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Matrice inversible ?

Anna14Anna14
dans Algèbre
Bonjour,
peut-on dire sans calcul, que M - i I3 est inversible ?
Merci. 
    |  0  -1  1 |
M = | -1  -1  0 |
    |  1   0 -1 |

Réponses

  • Math CossMath Coss
    Oui, on peut – disons avec un microscopique calcul fait de tête ($-1-1\ne0$).

    Erratum : oui on peut mais je n'avais pas lu la question correctement.
  • etancheetanche
    M est symétrique réelle de valeur propre -2,-1,1 donc M-I n’est pas inversible

    Je me demande si M-iI désigne M moins la matrice identité ou , M- diag(i,i,i) avec i le nombre imaginaire.
  • Anna14Anna14
    Bonsoir
    Dans le texte on parle de la matrice M à laquelle on soustrait i fois l'identité ?
    Merci
  • etancheetanche
    Le produit (-2-i)(-1-i)(1-1) est non nul donc matrice M-iI est inversible
  • P.P.
    Zero calcul car $M$ etant symetrique reelle ne peut avoir $i$ comme valeur propre.
  • Anna14Anna14
    Merci mais à cet instant on ne connait pas les valeurs propres (c'est la question d'après)
  • DomDom
    C’est un théorème :
    Quelle que soit la matrice, si elle est symétrique réelle alors ses valeurs propres sont toutes réelles.
  • YvesMYvesM
    Bonjour

    Si la matrice $M-i I_3$ n’est pas inversible, alors $\det(M-i I_3)=0$ : $i$ est alors une valeur propre de la matrice $M$, symétrique et réelle et dont toutes les valeurs propres sont réelles : contradiction. La matrice $M-i I_3$ est donc inversible.
  • Anna14Anna14
    Merci beaucoup, c'est plus clair !
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