Base et système de Cramer
Bonsoir
Je n'ai pas réussi à faire cet exercice et je ne comprends pas le corrigé.
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\K$ dont $(a,b)$ est une base. Etant donné $(\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \K^4$ on pose $c=\alpha a+\beta b$ et $d= \gamma a +\delta b$.
Montrer que $(c,d)$ est une base de $E$ si et seulement si $\begin{vmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{vmatrix} \ne 0$
Le corrigé part de : $\quad xa+yb=\lambda c + \mu d \Leftrightarrow \begin{cases}
\alpha \lambda + \gamma \mu = x \\ \beta \lambda + \delta \mu =y \end{cases}$
Je ne comprends pas pourquoi on veut résoudre ce système ni comment on l'obtient.
Je n'ai pas réussi à faire cet exercice et je ne comprends pas le corrigé.
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\K$ dont $(a,b)$ est une base. Etant donné $(\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \K^4$ on pose $c=\alpha a+\beta b$ et $d= \gamma a +\delta b$.
Montrer que $(c,d)$ est une base de $E$ si et seulement si $\begin{vmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{vmatrix} \ne 0$
Le corrigé part de : $\quad xa+yb=\lambda c + \mu d \Leftrightarrow \begin{cases}
\alpha \lambda + \gamma \mu = x \\ \beta \lambda + \delta \mu =y \end{cases}$
Je ne comprends pas pourquoi on veut résoudre ce système ni comment on l'obtient.
Réponses
-
Bonsoir,
Je cherche à démontrer le résultat suivant. Si $w \in \C \backslash \R$ alors la famille $(1,w)$ est une base du $\R$ espace vectoriel $\C$.
Soit $(a,b) \in \R^2$ tels que $a+bw=0$ alors $1 (a+b \Re w )+ i b \Im w =0$
Comme $(1,i)$ est une base de $\C$ alors $b=0$ et $a+b \Re w =0 \implies a=0$
La famille est bien libre.
Montrons que c'est une famille génératrice de $\C$.
Soit $z \in \C$ alors $z=x+iy$
Mais je bloque à ce stade. -
Allez ! On ne t'aide pas mais on se tient en embuscade si tu sèches très très longtemps...
-
Je ne vois pas.
-
C'est quoi la définition de base ?
En appliquant la définition successivement à $\{c,d\}$ puis à $\{a,b\}$, on voit qu'une manière de démontrer le résultat est de poser ce système. -
Je me demande pourquoi tu regardes des sujets de l'agrégation interne si tu sèches là dessus ? C'est comme si un élève qui sèche sur des exos de 3ème regardait des sujets de bac. Je t'ai donné une bribe de réflexion à ton autre question, elles sont assez similaires.
-
Bonsoir,
Tu sèches vraiment sur des évidences.
Cordialement,
Rescassol -
Demain je tente une aide : j’écrirai en langage quantifiée ce que tu veux démontrer.
Remarque : le « alors b=0 » est un peu rapide je trouve dans la preuve de la liberté de (1;w). -
Une base est une famille libre et génératrice.
Dire que $(c,d)$ est une base de $E$ c'est dire que tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en fonction de $c$ et $d$.
Mais je n'arrive pas à comprendre d'où sort le système. -
Je débute en algèbre linéaire. C'est seulement le 2nd chapitre que j'étudie.
Oui Dom faudrait faire 2 cas $\Im (w) \ne 0$ et $\Im w=0$. Si $Im (w)=0$ je ne sais pas comment faire. Ca donne $a+b Re (w)=0$ et je ne vois pas comment montrer $a=b=0$. -
J'ai vu qu'un seul chapitre en algèbre linéaire : espaces vectoriels. (sous espace vectoriel engendré, sous espace affine)
En prépa j'avais du mal en algèbre linéaire, donc c'est comme si je repartais de 0.
Je me souviens que je n'arrivais jamais à montrer le "famille génératrice". -
Si tu lis ton énoncé depuis le début qu'est ce que tu peux dire de $Im (w)=0$ ?
-
Départ : tout vecteur s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs $a$ et $b$.
Arrivée : on veut démontrer que que tout vecteur s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs $c$ et $d$.
