Bonjour,
comment prouver que si un vecteur est orthogonal à tous les vecteurs d'une base alors il s'agit du vecteur nul.
(sachant que les vecteurs de la base ne sont pas orthogonaux entre eux).
Si tu appelles $x$ ton vecteur et $(e_1,...,e_n)$ ta base, tu peux décomposer $x$ en $x= \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k e_k$. Maintenant, peut-on exprimer les $x_k$ à l'aide d'un produit scalaire ?
Oui les xk sont les produits scalaires x, ei
Mais je ne vois plus pourquoi car pour moi les produits scalaires donnent 0 (si je développe ) si les vecteurs de la base sont orthogonaux mais là ils ne le sont pas
Il semble que peu importe apparemment et c'est là que je ne vois pas pourquoi
Issue 2 : On ignore la deuxième partie de la suggestion d'Homo Topi. Si tu calculais (de deux façons si possible) le produit scalaire\[\left\langle x,\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\rangle\;?\]
(ce que j'avais en tête au départ est compliqué et naze)
Tu as dit toi-même que la première méthode donne $\displaystyle \sum_i x_i \langle x \mid e_i \rangle$. Pour finir, il suffit de ne pas oublier tes hypothèses !
Pour récapituler : si $x=\sum_{i=1}^nx_ie_i$, \[0=\sum_{i=1}^nx_i\langle e_i,x\rangle=\left\langle \sum_{i=1}^nx_ie_i,x\right\rangle=\langle x,x\rangle=\|x\|^2\] donc $x$ est nul.
Réponses
Mais je ne vois plus pourquoi car pour moi les produits scalaires donnent 0 (si je développe ) si les vecteurs de la base sont orthogonaux mais là ils ne le sont pas
Il semble que peu importe apparemment et c'est là que je ne vois pas pourquoi
Issue 1 : Connais-tu le procédé de Gram-Schmidt ?
Issue 2 : On ignore la deuxième partie de la suggestion d'Homo Topi. Si tu calculais (de deux façons si possible) le produit scalaire\[\left\langle x,\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\rangle\;?\]
On a somme sur i des xi (x,ei)
L'autre façon je ne vois pas
L'autre façon c'est de remplacer $\sum_{i=1}^nx_ie_i$ par une expression plus simple.
Et pour finir l'autre calcul je ne vois pas
Tu as dit toi-même que la première méthode donne $\displaystyle \sum_i x_i \langle x \mid e_i \rangle$. Pour finir, il suffit de ne pas oublier tes hypothèses !
Merci