Rang d'une matrice (mpsi)

marc66
marc66
dans Algèbre
Bonjour,
Dans mon exercice, il faut trouver le rang de la matrice ci-dessous en discutant sur les valeurs de a et b. $\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
a & 1 &b \\
b & a & 1
\end{pmatrix}$
En appliquant la méthode de Gauss, je trouve la matrice suivante de même rang :$ \begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & a-b^{2} & 1-ab
\end{pmatrix}$
Puis dans le cas où $1-ab$ est différent de 0, je continue la méthode de Gauss pour trouver enfin : $$
$\begin{pmatrix}
1 & b & a\\
0 & 1-ab &b-a^{2}\\
0 & 0 & \frac{a^{3}+b^{3}-3ab+1}{1-ab}\
\end{pmatrix}
$$ Je cherche donc à savoir si le coefficient 3,3 de la dernière matrice peut s'annuler. Pour ce faire je décide de factoriser, j'obtiens tant bien que mal le produit suivant : $
(a+b+1)(a²+b²-ab-a-b+1) .$
La dernière étape que j'entreprends est de voir si le deuxième facteur peut s'annuler. En utilisant les fonctions à deux variables et la méthode de Monge, je constate que ce deuxième facteur admet un minimum pour le couple (1,1). Comme toutes les dérivées partielles secondes sont constantes, j'en déduis que ce minimum est global. Donc ce deuxième facteur ne s'annule que pour le couple (1,1). Je peux alors conclure.
Ce que j'ai entrepris me parait un peu laborieux, je me demande sincèrement, s'il n'y a pas une méthode beaucoup plus simple.
Si quelqu'un pouvait me montrer, afin de m'aider à progresser.
Merci pour votre retour.

Réponses

  • side
    side
    supp
  • marc66
    marc66
    Oui, j'ai oublié d'indiquer que a et b sont des réels.
    En fait, je ne cherche pas la méthode la plus élégante, mais la moins laborieuse.
    Oui, nous avons appris les déterminants, mais je ne vois pas comment répondre en deux minutes avec cet outil.
    Je vais encore chercher, en tous cas, merci pour votre aide.
  • Gilles old
    Gilles old
    Dans tous les cas le problème central sera de factoriser $1-3ab+a^3+b^3$ (puisque c'est la valeur du déterminant), donc tu as fais le boulot, avec ou sans déterminant.
  • marc66
    marc66
    Merci Gilles,
    Pour le deuxième facteur a²+b²-ab-a-b+1 est-ce que je m'y suis pris correctement ou y a-t-il une façon de faire plus pertinente ?
    Merci beaucoup pour ta réponse.
  • Guego
    Guego
    Pour le deuxième facteur, si tu ne veux pas utiliser de fonction de $2$ variables, tu peux le voir comme un trinôme du second degré en $b$ (en considérant $a$ comme un paramètre de l'équation). Tu peux alors calculer son discriminant, etc.
  • Alceste
    Alceste
    Bonjour,
    On peut aussi additionner la deuxième et la troisième colonne à la première, ce qui ne change pas le rang.
    Puis discuter suivant que a + b + 1 est nul ou non nul.
    Dans le deuxième cas, on peut remplacer la première colonne par des 1 et continuer la méthode de Gauss.
    Cordialement.
  • Eric
    Eric
    Oooops, j'ai mal lu la matrice ...
  • marc66
    marc66
    L'idée de prendre a comme paramètre et b comme variable d'un trinôme est séduisante.
    Merci à vous tous pour vos réponses.
  • Gilles old
    Gilles old
    Pour aller dans le sens d'Éric, mais en restant avec la forme canonique, on a
    $$a^2+b^2-ab-a-b+1=\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}(b-1)^2,$$
    ce qui fait apparaître clairement que cette somme est nulle si et seulement si $a=b=1$. Tout est affaire de goût. ;-)
  • Eric
    Eric
    Puisque l'on me cite alors que j'ai enlevé mon message, j'en remets un (correct cette fois).

