Orthogonal à tout le monde

Anna14 · March 2020

Bonjour,
comment prouver que si un vecteur est orthogonal à tous les vecteurs d'une base alors il s'agit du vecteur nul.
(sachant que les vecteurs de la base ne sont pas orthogonaux entre eux).

Merci.

Homo Topi · March 2020

Si tu appelles $x$ ton vecteur et $(e_1,...,e_n)$ ta base, tu peux décomposer $x$ en $x= \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k e_k$. Maintenant, peut-on exprimer les $x_k$ à l'aide d'un produit scalaire ?

Anna14 · March 2020

Oui les xk sont les produits scalaires x, ei
Mais je ne vois plus pourquoi car pour moi les produits scalaires donnent 0 (si je développe ) si les vecteurs de la base sont orthogonaux mais là ils ne le sont pas

Il semble que peu importe apparemment et c'est là que je ne vois pas pourquoi

Math Coss · March 2020

Cohérence entre $x_k$ et $\langle x,e_i\rangle$.

Issue 1 : Connais-tu le procédé de Gram-Schmidt ?

Issue 2 : On ignore la deuxième partie de la suggestion d'Homo Topi. Si tu calculais (de deux façons si possible) le produit scalaire\[\left\langle x,\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\rangle\;?\]

Anna14 · March 2020

Je vois une façon par linéarité en passant les xi devant
On a somme sur i des xi (x,ei)
L'autre façon je ne vois pas

Math Coss · March 2020

Quel résultat par cette première façon ?

L'autre façon c'est de remplacer $\sum_{i=1}^nx_ie_i$ par une expression plus simple.

Anna14 · March 2020

x donc on aurait norme de x au carré
Et pour finir l'autre calcul je ne vois pas

Homo Topi · March 2020

(ce que j'avais en tête au départ est compliqué et naze)

Tu as dit toi-même que la première méthode donne $\displaystyle \sum_i x_i \langle x \mid e_i \rangle$. Pour finir, il suffit de ne pas oublier tes hypothèses !

GaBuZoMeu · March 2020

Tu dis "orthogonal à tout le monde". En particulier à lui-même.

Anna14 · March 2020

On a norme x au carré est nul donc x nul?

Homo Topi · March 2020

Oui.

Anna14 · March 2020

Extra
Merci

Math Coss · March 2020

Pour récapituler : si $x=\sum_{i=1}^nx_ie_i$, \[0=\sum_{i=1}^nx_i\langle e_i,x\rangle=\left\langle \sum_{i=1}^nx_ie_i,x\right\rangle=\langle x,x\rangle=\|x\|^2\] donc $x$ est nul.