonales noires.
Cordialement, Pierre -
Bonjour,
A propos de "$\epsilon_ {10}$ qui viendrait d'une action sur un ensemble de 10 éléments. Comparons avec une situation plus simple.
La table de caractères de $\def\S{\mathfrak{S}}$ $\S_{6}$ est:
\[ \begin{array}{r|cc|rr|rr||rr|r|rr} \# & 1 & 45 & 40 & 40 & 90 & 144 & 15 & 15 & 90 & 120 & 120\\ ord & 1 & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \sigma & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 5a & 5 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 & -1\\ 5b & 5 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0 & -3 & 1 & -1 & 0 & 1\\ 5c & 5 & 1 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 & 3 & 1 & -1 & 0\\ 5d & 5 & 1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 9a & 9 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 & -1 & 0 & 0\\ 9b & 9 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ & 10 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0 & 1 & -1\\ & 10 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & -1 & 1\\ & 16 & 0 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \]
On peut examiner sa construction de la façon suivante. On part des types possibles de permutations.
Appartenant au modèle $(1,2)$, il y en a $\left(6\times5/2\right)=15$
Appartenant au modèle $\left(1,2\right)\left(3,4\right)$, il y en a $\left(6\times5/2\right)\times\left(4\times3/2\right)/2=15\times6/2=45$
Appartenant au modèle $\left(1,2\right)\left(3,4\right)\left(5,6\right)$, il y en a $45/3=45$
Appartenant au modèle $(1,2,3)$, il y en a $\left(6\times5\times4/3\right)=40$
Appartenant au modèle $\left(1,2,3\right)\left(4,5\right)$, il y en a $40\times\left(3\times2/2\right)=120$
Appartenant au modèle $\left(1,2,3\right)\left(4,5,6\right)$, il y en a $40\times2/2=40$
Appartenant au modèle $(1,2,3,4)$, il y en a $\left(6\times5\times4\times3/4\right)=90$
Appartenant au modèle $\left(1,2,3,4,5\right)$, il y en a $\left(6\times5\times4\times3\times2/5\right)=144$
Appartenant au modèle $\left(1,2,3,4,5,6\right)$, il y en a $\left(6\times5\times4\times3\times2\times1/6\right)=120$
Cela permet de remplir la ligne "#", tandis que l'ordre et la signature se lisent directement sur le modèle. On obtient les 4 premières lignes de:
$\begin{array}{r|crrrrr|rrrrr} type & id & (1,2)(3,4) & (1,2,3) & (1,2,3)(4,5,6) & (1,2,3,4)(5,6) & (1,2,3,4,5) & (1,2) & (1,2)(3,4)(5,6) & (1,2,3,4) & (1,2,3)(4,5) & (1,2,3,4,5,6)\\ \# & 1 & 45 & 40 & 40 & 90 & 144 & 15 & 15 & 90 & 120 & 120\\ ord & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 5 & 2 & 2 & 4 & 6 & 6\\ \sigma & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ \hline 6 & 6 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2 & 1 & 0\\ 3-3 & 10 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 4 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 5a & 5 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 & -1\\ 9a & 9 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}$
L'application $\tau\left(g\right)=trace\left(matrix\left(g\right)\right)$ donne un caractère de $\S_{6}$. On rappelle que $matrix$ est une méthode agissant sur les permutations, plaçant un $1$ à la position $\left(j,k\right)$ lorsque $g\left(j\right)=k$. On voit que ce caractère (marqué "6") est la somme des caractères "1" et "5a".
Et maintenant, on considère la liste $Q=[23,24,25,26,34,35,36,45,46,56]$ qui possède 10 éléments. A chaque $q\in Q$ on associe la partition $Q_{q}=\left\{ \left\{ 1,div(q,10),rem(q,10)\right\} ,\left\{ \mathrm{les\;trois\;autres}\right\} \right\} $. Et on fait agir $\S_{6}$ sur ces partitions. On a donc le plongement \[ \left(g\in\S_{6}\right)\mapsto\left(\widehat{g}\doteq Q\mapsto map\left(g,Q\right)\in\S_{10}\right) \] On en déduit le caractère "3-3" défini par $g\mapsto trace\left(matrix\left(\widehat{g}\right)\right)$. On voit que ce caractère est la somme des caractères "1" et "9a".
Plus généralement, une action sur un ensemble de taille $n$ fournit au plus une représentation irréductible de taille $n-1$.
