Déterminant nul

etanche
etanche
dans Algèbre
Bonjour

$A,B$ matrices de $M_{2n+1}(C)$ tels qu’il existe $k\in\C$ avec $\ A^2-B^2=kI_{n}.$
Montrer que $$\det (AB-BA)=0.
$$ Merci.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Qu'as-tu essayé ?
    Est-ce que tu sais déjà traiter le cas un peu plus simple où $A$ ou $B$ est inversible ?
  • etanche
    etanche
    Le cas où $A$ est inversible
    $A^2$ commute avec $B$ et $A(AB-BA)=-(AB-BA)A$ d’où $\det(AB-BA)=0.$
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Très bien !

    Maintenant il faut adapter ça un peu - personnellement je n'ai pas trouvé de manière de déduire le cas général du cas inversible, mais on peut au moins modifier un peu ta preuve pour obtenir ça.

    Par exemple, peux-tu utiliser ton calcul de $A(AB-BA)$ pour en déduire un calcul de $BA(AB-BA)$ ?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Peut-être par densité des matrices inversibles ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • etanche
    etanche
    Pour k=/=0 c’est ok.

    Le cas k=0 ??
  • Poirot
    Poirot
    Sauf qu'il n'y a aucune raison que la matrice $A$ soit approchable par une suite de matrices $(A_m)_m$ telle que $A_m^2 - B^2 = kI_n$ pour tout $m$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    nicolas.patrois : oui j'ai essayé comme ça mais je n'arrive pas à bien le faire. Comme le dit Poirot, on peut approcher $A$ par des matrices inversibles, mais qui vérifient quoi ? En tentant plusieurs trucs de ce goût là (par exemple prendre une suite explicite $A+\epsilon I_n$) je me suis dit que j'arriverais à rien donc j'ai essayé d'améliorer l'argument proposé plutôt, ça marche bien.

    etanche : je ne vois pas de distinction de cas $k=0$ ou $\neq 0$, tu peux préciser ce que tu veux dire?
    Tu as trouvé pour $BA(AB-BA)$ ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On obtient que $\det([A,B]A)=0.$
    Puis si $\det A\neq 0$, alors $\det[A,B]\det A=0.$
    Si $\det A=0$,
    De même : $det((B^2+kI_n)[A,B])=det(k[A,B])$ et donc $k^{2n+1} \det[A,B]=0.$
    Si $k=0$, alors $A^2=B^2$...
    $(A-B)(A+B)=[A,B]$ et $(A+B)(A-B)=-[A,B]$ et donc $\det[A,B]=(-1)^{2n+1} \det[A,B ].$

    Voilà !
  • etanche
    etanche
    Pour k=0 , A^2=B^2

    (A+B)(A-B)=-C

    (A-B)(A+B)=C

    Donc det(C)=0

    Reste juste à voir k=/=0
  • Maxtimax
    Maxtimax
    YvesM : pourquoi $[A,B]A = 0$ ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $A^2$ commute avec $B$ et donc $A[A,B]=A^2B-ABA=BA^2-ABA=-[A,B]A.$
    Donc $det A det[A,B]=(-1)^{2n+1} det[A, B] det A.$
    Donc quand $det A\neq 0$, $det[A,B]=0.$

    Mes notations étaient pourries : j’ai essayé de noté $|A|$ le dé terminant mais ça ne marche pas...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    YvesM : ah ok, c'est le même argument que ce qu'on donnait. J'avais l'impression que tu disais plus fort (sans $\det$ du coup), et ne voyais pas d'où ça venait
  • P.
    P.
    C'est vrai pour $k=0$ en dimension impaire et faux en dimension paire. Exemple $A=\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right],\ B=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\0&0\end{array}\right].$
  • etanche
    etanche
    Comment caractériser les $A,B$ dans $\mathcal M_{2n+1}(\C)$ qui vérifient $A^2-B^2=kI$ où $k$ un nombre complexe ?
  • etanche
    etanche
    Il reste le cas où det(A)=0 pour voir det(AB-BA)=0 .
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu n'as vraiment pas envie de calculer $BA(AB-BA) $ ? ça règle la question indépendamment de $\det(A)$ et de $k$.
  • etanche
    etanche
    BA(AB-BA)=-B(AB-BA)A
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ok, et ensuite $B(AB-BA) = ?$
  • etanche
    etanche
    B(AB-BA)=-CB => BAC=CBA
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Voilà exactement, ensuite tu peux de même calculer $ABC$, et en déduire $C^2$.
  • etanche
    etanche
    ABC=ABAB-ABBA=ABAB-AABB=-ACB.

    Ça donne rien pour C^2=ABC-BAC=-ACB+CBA
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ah zut attends j'ai fait une c*****e, désolé ! Je m'étais convaincu que passer à travers $C$ échangeait $A$ et $B$.