Il s'agit donc de démontrer que toute combinaison linéaire des vecteurs $a$ et $b$ s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs $c$ et $d$. Il suffit de savoir ce qu'est une combinaison linéaire ensuite. -
Bizarre pourquoi les deux fils de OShine ont été fusionnés ? :-S
-
Ha ! Je savais qu'il y avait un loup dans cette histoire de "$\Im (w) \ne 0$".
Était-ce une entourloupe de ta part ? une étourderie (il est tard !) ?
[Oui, AD, tu as eu raison même si ça va pousser à l'aider plus tôt que prévu sur le second sujet mais c'est bienveillant :-)] -
Bien vu Raoul $Im w=0$ est impossible car $w$ n'est pas réel.
$(a,b)$ est une base de $E$ si pour tout $x \in E$ il existe un unique couple $(\lambda_1,\lambda_2)$ tel que $x=\lambda_1 a+ \lambda_2 b$
Mais je ne comprends pas l'équation du corrigé ni le système. -
Je te conseille d'utiliser les mêmes notations que le corrigé (pour ne pas t’emmêler les pinceaux) et de relire le message de math2 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1972150,1972196#msg-1972196.
-
Merci j'ai compris d'où sort le système. Je bloque dorénavant sur la suite.
Supposons $\Delta \ne 0$ (déterminant du système) alors le système précédent est un système de Cramer.
Pour tout $(x,y)$ il possède une solution ce qui entraîne que $(c,d)$ engendre $E$.
Jusque là tout va bien.
Pour $(x,y)=(0,0)$ il ne possède que la solution triviale ce qui entraîne que $(c,d)$ est libre.
Je n'ai pas compris pourquoi on fait le cas $(x,y)=(0,0)$ et pourquoi cela entraîne $(c,d)$ libre.
Supposons $\Delta=0$. Alors on sait que pour $(x,y)=(0,0)$ le système homogène ci-dessus possède une solution non triviale. Par suite, $(c,d)$ n'est pas libre, ce n'est donc pas une base.
Je ne comprends pas pourquoi on parle encore de $(x,y)=(0,0)$. Je ne comprends rien à ce cas. Pourquoi ce n'est pas une base ? -
Je n'arrive pas à comprendre ces histoires de $(x,y)=(0,0)$ et de "solution triviale" et "non triviale'.
-
Tu veux montrer que $(c,d)$ est libre, donc tu prends $(x,y)=(0,0)$ ce qui t'amène à résoudre $\lambda c + \mu d = 0$. Il faut vraiment tout t'écrire ?
-
Je n'arrive pas à voir le lien entre $(c,d)$ libre et $(x,y)=(0,0)$...
Et je n'ai pas compris le "solution triviale" solution non triviale. -
Tu es vraiment incroyable.
On suppose $\Delta \neq 0$. Tu veux montrer que $(c, d)$ est libre, donc tu veux montrer que si $\lambda c + \mu d = 0$ alors $(\lambda, \mu) = (0, 0)$. Avec les notations de l'exercice, $\lambda c + \mu d = ax+by = 0$. Comme $(x,y)$ est libre, on a nécessairement $(x,y)=(0,0)$.
Puisque $\Delta \neq 0$, l'unique solution du système $ \begin{cases}
\alpha \lambda + \gamma \mu = x \\ \beta \lambda + \delta \mu =y \end{cases}$ est $(\lambda, \mu)$ est...?
Dans l'autre sens, si $\Delta = 0$, alors le système ci-dessus a une solution $(\lambda, \mu)$ non triviale, c'est-à-dire différente de $(0, 0)$. Tu as donc $\lambda c + \mu d = 0$ avec $(\lambda, \mu) \neq (0, 0)$ et donc $(,cd)$ n'est pas libre, et en particulier n'est pas une base de $E$.
Si tu n'es pas capable de faire ça tout seul tu ne peux pas faire le moindre exercice d'algèbre linéaire. -
Bonjour,
Peut-être faut il préciser à OShine que "solution triviale" signifie $(0,0)$, c'est à dire solution constituée uniquement de $0$. Il ne connaît pas le mot "trivial".
Cordialement,
Rescassol -
Non, ce n’est pas dans son livre.