Cordialement, Pierre -
Bonjour,
Comment identifier les classes ? Cardinal et ordre sont des indicateurs intrinsèques. Dans le cas de $
\def\gr{\mathbb{G}}
\def\A{\mathfrak{A}}
\def\cC{\mathcal{C}}
$ $\gr,$ il reste une paire $\left(\#=90,\omega=4\right)$ et une paire $\left(\#180,\omega=8\right)$. Les éléments de $\gr$ ont été introduits par leur action sur $D30=A\cup B$, l'ensemble des sommets du graphe. Ni la trace dans $\S_{30}$, ni même la structure en cycles accessible via les polynômes caractéristiques,
$1^{2}2^{2}4^{6}$ et $2^{1}4^{1}8^{3}$ respectivement, ne suffisent à distinguer les éléments de ces deux paires.
Un test pas trop long à réaliser est d'identifier le groupe engendré par les éléments d'une classe donnée:
\[ \begin{array}{r|crrrr|rrr|rrr|rr} n° & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \# & 1 & 45 & 80 & 90 & 144 & 30 & 90 & 240 & 36 & 144 & 180 & 180 & 180\\ \omega & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 2 & 4 & 6 & 2 & 10 & 8 & 8 & 4\\ \hline card & 1 & 360 & 360 & 360 & 360 & 720 & 720 & 720 & 720 & 720 & 720 & 720 & 720\\ id & 1 & 118 & 118 & 118 & 118 & 763 & 763 & 763 & 764 & 764 & 764 & 765 & 765 \end{array} \] Il s'agit soit du sous-groupe isomorphe à $\A_{6}$, soit de l'un des trois sous-groupes d'indice 2.
Autre façon de faire: les produits de classes. On calcule tous les produits d'un élément de $\cC_{m}$ par un élément de $\cC_{n}$, et on compte les répétitions. Dans la table ci-dessous, $\cC_{2}\times\cC_{3}=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 16 & 18 & 24 & 20\end{array}\right]$ veut dire que les $80\times90$ produits $jk$ avec $j\in\cC_{2}$ et $k\in\cC_{2}$ fournissent $16$ copies de $\cC_{1}$, $18$ copies de $\cC_{2}$, $24$ copies de $\cC_{3}$, $20$ copies de $\cC_{4}$, pour un total de $16*45+18*80+24*90+20*144=7200$ éléments. \[ \begin{array}{c|ccccc|rcccc|rcccc|rcccc|rcccc} \times & & & 0 & & & & & 1 & & & & & 2 & & & & & 3 & & & & & 4\\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 45 & 4 & 9 & 4 & 5 & 0 & 16 & 9 & 8 & 10 & 0 & 8 & 9 & 17 & 10 & 0 & 16 & 18 & 16 & 20\\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 16 & 9 & 8 & 10 & 80 & 16 & 16 & 16 & 20 & 0 & 16 & 18 & 24 & 20 & 0 & 32 & 36 & 32 & 30\\ 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 8 & 9 & 17 & 10 & 0 & 16 & 18 & 24 & 20 & 90 & 34 & 27 & 16 & 20 & 0 & 32 & 36 & 32 & 40\\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 16 & 18 & 16 & 20 & 0 & 32 & 36 & 32 & 30 & 0 & 32 & 36 & 32 & 40 & 144 & 64 & 54 & 64 & 53 \end{array} \]
Au contraire $\cC_{2}\times\cC_{6}=$ $24\cC_{5}+24\cC_{6}+18\cC_{7}$, pour un total de $24*30+24*90+18*240=7200$ éléments.
Cordialement, Pierre -
$\def\P{\mathbb P}\def\S{\mathfrak S}\def\Aut{\text{Aut}}$Pierre, Merci d'alimenter le fil.
En ce moment, j'ai la tête dans le guidon. D'une part, dans un passé récent, avec une surface (arithmétique) de Ludwig dans $\P^4$ d'un autre fil mais j'estime que cela s'est pas trop mal arrangé.
Et surtout dans CE fil avec une configuration dite double-6 où il est question de 27 droites sur une surface cubique ($27 = 6 + 6 + 15$), du groupe $W(E_6)$ ...etc.. Là encore, je patauge bien, et j'ai encore la tête sous l'eau trop souvent.
J'ai bien essayé de comprendre ton avant-avant dernier post avec la figure mais je vais dire que j'ai pas bien compris. Je dis pas bien compris pour éviter de passer pour un c.n. Faut quand même dire que parfois tu vas vite.
J'ai quand même regardé ton avant dernier post. Même pas vrai ? Si : par exemple, il y a 11 caractères irréductibles pour $\S_6$, donc autant de classes de conjugaison. Mais, dans ta description, il en manque une : tu n'as pas fait figurer un type d'ordre 4, à savoir $(1,2,3,4)(5,6)$.