    Plutôt que de n'utiliser que des opérations sur les lignes, j'alterne opérations sur les lignes et sur les colonnes. J'obtiens successivement:

    \begin{align*}
    &\begin{pmatrix}
    1 & b & a \\
    a & 1 & b \\
    b & a & 1
    \end{pmatrix}
    \\
    &\begin{pmatrix}
    1+a+b & 1+a+b & 1+a+b \\
    a & 1 & b \\
    b & a & 1
    \end{pmatrix}
    \\
    &\begin{pmatrix}
    1+a+b & 0 & 0 \\
    a & 1-a & b-a \\
    b & a-b & 1-b
    \end{pmatrix}
    \\
    &\begin{pmatrix}
    1+a+b & 0 & 0 \\
    a(1-b)+b(a-b) & (1-a)(1-b)+(a-b)^{2} & 0 \\
    b & a-b & 1-b
    \end{pmatrix}
    \end{align*}

    et on peut utiliser ce qu'a écrit Gilles juste au-dessus, puisque
    \begin{equation*}
    (1-a)(1-b)+(a-b)^{2}=1-a-b-ab+a^{2}+b^{2}.
    \end{equation*}
  • side
    side
    supp
  • P.
    P.
    La matrice $J$ suivante a pour valeurs propres $1,j,j^2$ $$J=\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right]$$ et donc les valeurs propres de $M=I_3+aJ+bJ^2$ et son polynome caracteristique sont $$\lambda_0=1+a+b,\ \lambda_1=1+ja+j^2b,\lambda_2=1+j^2a+jb,\ \det (M-X I_3)=(\lambda_0-X)(\lambda_1-X)(\lambda_2-X).$$



    Merci a Math Cross pour la correction!
  • AP
    AP
    Bonjour
    je suppose acquis le fait que $\det(A)=0$ équivaut à $a=b=1$ ou $a+b+1=0$ (voir le fil)

    Si ce déterminant n'est pas nul, le rang de $A$ est évidemment $3$

    si $a=b=1$, le rang de $A$ est $1$

    le problème est lorsque $a+b+1$ : on cherche alors le noyau, soit résoudre le système $AX=0$.
    La somme des 3 équations donne $0=0$, donc le système se réduit, par exemple, aux deux premières équations et en fixant $z$ on voit tout de suite que
    - si $ab\ne 1$ la dimension du noyau est $1$, donc le rang est $2$
    - si $ab=1$, le systéme se réduit à 1 équation, la dimension du noyau est $2$, et le rang de $A$ est $1$.
    R    emarque : $a+b+1=0$ et $ab=1$ équivaut à $ (a,b)=(j,j^2) $ ou $(a,b)=(j^2,j)$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Le démarrage avec la méthode du pivot est bien venu, surtout en raison de la présence du coefficient 1 en haut à gauche. Pour continuer, même si nous nous trouvons dans une classe où la théorie générale des déterminants n'est pas au programme, on peut quand même connaître les propriétés des déterminants $ 2 \times 2$. Je les traitais en classe de Troisième à mes débuts, à Noisy-le-Sec (93).
    Une fois qu'on a obtenu $ \begin{pmatrix}
    1 & b & a\\
    0 & 1-ab &b-a^{2}\\
    0 & a-b^{2} & 1-ab
    \end{pmatrix}$, la petite matrice $\begin{pmatrix}
    \begin{array}{cc}
    1-ab & b-a^{2} \\
    a-b^{2} & 1-ab%
    \end{array}%
    \end{pmatrix}$ qui apparaît suffit à conclure.
    Si elle est nulle, le rang de la matrice proposée est $1$. Ceci se produit, comme il a été dit plus haut, si $(a,b)=(1,1)$ ou $(j,j^2)$ ou $(j^2,j)$.
    Sinon, on calcule le déterminant $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    1-ab & b-a^{2} \\
    a-b^{2} & 1-ab%
    \end{array}%
    \right\vert =(1-ab)^{2}-(a-b^{2})(b-a^{2})=a^{3}+b^{3}-3ab+1$.
    Et la matrice proposée est de rang $2$ ou $3$ selon que $a^{3}+b^{3}-3ab+1$ est nul ou non.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et renseignement pris, les déterminants sont au programme en MPSI...
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