-
@Rescassol : je l'ai écrit dans ma réponse.
-
On peut avoir fait une prépa sans avoir vu le mot "trivial" ? :-D
-
Bonjour,
Mon prof de TC disait "ceci est un truisme d'une trivialité répugnante".
Et je me souviens d'une épreuve d'agreg où la première question demandait de montrer la non vacuité d'un ensemble, je ne connaissais pas ce mot.
Cordialement,
Rescassol -
Cet exercice est difficile pour moi. Trop de lettres, je me suis mélangé les crayons.
En effet, $(a,b)$ est une base donc si $\lambda c+\mu d=0 \implies x=y=0$
Je trouve $\boxed{\lambda=\dfrac{x \delta -\gamma y}{\alpha \delta-\beta \gamma}}$ et $\boxed{\mu=\dfrac{\alpha y-\beta x}{\alpha \delta-\beta \gamma}}$
Si $x=y=0$ cela implique que $\lambda=\mu=0$
Je n'ai pas compris pourquoi si $\Delta=0$ le système a une solution non triviale :-S
PS : j'ai réussi l'exercice qui suit seul sauf la question 3.
Soit $u$ une application linaire de $E$ dans $E'$ ainsi que $F$ et $G$ 2 sous-espaces vectoriels de $E$.
1/ Établir que $u(F+G)=u(F)+u(G)$
2/ Montrer que si $F$ et $G$ sont en somme directe et $u$ injective alors les sous-espaces vectoriels image sont en somme directe.
3/ En déduire que si $F$ et $G$ sont supplémentaires et $u$ bijective alors les sous-espaces vectoriels images sont supplémentaires dans $E'$. -
Je n’ai rien compris au petit paragraphe :
« En effet ... $y=0$ ». (Ça ne dure que deux lignes).
Ou alors c’est un raccourci qui référence à tout ce qui précède mais alors les « donc » et les « => » sont bien mystérieux. -
Oui c'est un raccourci mais toujours est-il que je n'ai pas compris le cas $\Delta=0$ :-S
$\lambda x + \mu d = xa+yb$. Comme $(a,b)$ est une base, si $\lambda x + \mu d=0$ alors $x=y=0$ -
Si $\Delta=0$, alors les membres de gauche de tes deux équations sont proportionnels.
Tu peux en déduire que avec le pivot de Gauss que :
- soit le système de départ n’a pas de solution, donc la famille $(c,d)$ n’est pas génératrice.
- soit le système de départ a au moins deux solutions, donc la famille $(c,d)$ n’est pas libre. -
Merci j'avais oublié cette notion. Si le delta est nul il y a soit une infinité de solutions soit aucune.
Mais du coup Poirot et l'auteur du livre disent que si $\Delta=0$ et $(x,y)=(0,0)$ le système possède une solution non triviale.
Comment savez vous qu'il y a une infinité de solutions et pas aucune solution ? -
Si on considère $(x,y)=(0,0)$, le système a une solution triviale, donc on ne peut pas se trouver dans le cas où il n’y a pas de solution. On est donc dans le cas où on a au moins deux solutions.
Remarque : on peut remplacer « au moins deux solutions » par « une infinité de solutions » si le corps $\K$ contient une infinité d’éléments mais pas dans le cas général. -
Merci.
Sinon est-ce correct de dire que les équations sont proportionnelles (0 est bien proportionnel à 0) donc il y a une infinité de solutions ?
J'ai relu mon cours, et il est dit que si les équations sont proportionnelles, alors les droites D1 et D2 sont confondues et il y a une infinité de solutions. Dans le cas contraire, les droites sont parallèles et non confondues, le système est incompatible. -
Ça dépend de quelle système tu parles.
Dans le système écrit dans ton premier post, si on suppose que le déterminant est nul, tu n’as pas nécessairement que les équations sont proportionnels, mais tu as que les membres de gauche des deux équations le sont .
