Corps premiers
Bonjour
Je ne comprends pas la démonstration de cette proposition.
Soient $K$ un corps et $P$ son sous-corps premier. Si $\sigma$ est un endomorphisme de $K$, on a $\sigma (x) = x $ pour tout $x \in P$.
Démonstration. Le corps $P$ étant le sous-corps de $K$ engendré par $1$ (jusque là tout va bien), on a $\sigma(x) = x$ pour tout $x \in P$ car $\sigma(1) =1$.
Pas de problème pour dire que $\sigma(1) = 1$, mais quel rapport avec le reste ?
Je ne comprends pas la démonstration de cette proposition.
Soient $K$ un corps et $P$ son sous-corps premier. Si $\sigma$ est un endomorphisme de $K$, on a $\sigma (x) = x $ pour tout $x \in P$.
Démonstration. Le corps $P$ étant le sous-corps de $K$ engendré par $1$ (jusque là tout va bien), on a $\sigma(x) = x$ pour tout $x \in P$ car $\sigma(1) =1$.
Pas de problème pour dire que $\sigma(1) = 1$, mais quel rapport avec le reste ?
Réponses
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L'ensemble des éléments de $K$ fixés par $\sigma$ est un sous-corps de $K$ (car $\sigma$ est un morphisme de corps, ça se vérifie!). Et $1$ appartient à cet ensemble, donc le sous-corps de $K$ engendré par $1$ est contenu dans cet ensemble.
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Pour $ n \in \mathbb Z$, $\sigma(n \cdot 1_K)=n \cdot 1_K $. Etc.
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Merci !
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Salut,
J'ai lu ce fil l'autre jour. Je comprends en quoi l'indication de Chat-maths répond à la question, mais je n'ai pas compris en quoi l'indication de Chaurien suffisait à répondre. Quelqu'un peut m'expliquer ? Je lui ai envoyé un message privé, il ne m'a pas répondu... -
Chaurien utilise une définition plus "à la main" de sous-corps premier : j'imagine qu'il le définit comme "$\mathbb F_p$ si le corps est de caractéristique $p$, $\mathbb Q$ si de caractéristique $0$".
Du coup il faut et il suffit de montrer $\sigma (x) = x$ pour tout rationnel, et pour ça tu commences par les entiers. -
Oui mais ça je sais, ce que je ne comprends pas c'est comment montrer que $\sigma\bigg(\dfrac{1}{q}\bigg) = \dfrac{1}{q} \sigma(1)$
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Salut,
$q\,\sigma\bigg(\dfrac{1}{q}\bigg) =\sigma\bigg(\dfrac{1}{q}\bigg)+\cdots+\sigma\bigg(\dfrac{1}{q}\bigg)=\sigma\bigg(\dfrac{1}{q}+\cdots+\dfrac{1}{q}\bigg)=\sigma(1)$ et on divise par $q$ des deux côtés. -
Ah, oui... je l'ai fait une fois, mais pas 150, alors je finis par oublier ces vieilles astuces.
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Bonjour!
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