Orthogonal à tout le monde
Réponses
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Si tu appelles $x$ ton vecteur et $(e_1,...,e_n)$ ta base, tu peux décomposer $x$ en $x= \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k e_k$. Maintenant, peut-on exprimer les $x_k$ à l'aide d'un produit scalaire ?
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Oui les xk sont les produits scalaires x, ei
Mais je ne vois plus pourquoi car pour moi les produits scalaires donnent 0 (si je développe ) si les vecteurs de la base sont orthogonaux mais là ils ne le sont pas
Il semble que peu importe apparemment et c'est là que je ne vois pas pourquoi -
Cohérence entre $x_k$ et $\langle x,e_i\rangle$.
Issue 1 : Connais-tu le procédé de Gram-Schmidt ?
Issue 2 : On ignore la deuxième partie de la suggestion d'Homo Topi. Si tu calculais (de deux façons si possible) le produit scalaire\[\left\langle x,\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\rangle\;?\] -
Je vois une façon par linéarité en passant les xi devant
On a somme sur i des xi (x,ei)
L'autre façon je ne vois pas -
Quel résultat par cette première façon ?
L'autre façon c'est de remplacer $\sum_{i=1}^nx_ie_i$ par une expression plus simple. -
x donc on aurait norme de x au carré
Et pour finir l'autre calcul je ne vois pas -
(ce que j'avais en tête au départ est compliqué et naze)
Tu as dit toi-même que la première méthode donne $\displaystyle \sum_i x_i \langle x \mid e_i \rangle$. Pour finir, il suffit de ne pas oublier tes hypothèses ! -
Tu dis "orthogonal à tout le monde". En particulier à lui-même.
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On a norme x au carré est nul donc x nul?
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Oui.
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Extra
Merci -
Pour récapituler : si $x=\sum_{i=1}^nx_ie_i$, \[0=\sum_{i=1}^nx_i\langle e_i,x\rangle=\left\langle \sum_{i=1}^nx_ie_i,x\right\rangle=\langle x,x\rangle=\|x\|^2\] donc $x$ est nul.
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... et ça va beaucoup plus vite que de dire qu'on sait que c'est vrai en base orthonormée, Gram-Schmidtiser, puis refaire le changement inverse.
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