Et dans le modèle des triple-transpositions, tu as écrit qu'il y en avait $45/3 = 45$ au lieu de 15. Of course, que des coquilles car il y a belle lurette que 15 est sur la sellette de 6 (15 parties à 2 éléments de $\{1..6\}$). Et je crois que c'est le 15 qui intervient dans $27 = 6 + 6 + 15$. Pas sûr.
Enfin, bien content de voir que tu t'amuses avec $\Aut(\S_6)$ avec $A,B$ ...etc.. Bon courage à toi. Je vais essayer de donner des nouvelles du double-six bientôt, enfin le peu que j'ai compris. -
Bonjour,
* msg-1979344. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1965898,1979344#msg-1979344 La présentation 'circular' du graphe consiste à séparer les 45 arêtes en 30 côtés et 15 diagonales. La figure de Georges Abitbol consiste à séparer cela en 3 machins, comprenant chacun 5 sommets $A$, 5 sommets $B$ et 5 diagonales. Tant qu'à faire, il me semble préférable que le point de départ de chaque machin soit un sommet $A$, et non une fois un $A$ et deux fois un $B$.
Sur ma figure, les germes sont notés $C,P,Q$. On constate que les cinq sommets $B$ associés sont simplement les réflexions du germe dans les cinq axes. Il reste alors à indiquer quels sont les quatre autres sommets $A$.
On attrappe le germe $P$, on fait tourner le machin associé et on note ce qui se passe. En particulier, on se demande si l'on peut superposer le machin $P$ et ses diagonales \[ \left[P_{0},\;P_{01}\right],\left[P_{1},\;P_{13}\right],\left[P_{2},\;P_{20}\right],\left[P_{3},\;P_{32}\right],\left[P_{4},\;P\right] \] sur le machin $C$ et ses diagonales, ou sur le machin $Q$ et ses diagonales. La réponse est oui.
* msg-1981514. La table des caractères que j'ai donnée est bel et bien une matrice onze $\times$onze, et la classe $\left(1234\right)\left(56\right)$ figure bel et bien dans la deuxième table, qui possède bien les six+cinq colonnes requises. Pour ce qui est de $45/3=45$, j'ai repris ma calculette, et il semble que, en effet, le résultat de cette division soit plutôt $15$ comme indiqué dans la cellule $\left[\#\;;\;\left(12\right)\left(34\right)\left(56\right)\right]$ de la table II.
Cordialement, Pierre. -
Bonjour,
Comme il est bien connu, on peut définir un produit scalaire entre caractères $\tau,\kappa$ par \[ \left\langle \tau|\kappa\right\rangle \mapsto\left(\sum_{C}\tau_{C}\,\kappa_{C}\,card\left(C\right)\right)/\left(\sum_{C}card\left(C\right)\right) \] où la somme est étendue à l'ensemble des classes de conjugaison. Pour ce produit, les caractères irréductibles forment une base orthonormée. La table ci-dessous concerne les caractères de $
\def\nsp{\negmedspace\negmedspace} \def\gr{\mathbb{G}}
\def\cS{\mathcal{S}} \def\cT{\mathcal{T}} \def\ptv{~;~} \def\cC{\mathcal{C}}
$ $\gr=[1440,5841]$. On peut aisément obtenir une décomposition des caractères réductibles. Par exemple: \[ X12=1+\sigma+\cS\cT\ptv X20=1+\sigma+PG+\sigma PG\ptv X30=1+\sigma+PG+\sigma PG+\cS\cT \]
Cela suppose que l'on ait trié les colonnes dans la matrice des caractères, de façon à être certain qu'elles se présentent dans le même ordre que la liste des classes. On sait que le carré scalaire d'une colonne est le quotient de l'effectif total par l'effectif de la classe concernée. Cela permet d'identifier les classes \#30 et \#36. Les valeurs sur ces deux classes permettent d'identifier les caractères de dimension 1 et ceux de dimension 9. Et alors le triplet $\left(\#,\sigma,\mu\right)$ permet d'identifier toutes les classes, sauf $b,c$. Si la "décomposition" donne des valeurs fractionnaires, on sait que $b,c$ sont dans le mauvais ordre. Une façon moins rude de procéder est de remarquer que le produit place par place des colonnes $6,8,12$ donne $+1$ pour les 8 premiers caractères.
Pour obtenir un "nouveau" caractère, il suffit d'imaginer un ensemble $E$ et un processus "chapeau" qui soit un morphisme de $\gr$ dans $\S\left(E\right)$. On représenter $g\in\gr$ par la matrice de permutation de $\widehat{g}\in\S\left(E\right)$. On sait que $trace\left(matrix\left(\widehat{g}\right)\right)$ est constante sur chaque classe de conjugaison. On en déduit un caractère par $g\mapsto trace\left(matrix\left(\widehat{g}\right)\right)$. On le note $\chi_{E}$.