Si tu parles du système ou les membres de droites sont nuls, alors oui, tu peux utiliser ton résultat. -
J'ai dit un peu n'importe quoi. Vu que $(x,y)=(0,0)$ le système devient :
$\begin{cases} \alpha \lambda + \gamma \mu = 0 \\ \beta \lambda + \delta \mu =0 \end{cases}$
La solution triviale fonctionne $\lambda=\mu=0$ et comme l'a dit Poirot comme $\Delta=0$ ce n'est pas la seule donc la famille $(c,d)$ n'est pas libre.
En tout cas merci j'ai enfin compris. J'avais oublié certaines notions des systèmes de Cramer. -
Oui tout simplement.
-
Je ne sais pas si la définition a été donnée :
un système de Cramer est un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul
Certains oublient parfois ce que j’ai mis en gras.
Cordialement -
Autre méthode pour montrer le résultat :
Soit $f$ l'unique endomorphisme de $E$ qui envoie la base $(a,b)$ sur les vecteurs $(c,d)$.
Alors la matrice de $f$ dans la base $(a,b)$ au départ et à l'arrivée s'écrit $M=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{pmatrix}$.
On a alors les équivalences : $(c,d)$ est une base de $E$ si et seulement si $f$ est bijective si et seulement si la matrice $M$ est inversible si et seulement si le déterminant de $M$ est non nul si et seulement si $\begin{vmatrix}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\alpha & \gamma \\
\beta & \delta
\end{vmatrix}\neq 0$ -
Bonjour, je propose également une autre méthode.
$( \Longrightarrow)$ Supposons que $\begin{vmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{vmatrix}=0$. Alors les vecteurs $(\alpha ,\beta)$ et $(\gamma ,\delta )$ sont liés donc il existe $k \in K $ tel que $(\gamma ,\delta ) = (k\alpha,k\beta)$.
Ainsi $d=kc$ ; la famille $(c,d)$ est liée et ne peut donc pas être une base de $E$. -
Joli Bisam ! Mais l'auteur n'utilise pas les matrices car le chapitres des matrices est placé après l'algèbre linéaire.
Un_kiwi merci. Idem bien vu le chapitre des déterminant étant bien après je pense que l'auteur voulait utiliser uniquement les connaissances de base sans utiliser déterminant ni matrice. -
Bonjour,
Et alors ? L'auteur de ton livre utilise ce qu'il veut et toi, tu utilise ce que tu veux.
D'ailleurs matrices et déterminants font partie de l'algèbre linéaire.
Cordialement,
Rescassol -
L’énoncé contient bien un déterminant dans la consigne, non ?
Bon c’est peine perdu car à chaque fois on a le droit à « oui mais dans mon livre ».
Aucune réflexion possible, aucune proposition possible...
Certes, j’aime bien les exercices où l’on s’interdit de sortir d’un programme (niveau collège, niveau Tale, etc.) mais là c’est une contrainte arbitraire de dire « en respectant la progression du livre ».
Bref. -
@Rescassol
Oui mais je n'ai pas encore étudié les chapitres matrices et déterminants. J'ai juste de vagues souvenirs.
Il me reste le chapitre "dimension finie" avant d'attaquer les matrices.
@Dom
Oui je préfère rester dans le programme que je me fixe. Quand j'aurais terminé le programme de L1, je pourrais déjà avoir plus de recul pour résoudre des exercices de différentes manières. -
OShine écrivait :
> Un_kiwi merci. Idem bien vu le chapitre des déterminant étant bien après je pense que l'auteur voulait
> utiliser uniquement les connaissances de base sans utiliser déterminant ni matrice.
Écoute je te rassure, j'ai vu les systèmes de Cramer en seconde (pour des systèmes de deux équations à deux inconnues) il y a dix ans et notamment en géométrie, cela a permis d'écrire une caractérisation de vecteurs colinéaires donc je ne vois pas le problème. Je ne suis pas convaincu que cela soit bon de vouloir se borner à suivre une seule et unique direction dictée par la vision d'un seul auteur... -
Je trouve stupéfiant qu'il faille un fil de trente messages pour résoudre un système $2\times2$.
-
Quand on reprend la question originale c’est un peu plus profond ( n’exagérons rien...) que cela : « Je ne comprends pas pourquoi on veut résoudre ce système ni comment on l'obtient. »
Cela dit c’est en effet très long pour des choses assez rudimentaires.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+21 Invités