Existence et unicité polynôme
Bonjour,
Soit $n \in \N^{*}$.
1/ Montrer l'existence et l'unicité d'un polynôme $P$ tel que $\forall x \in \R \ P(\cos x)=\cos(nx)$.
Je trouve $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} \binom{2n}{k} (-1)^k (1-X^2)^k X^{n-2k}}$
L'unicité il suffit de dire que pour $P,Q$ 2 polynômes on a $(P-Q)( \cos(x))$ s'annule une infinité de fois car $\cos x$ prend toutes les valeurs dans $[-1,1]$ lorsque $x$ parcourt $\R$.
2/ Quelles sont les racines de $P$ ?
3/ Décomposer $\dfrac{1}{P}$ en éléments simples.
Pour les racines de $P$ je ne suis pas trop sûr de moi. Je pars de $P(\cos x)= \cos (nx)=0$
Donc $nx= \dfrac{\pi}{2}+ k \pi$ avec $k \in \Z$
Mais je me mélange les pinceaux avec le $P(\cos x)$ j'avoue que je suis perdu à ce stade.
Soit $n \in \N^{*}$.
1/ Montrer l'existence et l'unicité d'un polynôme $P$ tel que $\forall x \in \R \ P(\cos x)=\cos(nx)$.
Je trouve $\boxed{P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} \binom{2n}{k} (-1)^k (1-X^2)^k X^{n-2k}}$
L'unicité il suffit de dire que pour $P,Q$ 2 polynômes on a $(P-Q)( \cos(x))$ s'annule une infinité de fois car $\cos x$ prend toutes les valeurs dans $[-1,1]$ lorsque $x$ parcourt $\R$.
2/ Quelles sont les racines de $P$ ?
3/ Décomposer $\dfrac{1}{P}$ en éléments simples.
Pour les racines de $P$ je ne suis pas trop sûr de moi. Je pars de $P(\cos x)= \cos (nx)=0$
Donc $nx= \dfrac{\pi}{2}+ k \pi$ avec $k \in \Z$
Mais je me mélange les pinceaux avec le $P(\cos x)$ j'avoue que je suis perdu à ce stade.
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Réponses
Donc $x= \dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{k \pi}{n}$ et les racines sont donc ??
Je n'ai pas compris pourquoi les racines c'est $\cos(x)$ et pas directement le $x$ que j'ai trouvé.
Je n'ai pas trop compris comment trouver les valeurs de $k$ pour obtenir tous les $x_k$.
Remarque : j’ai modifié un peu la phrase car « $g(x)$ prend toutes les valeurs... » est scabreuse de mon point de vue.
Tu peux faire une recherche sur "polynômes de Tchebychev".
Cordialement,
Rescassol
Je veux résoudre $ P(x)=0$ or j'ai $ P( \cos(x))= \cos (nx)$ donc je ne vois pas comment faire :-S
Mais laissons de côté...
$P( \cos(x))= \cos (nx)$. Posons $y=\cos(x)$. On a donc $P(y)= \cos (nx)$
Or $P(y)=0 \Leftrightarrow \cos(nx)=0 \Leftrightarrow nx=\dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x_k =\dfrac{\pi}{2n}+ \dfrac{k \pi}{n}$
Comme $x \in [0,\pi]$ alors $0 \leq \dfrac{\pi}{2n}+ \dfrac{k \pi}{n} \leq \pi \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{2} \leq k \pi \leq \pi n -\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} \leq k \leq n - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq k \leq n-1 $
La fonction $\cos$ étant injective sur $[0,\pi]$ avec $x_k \in [0,\pi]$ , les valeurs de $\cos(x_k)$ sont distinctes. Il y en a $n$ racines distinctes.
Sont-elles les seules ? Je ne sais pas. Il me faudrait le degré du polynôme, hors la partie entière me gêne pour le deviner. Mais à vu d’œil comme $E(\dfrac{n}{2}) \leq \dfrac{n}{2}$ la puissance la plus grande semble être $X^n$ atteinte pour $k=0$.
Y a-t-il une méthode rapide pour justifier que $\deg P \leq n$ ?
$\deg ( (1-X^2)^k X^{n-2k}) = 2k +n-2k=n$ donc $\deg P(X)=n$ c'est tout ?
Une fois que tu as les racines, il n'est pas très difficile d'en déduire la décomposition en éléments simples de 1/P, à condition de se rappeler la formule qui t'a été donnée il n'y a pas si longtemps (hier ?) pour le coefficient d'un pôle simple...
Posons $y_k = \cos(x_k)$
Du coup on peut écrire $P(X)=\displaystyle\prod_{k =0}^{n-1} (X-y_k)$
Donc $\dfrac{1}{P(X)}=\dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k =0}^{n-1} (X-y_k)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{a_k}{X-y_k}$
Déterminons les coefficients $a_k$.D'après le cours $a_k = \dfrac{1}{P'(y_k)}$
Calculons $P'(X)$.
On sait que $\forall x \in \R \ P( \cos x)= \cos (n x)$ donc $- \sin x P'(\cos x)= - n \sin (nx)$
Donc $\sin x P'(\cos x)= n \sin (nx)$
Je bloque encore à ce stade. Je ne vois pas comment en déduire $P'(X)$
Ok j'ai édité je pense avoir compris.
On a la relation : $\sin(\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi}{n}) P(\cos(\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi}{n})= n \sin (\dfrac{\pi}{2}+k \pi)=n (-1)^k$
Or $\sin(\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi}{n}) \ne 0$ car $0 < \dfrac{2k+1}{2n} \pi < n \pi$
Ainsi : $P'(y_k)=\dfrac{n (-1)^k}{\sin(\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi}{n})}$
Finalement : $\boxed{\dfrac{1}{P}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k \sin(\dfrac{\pi}{2n} + \dfrac{ k \pi}{n})}{n(X-y_k)}}$
Ouf on clôt l'histoire. Coriace cet exercice :-o