Une fois $\chi_{E}$ décomposé, il ne reste plus qu'à codiagonaliser par blocs les matrices $matrix\left(\widehat{g}\right)$ pour obtenir une ou plusieurs représentations matricielles irréductibles du groupe $\gr$.
Parmi ces ensembles $E$, il y a les classes elles-mêmes, avec l'action canonique définie par $\widehat{\sigma}\left(\mu\right)=g\circ\mu\circ g^{-1}$. Le calcul n'est pas en $1440^{2}$ mais en seulement $1440\times13$ étapes élémentaires, puisqu'il suffit de faire varier $g$ sur l'ensemble des représentants des classes. On obtient les $\chi_{k}$ suivants, où $k$ est le numéro de la classe. Dans le tableau, ils ont été retriés par $\#\cC$ croissant pour faciliter les comparaisons, tandis que le bloc de droite donne les décompositions sur les caractères irréductibles.
\[ \hspace{-3em}\begin{array}{r|crrrrrrrrrrrr||rrrr|rrrr|rrrrr} n° & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & a & b & c & & & & & & & & \\ \omega & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 2 & 4 & 6 & 2 & 10 & 8 & 8 & 4 & & & & & & & & \\ \# & 1 & 45 & 80 & 90 & \negmedspace144 & 30 & 90 & \nsp240 & 36 & \nsp144 & \nsp180 & 180 & 180 & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ \sigma & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & & & & & & & & \\ \mu & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & & & & & & & & \\ \tau & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & {\color{magenta}-1} & {\color{magenta}-1} & {\color{magenta}-1} & {\color{magenta}-1} & {\color{magenta}-1} & {\color{magenta}-1} & 1 & 1 & & & & & & & & \\ \nsp PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & & & & & & & & \\ \nsp\sigma PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & & & & & & & & \\ \nsp\mu PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & & & & & & & & \\ \nsp\tau PG & 9 & 1 & 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & & & & & & & & \\ \cS\cT & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ \mu\cS\cT & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ XB & 16 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ \sigma XB & 16 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ XD & 20 & -4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 9 & 9 & 9 & 9 & 10 & \nsp10 & \nsp16 & \nsp16 & \nsp20\\ \hline \chi_{0} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & \\ \chi_{5} & 30 & 6 & 3 & 2 & 0 & 10 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & & & 1 & 1 & & & 1\\ \chi_{8} & 36 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 6 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & & & & & & 1 & & 1 & & & 1\\ \chi_{1} & 45 & 5 & 0 & 1 & 0 & 9 & 1 & 0 & 5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & & & & 1 & 1 & & & 1 & & & 1\\ \chi_{2} & 80 & 0 & 8 & 0 & 0 & 8 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & & & 1 & 1 & & & 1 & 1 & & & 2\\ \chi_{3} & 90 & 2 & 0 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & & & & 1 & 1 & & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1\\ \chi_{6} & 90 & 2 & 0 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 10 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & & & & 1 & 1 & 1 & & 1 & & & 2 & 1\\ \chi_{4} & 144 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & 1 & & & 1 & 1 & & 1 & 1 & 2 & 2 & 2\\ \chi_{9} & 144 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & 1 & & & 1 & 1 & & 1 & 1 & 2 & 2 & 2\\ \chi_{7} & 240 & 0 & 6 & 0 & 0 & 8 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & & & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4\\ \chi_{a} & 180 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 & & 1 & & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2\\ \chi_{b} & 180 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & & & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2\\ \chi_{c} & 180 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 10 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & & & & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\hline {\color{red}{X12}} & {\color{red}{12}} & {\color{red}4} & {\color{red}3} & {\color{red}0} & {\color{red}2} & {\color{red}4} & {\color{red}4} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & & & & & {\color{red}1}\\
{\color{red}{X20}} & {\color{red}{20}} & {\color{red}4} & {\color{red}2} & {\color{red}4} & {\color{red}0} & {\color{red}8} & {\color{red}0} & {\color{red}2} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & \\
{\color{red}{X30}} & {\color{red}{30}} & {\color{red}6} & {\color{red}3} & {\color{red}2} & {\color{red}0} & {\color{red}{10}} & {\color{red}2} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & {\color{red}1}\\
{\color{red}{X45}} & {\color{red}{45}} & {\color{red}5} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}9} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}5} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & & {\color{red}1} & {\color{red}1} & & & {\color{red}1} & & & {\color{red}1} &
\end{array} \]
Prochain épisode: "les caractères X12,X20,X30,X45".
Cordialement, Pierre.
Edit: les algorithmes probabilistes sont bien plus rapides... mais ne garantissent pas un ordre reproductible !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+21 Invités