    Bon en fait il vaut mieux suivre ce que dit YvesM, c'est plus clair.
  • etanche
    etanche
    @Martimax tu voulais obtenir C nilpotente indice 2 .
  • Pea
    Pea
    En utilisant simplement le fait que $\det(XY-\lambda Id)=\det(YX-\lambda Id)$ (ce qui peut se faire par densité des matrices inversibles), on a :

    $(A-B)(A+B)=A^2-B^2+[A,B]=kId+[A,B]\ $ et $\ (A+B)(A-B)=A^2-B^2-[A,B]=kId-[A,B]$

    d'où $\det([A,B])=\det((A-B)(A+B)-kId)=\det((A+B)(A-B)-kId)=\det(-[A,B])=-\det([A,B])$.
  • etanche
    etanche
    Bravo Pea une preuve courte ,.

    Je pense que si à un oral de concours une étudiante/un étudiant sort comme celle de Pea
    ça fait une bonne impression au jury.

    Autre question peut-on caratériser les matrices complexes de tailles impair qui vérifient
    $$A^2-B^2=kI$$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @pea : (tu)

    La relation $\displaystyle |I-XY|=|I-YX|$ donne le résultat immédiatement sans disjonction de cas.

    Pour sa démonstration, on a :
    $\displaystyle \begin{pmatrix} I&X\\Y&I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I&0\\Y&I\end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&0\\0&I-YX \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&A\\0&I\end{pmatrix}=\\ \displaystyle =\begin{pmatrix} I&X\\0&I\end{pmatrix} \begin{pmatrix} I-XY&0\\0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} I&0\\Y&I\end{pmatrix}.$

    Puis avec $k=0$ le résultat est immédiat. Et pour $k\neq 0$, on choisit $A=X/k.$
  • etanche
    etanche
    Voilà un exercice pour les CPGE filière MP/PC/PSI.

    1/ Soient $A,B$ matrices de $M_{2n}(C)$ telle qu’il existe $k$ dans $\C$ avec $A^2-B^2=kI$
    A-t-on $\det(AB-BA)=0$ ?
    2/ Soient $A,B$ matrices de $M_{2n+1}(C)$ telle qu’il existe $k$ dans $\C$ avec $A^2-B^2=kI$
    a) Démontrer $\det(AB-BA)=0.$
    b) Est-ce que $AB-BA$ est nilpotente ?
    3/ Question ouverte. Soit $k$ dans $\C$.
    Caractériser les $A,B$ dans $M_{n}(C)$ telles qu’il existe $k$ qui vérifie $A^2-B^2=kI_{n}$.

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour

    Pour la caractérisation, c’est très difficile.
    Avec $A=(Y+X)/2,B=(Y-X)/2$ on a $XY+YX=2 k I.$
    Cette équation possède des solutions évidentes mais de là à les trouver toutes...

    Par exemple : pour tout $x,y$ entiers, $X=M^x, Y=M^y$ avec $M^{x+y}=kI.$
  • etanche
    etanche
    Merci AD je continuerai à faire des efforts pour les dollars $\$$ du $LaTex$
  • side
    side
    supp
  • Maxtimax
    Maxtimax
    side :
    Pourquoi $E_{-z}$ est stable par $A,B$ ?
    Tu viens de prouver que $A$ envoyait $x$, vecteur propre de valeur propre $z$, sur un vecteur propre de valeur propre $-z$.
  • side
    side
    supp
  • Pea
    Pea
    Pour ta dernière question étanche, je ne vois pas de description plus simple de ces paires de matrices et comme le fait remarquer YvesM, il y a beaucoup de solutions: tu choisis deux matrices $C$ et $D$ telles que $C-D=kId$ et tu prends pour $A$ et $B$ n'importe quelles racines carrées de $C$ et $D$ respectivement; sachant que "presque" toutes les matrices de $M_n(\mathbb{C})$ ont une racine carrée cela fait vraiment beaucoup de solutions. Une question plus raisonnable me semble être (bien que je n'y ai pas réfléchi plus que ça): décrire l'ensemble des matrices de la forme $AB-BA$ où $A,B\in M_{2n+1}(\mathbb{C})$ vérifient $A^2-B^2=kId$.

    Remarquez aussi qu'on a la généralisation suivante: si $A,B\in M_{2n+1}(\mathbb{C})$ sont telles que $A-B$ commute avec $A^2-B^2$ alors $det(AB-BA)=0$.
  • side
    side
    supp
  • Pea
    Pea
    Pourtant $\det(t I)+\det(-t I)=0$ et, plus généralement, si le polynôme caractéristique de $A$ n'a que des termes en $t^d$ avec $d$ impair alors $\det(A+t I)+\det(A-tI)=0$.

    [$\LaTeX$ fournit la commande \det, qui gère fontes et espacements. ;-) AD]
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