Rang d'une matrice (mpsi)
Bonjour,
Dans mon exercice, il faut trouver le rang de la matrice ci-dessous en discutant sur les valeurs de a et b. $\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
a & 1 &b \\
b & a & 1
\end{pmatrix}$
En appliquant la méthode de Gauss, je trouve la matrice suivante de même rang :$ \begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & a-b^{2} & 1-ab
\end{pmatrix}$
Puis dans le cas où $1-ab$ est différent de 0, je continue la méthode de Gauss pour trouver enfin : $$
$\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & 0 & \frac{a^{3}+b^{3}-3ab+1}{1-ab}\
\end{pmatrix}
$$ Je cherche donc à savoir si le coefficient 3,3 de la dernière matrice peut s'annuler. Pour ce faire je décide de factoriser, j'obtiens tant bien que mal le produit suivant : $
(a+b+1)(a²+b²-ab-a-b+1) .$
La dernière étape que j'entreprends est de voir si le deuxième facteur peut s'annuler. En utilisant les fonctions à deux variables et la méthode de Monge, je constate que ce deuxième facteur admet un minimum pour le couple (1,1). Comme toutes les dérivées partielles secondes sont constantes, j'en déduis que ce minimum est global. Donc ce deuxième facteur ne s'annule que pour le couple (1,1). Je peux alors conclure.
Ce que j'ai entrepris me parait un peu laborieux, je me demande sincèrement, s'il n'y a pas une méthode beaucoup plus simple.
Si quelqu'un pouvait me montrer, afin de m'aider à progresser.
Merci pour votre retour.
Dans mon exercice, il faut trouver le rang de la matrice ci-dessous en discutant sur les valeurs de a et b. $\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
a & 1 &b \\
b & a & 1
\end{pmatrix}$
En appliquant la méthode de Gauss, je trouve la matrice suivante de même rang :$ \begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & a-b^{2} & 1-ab
\end{pmatrix}$
Puis dans le cas où $1-ab$ est différent de 0, je continue la méthode de Gauss pour trouver enfin : $$
$\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & 0 & \frac{a^{3}+b^{3}-3ab+1}{1-ab}\
\end{pmatrix}
$$ Je cherche donc à savoir si le coefficient 3,3 de la dernière matrice peut s'annuler. Pour ce faire je décide de factoriser, j'obtiens tant bien que mal le produit suivant : $
(a+b+1)(a²+b²-ab-a-b+1) .$
La dernière étape que j'entreprends est de voir si le deuxième facteur peut s'annuler. En utilisant les fonctions à deux variables et la méthode de Monge, je constate que ce deuxième facteur admet un minimum pour le couple (1,1). Comme toutes les dérivées partielles secondes sont constantes, j'en déduis que ce minimum est global. Donc ce deuxième facteur ne s'annule que pour le couple (1,1). Je peux alors conclure.
Ce que j'ai entrepris me parait un peu laborieux, je me demande sincèrement, s'il n'y a pas une méthode beaucoup plus simple.
Si quelqu'un pouvait me montrer, afin de m'aider à progresser.
Merci pour votre retour.
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Réponses
En fait, je ne cherche pas la méthode la plus élégante, mais la moins laborieuse.
Oui, nous avons appris les déterminants, mais je ne vois pas comment répondre en deux minutes avec cet outil.
Je vais encore chercher, en tous cas, merci pour votre aide.
Pour le deuxième facteur a²+b²-ab-a-b+1 est-ce que je m'y suis pris correctement ou y a-t-il une façon de faire plus pertinente ?
Merci beaucoup pour ta réponse.
On peut aussi additionner la deuxième et la troisième colonne à la première, ce qui ne change pas le rang.
Puis discuter suivant que a + b + 1 est nul ou non nul.
Dans le deuxième cas, on peut remplacer la première colonne par des 1 et continuer la méthode de Gauss.
Cordialement.
Merci à vous tous pour vos réponses.
$$a^2+b^2-ab-a-b+1=\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}(b-1)^2,$$
ce qui fait apparaître clairement que cette somme est nulle si et seulement si $a=b=1$. Tout est affaire de goût. ;-)
Plutôt que de n'utiliser que des opérations sur les lignes, j'alterne opérations sur les lignes et sur les colonnes. J'obtiens successivement:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
1 & b & a \\
a & 1 & b \\
b & a & 1
\end{pmatrix}
\\
&\begin{pmatrix}
1+a+b & 1+a+b & 1+a+b \\
a & 1 & b \\
b & a & 1
\end{pmatrix}
\\
&\begin{pmatrix}
1+a+b & 0 & 0 \\
a & 1-a & b-a \\
b & a-b & 1-b
\end{pmatrix}
\\
&\begin{pmatrix}
1+a+b & 0 & 0 \\
a(1-b)+b(a-b) & (1-a)(1-b)+(a-b)^{2} & 0 \\
b & a-b & 1-b
\end{pmatrix}
\end{align*}
et on peut utiliser ce qu'a écrit Gilles juste au-dessus, puisque
\begin{equation*}
(1-a)(1-b)+(a-b)^{2}=1-a-b-ab+a^{2}+b^{2}.
\end{equation*}
Merci a Math Cross pour la correction!
je suppose acquis le fait que $\det(A)=0$ équivaut à $a=b=1$ ou $a+b+1=0$ (voir le fil)
Si ce déterminant n'est pas nul, le rang de $A$ est évidemment $3$
si $a=b=1$, le rang de $A$ est $1$
le problème est lorsque $a+b+1$ : on cherche alors le noyau, soit résoudre le système $AX=0$.
La somme des 3 équations donne $0=0$, donc le système se réduit, par exemple, aux deux premières équations et en fixant $z$ on voit tout de suite que
- si $ab\ne 1$ la dimension du noyau est $1$, donc le rang est $2$
- si $ab=1$, le systéme se réduit à 1 équation, la dimension du noyau est $2$, et le rang de $A$ est $1$.
Remarque : $a+b+1=0$ et $ab=1$ équivaut à $ (a,b)=(j,j^2) $ ou $(a,b)=(j^2,j)$.
Une fois qu'on a obtenu $ \begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & a-b^{2} & 1-ab
\end{pmatrix}$, la petite matrice $\begin{pmatrix}
\begin{array}{cc}
1-ab & b-a^{2} \\
a-b^{2} & 1-ab%
\end{array}%
\end{pmatrix}$ qui apparaît suffit à conclure.
Si elle est nulle, le rang de la matrice proposée est $1$. Ceci se produit, comme il a été dit plus haut, si $(a,b)=(1,1)$ ou $(j,j^2)$ ou $(j^2,j)$.
Sinon, on calcule le déterminant $\left\vert
\begin{array}{cc}
1-ab & b-a^{2} \\
a-b^{2} & 1-ab%
\end{array}%
\right\vert =(1-ab)^{2}-(a-b^{2})(b-a^{2})=a^{3}+b^{3}-3ab+1$.
Et la matrice proposée est de rang $2$ ou $3$ selon que $a^{3}+b^{3}-3ab+1$ est nul ou non.
Bonne journée.
Fr. Ch.